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- 2021-06-10 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点33:立体几何中的综合问题
【考纲要求】
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
【命题规律】
立体几何综合问题是高考的热点问题,选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用,仍然是以简单几何体为载体.【典型高考试题变式】
(一)构造函数在导数问题中的应用
例1.【2015广东卷(理)】若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )
A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5
【答案】B
在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;
若n>4,由于任三点不共线,当n=5时,考虑四个点构成的正四面体,
第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,
由三角形的两边之和大于三边,故不成立;
同理n>5,不成立.
故选:B.
【方法技巧归纳】本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题.
【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点是棱长为2的正方体的棱的中点,点在面所在的平面内,若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等,则点到点的最短距离是( )
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为,平面与平面和平面成的锐二面角分别为,则, ,设到距离为,则,即点在与直线平行且与直线距离为的直线上, 到的最短距离为,故选A.
【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图,直三棱柱中, , , ,外接球的球心为,点是侧棱上的一个动点.有下列判断:
① 直线与直线是异面直线;② 一定不垂直;
③ 三棱锥的体积为定值; ④的最小值为.
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】如图,
∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线,故①正确;
当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1,故②错误;
由题意知,直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C,
∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥E−AA1O的体积为定值,故③正确;
设BE=x,则B1E=2−x,∴.由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为,故④正确。
∴正确命题的个数是3个。
本题选择C选项.
(二)立体几何中的体积问题
例2.【2014江西卷(理)】如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
(1)求证:
(2)若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD为矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为PD平面PAD,所以ABPD
试题解析:(1)证明:ABCD为矩形,故ABAD,
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD,因为PD平面PAD,故ABPD
(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中,
设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系,
故
设平面BPC的法向量,则由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量,从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
【方法技巧归纳】1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路
(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.
(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.
2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.
【变式1】【改编例题的条件】【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图(1)所示,已知四边形是由和直角梯形拼接而成的,其中.且点为线段的中点, , .现将沿进行翻折,使得二面角的大小为90°,得到图形如图(2)所示,连接,点分别在线段上.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若三棱锥的体积为四棱锥体积的,求点到平面的距离.
【解析】试题分析:(1)推导出SA⊥AD,SA⊥AB,从而SA⊥平面ABCD,进而SA⊥BD,再求出AC⊥BD,由此得到BD⊥平面SAC,从而能证明BD⊥AF.(2)设点E到平面ABCD的距离为h,由VB﹣AEC=VE﹣ABC,且,能求出点E到平面ABCD的距离.
(2)设点到平面的距离为,因为,且,
故,
故,做点到平面的距离为.
【变式2】【改编例题的条件,依据函数零点个数证明不等式】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】如图,多面体中, , 平面,且.
(Ⅰ)为线段中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求多面体的体积.
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过证明面面平行得到线面平行;(Ⅱ)将多面体
分割成三棱锥和四棱锥,再分别算出它们的体积。它们之和即为所求。
试题解析:(Ⅰ)证明:取中点,由平面平面∴平面
(Ⅱ)
【数学思想】
分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用,因此,有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思想”.
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的;
⑵问题中的条件是分类给出的;
⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;
⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
【处理立体几何问题注意点】
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
【典例试题演练】
1.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥
中,若三条侧棱两两垂直,且,则正三棱锥的高为( )
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
因为正三棱锥的侧棱长SA=3,设点D为顶点S在底面上的投影,所以=3,解得 ,所以正三棱锥的高为 ,选C.
2.【2017年浙江省源清中学9月高三上学期第一次月考】如图,矩形,矩形,正方形两两垂直,且,若线段上存在点使得,则边长度的最小值为( )
A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
以DA,DC,DF为坐标轴建立空间坐标系,如图所示:
设,则,即.
又,
所以
.
显然且.
所以.
因为,所以.
所以当, 取得最小值12.
所以的最小值为.
故选D.
3.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为2的正方体中任取一点,则满足的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为直径作球,球在正方体内部的区域体积为,正方体的体积为,所以由几何概型得, ,故选A.
4.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,则函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.【2017届浙江省杭州市高三4月教学质量检测】在等腰直角中, , , 为中点, 为中点, 为边上一个动点, 沿翻折使,点在面上的投影为点,当点在上运动时,以下说法错误的是( )
A. 线段为定长 B.
C. D. 点的轨迹是圆弧
【答案】C
【解析】由于平面,所以,所以,同理,由图可知点轨迹为椭圆, 长度最小值为,最大值为,所以C选项错误.
6.【2017届河北省唐山市高三年级第二次模拟】正方体棱长为6,
点在棱上,且,过点的直线与直线, 分别交于, 两点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意作图,由图可知: , ,∴, ,
故,∴,故选D.
7.【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中, , , ,点分别在边上,且,沿着将折起至的位置,使得平面平面,其中点为点翻折后对应的点,则当四棱锥的体积取得最大值时, 的长为__________.
【答案】
【解析】由勾股定理易得: ,设,则,
而△AED∽△ABC,故,四棱锥的体积:
,
求导可得: ,
当时, 单调递增;
当时, 单调递减;
故当时, 取得最大值.
8.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】如图,一张纸的长、宽分别为. 分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线掀折起,使得四点重合为一点,从而得到一个多面体.关于该多面体的下列命题,正确的是__________.(写出所有正确命题的序号)
①该多面体是三棱锥;
②平面平面;
③平面平面;
④该多面体外接球的表面积为
【答案】①②③④
9.【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第九次模拟】如图,在正方体中,棱长为1 ,点为线段上的动点(包含线段端点),则下列结论正确的______.
①当时, 平面;
②当时, 平面;
③的最大值为;
④的最小值为.
【答案】①②④
【解析】
对于①,连结AB1,B1D1,AD1,则V A−A1B1D1=××1=,
S △AB1D1=×××sin60∘=,A1C=,
设A1到平面AB1D1的距离为h,则××h=,解得h=,
∴h=A1C.
∴当时,P为A1C与平面AB1D1的交点。
∵平面AB1D1∥平面BDC1,
∵D1P⊂平面AB1D1,∴D1P∥平面BDC1,故①正确;
对于②,由①可知P∈平面AB1D1,
∵A1C⊥平面AB1D1,∴A1C⊥平面D1AP,故②正确;
对于③,由①可知当时,P为等边△AB1D1的中心,
∴∠APD1=120∘,故③错误;
对于④,连结AC,D1C,则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P,
∴AP的最小值为 =,
∴AP+PD1的最小值为.故④正确。
故答案为:①②④。
10.【2017届昭通市高三复习备考统一检测】在棱长为1的正方体中, , 是线段上的动点,过做平面的垂线交平面于点,则点到点的距离最小值是___________.
【答案】
【解析】连结,易知面面,而,即, 在面内,且点的轨迹是线段,连结,易知是等边三角形,则当为中点时, 距离最小,易知最小值为
11.【2017届江西师范大学附属中学高三3月月考】如右图所示,在棱长为2的正方体中, 为棱的中点,点分别为面和线段
上的动点,则周长的最小值为_______.
【答案】
【解析】将面与面折成一个平面,设E关于的对称点为M,E关于 对称点为N,则周长的最小值为.
12.【2018届江西省临川第二中学高三上学期第四次月考】如图,已知四棱锥,底面为菱形,,,平面,分别是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若为的中点时,,求点到平面的距离.
【解析】试题分析:(1)要证明平面,根据线面垂直的判定定理,只需证与平面内两条相交直线垂直即可,通过观察题目,易知,,得证;(2)利用等体积法,,求得点到平面的距离.
(1)证明:由四边形为菱形,,
可得,为正三角形.
因为M为的中点,所以.
又,因此.
因为平面,平面,
所以. 而,
所以平面.
(2).
则由,
13.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月高考适应月考】如图,梯形中,,矩形所在的平面与平面垂直,且.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若为线段上一点,直线与平面所成的角为,求的最大值.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面,结合面面垂直的判断定理可得平面平面.
(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系,结合直线的方向向量和平面的法向量可得.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,取的中点,连接,
则,所以,从而四边形为平行四边形,
所以,从而.
又因为平面平面且平面平面,
所以平面.又平面,
所以平面平面.
令,得平面的一个法向量为,
所以 ,
当时,,从而.