2019学年高二数学下学期期中试题 文 新人教通用版 12页

1 2019 高二年级期中考试 文科数学试卷 时量：120 分钟 总分：150 分 命题人： 班级： 姓名： 考号： 一．选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数.若 ,1 iz  则 zii z  = A. 2 B. i2 C. 2 D. i2 2.等差数列{ }na 中， 1 5 10a a  ， 4 7a  ，则数列{ }na 的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数 1log 1)( 2   x xf 的定义域为 A. )20( ， B. ]2,0( C. ),2(  D. )2[ ， 4.对于直线 m,n 和平面α,下列命题中的真命题是 A.如果 m⊂α,n⊄ α,m,n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m⊂α,n⊄ α,m,n 是异面直线,那么 n 与α相交 C.如果 m⊂α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊂α,n∥α,m,n 共面,那么 m 与 n 相交 5.从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 6. 设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BC CD  ，则 A. 1 4 3 3AD AB AC     B. 1 4 3 3AD AB AC    C. AC3 1AB3 4AD  D. AC3 1-AB3 4AD  2 7. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长(包括底面边长)都是 2，E，F 分别是 AB，A1C1 的中点，则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是 A. 5 5 B.2 5 5 C.1 2 D．2 8.设变量 x,y 满足约束条件:       2 22 x yx xy 则 z=x-3y 的最小值是 A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 9.一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则 该几何体的体积等于 A. 6 3 B.2 3 C．3 3 D． 3 10.已知 M（ 0 0,x y ）是双曲线 C： 2 2 12 x y  上的一点， 1 2,F F 是 C 上的两个焦点，若 1 2 0MF MF   ，则 0y 的取值范围是 A.       3 3，3 3- B.       6 3，6 3- C.       3 22，3 22- D.       3 32，3 32- 11. 设 函 数 ' ( )f x 是 奇 函 数 ( )( )f x x R 的 导 函 数 ， ( 1) 0f   ， 当 0x  时 ， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ，则使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是 A． ( , 1) (0,1)   B． ( 1,0) (1, )  C． ( , 1) ( 1,0)   D． (0,1) (1, ) 12.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 A. 6 2 B. 6 3 C. 3 2 D. 2 2 3 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知数列{ }na 是递增的等比数列， 1 4 2 39, 8a a a a   ，则数列{ }na 的前 n 项和等 于 . 14.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 . 15.已知 ABC 中， 5 3cos ,sin ,13 5A B  则 cosC = . 16.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取 值范围是 . 二.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本题满分 12 分） 已知 )(1cos2cossin32)( 2 Rxxxxxf  (1)求函数 )(xf 的最小正周期及在区间     2,0  上的最值； (2)若 5 6)( 0 xf ，     2,40 x ，求 )62cos( 0 x 的值. 18. （本题满分 12 分） 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入 ix （单位：千元）与月储蓄 iy （单 位：千元）的数据资料，算得 10 1 80i i x   ， 10 1 20i i y   ， 10 1 184i i i x y   ， 10 2 1 720i i x   ． （Ⅰ）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y bx a  ； （Ⅱ）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； （Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄． 4 附：线性回归方程 y bx a  中， 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx        ， a y bx  ， 19. （本题满分 12 分） 如图所示，在直三棱柱 1111 DCBA-ABCD 中， AD//BC ，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1， 3AAAD 1  . (1)证明:AC⊥ DB1 (2)求直线 11CB 与平面 1ACD 所成角的正弦值. 20.（本题满分 12 分） 已知点 A(-2,0)，B(2，0)，直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 3 4  ，记点 P 的轨迹为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程. （2）设 M，N 是曲线 C 上任意两点，且 OM ON OM ON      ，问是否存在以原点为圆心 且与 MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 5 21.（本题满分 12 分） 已知函数   01ln2 1)( 2  axaxxxf (1)若 x=2 是 f(x)的极值点，求 a 的值； (2)求 f(x)的单调区间.. 22. （本题满分 10 分） 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴．已知 直线 l 的参数方程为 x＝2＋t， y＝ 3t (t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|. 6 1.设 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数.若 则 =（C） A. B. C. D. 2.等差数列 中， ， ，则数列 的公差为（ B ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.函数 的定义域为( C ) A、 B、 C、 D、 4.对于直线 m,n 和平面α,下列命题中的真命题是( C ) A.如果 m⊂α,n⊄ α,m,n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m⊂α,n⊄ α,m, n 是异面直线,那么 n 与α相交 C.如果 m⊂α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊂α,n∥α,m,n 共面,那么 m 与 n 相交 5.从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（ B ） A. B. C. D. 6. 设 为 所在平面内一点 ，则（ A ） （A） (B) （C） (D) 7. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长(包括底面边长)都是 2，E，F 分别是 AB，A1C1 的中点，则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是( B ) A. 5 5 B. 5 5 C. 1 2 D．2 8.设变量 x,y 满足约束条件:则 z=x-3y 的最小值是( D ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 9. 一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则 该几何体的体积等于（ A ） A. B.2 7 C．3 D．6 10.已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是( A ) （A）（- ， ） （B）（- ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ） 11. 设 函 数 是 奇 函 数 的 导 函 数 ， ， 当 时 ， ，则使得 成立的 的取值范围是（ A ） A． B． C． D． 12.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A ) A. B. C. D. 13.已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等于 . 14.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 (-∞,-5] . 15 已知 中， 则 = 16.如图,在棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取值范围是 17. （本题满分 12 分） 已知 （Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最值； 8 （Ⅱ）若 ， ，求 的值. 解：（1）∵ ， ∴ ， ∴函数的最小正周期为 ， ……2 分 ∵ ，∴ ， ∴ ， ……4 分 ； ……6 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， 则 ， ， ……8 分 又∵ ，∴ ，∴ ，……10 分 即 . ……12 分 18.从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 个家庭的月收入 （单位：千元）与月储蓄 （单位：千元）的数据资料，算得 ， ， ， ． （Ⅰ）求家庭的月储蓄 对月收入 的线性回归方程 ； （Ⅱ）判断变量 与 之间是正相关还是负相关； （Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程 中， ， ， 其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 ． 【解题指南】根据公式可直接求出回归直线方程,然后根据回归方程解决相关问题. 【解析】（Ⅰ）由题意知, 9 又 由此得 故所求回归方程为 . （Ⅱ）由于变量 的值随 的值增加而增加 ,故量 与 之间是正相关. （Ⅲ）将 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 (千元). 19. 如图所示，在直三棱柱 中， ，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1， . (1)证明:AC⊥ (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（本小题共 13 分） 已知函数 (1)若 x=2 是 f(x)的极值点，求 a 的值； (2)求 f(x)的单调区间.. 10 11 21. （本题满分 13 分）已知点 A(-2,0)，B(2，0)，直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 记 点 P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求曲线 C 的方程. （Ⅱ）设 M，N 是曲线 C 上任意两点，且 问是否存在以原点为圆 心且与 MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. ……5 分 12 ……13 分 22.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴．已 知直线 l 的参数方程为 x＝2＋t， t (t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|. [解] (1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ， 故曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝8x.4 分 (2)将直线 l 的方程化为标准形式 36 分 代入 y2＝8x，并整理得 3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝ 16 3 ，t1t2＝－ 64 3 .8 分 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝ 32 3 .10 分