宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 18页

银川一中2019/2020学年度（上）高二年级期末考试 数学(理科)试卷 一、选择题 ‎1.下列函数中，在处的导数等于零的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求函数在时的导数，判断选项.‎ ‎【详解】A.，当时，，故不正确； ‎ B.，当时，，故不正确；‎ C. ，当时， ，故正确；‎ D. ，当时，，故不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查基本函数的导数，意在考查基本计算公式，属于简单题型.‎ ‎2.一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求，就是时质点的瞬时速度.‎ ‎【详解】，当时，，‎ 所以当时质点的瞬时速度为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查利用导数求质点的瞬时速度，属于简单题型.‎ ‎3.以(0,),(0,-)为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可求，并且判断焦点的位置，求椭圆方程.‎ ‎【详解】由条件可知，焦点在轴，并且，，‎ ‎，‎ 故椭圆方程是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查根据椭圆方程基本量求椭圆方程，属于简单题型.‎ ‎4.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．‎ ‎【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数 ‎∴f′（x）＝3x2﹣a≥0[1，+∞）上恒成立．‎ 即a≤3x2‎ ‎∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立 ‎∴a≤3‎ ‎∴a的最大值是3‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想．‎ ‎5.在平行六面体中，若，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由空间向量基本定理得，‎ 所以 考点：空间向量基本定理 ‎6.关于函数的说法正确的是( )‎ A. 有最小值，有最大值 B. 有最小值，没有最大值 C. 没有最小值，有最大值 D. 没有最小值，也没有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求函数的导数，并且判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值.‎ ‎【详解】 ‎ 当时，，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，函数取得最大值，没有最小值.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，意在考查基本计算能力，属于简单题型.‎ ‎7.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 令，则，解得，即，‎ 令，则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的焦点为F1、F2， 点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不妨又所以，即；所以则M到x轴的距离 故选C ‎9.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.‎ 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.方程组的解法.‎ ‎10.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，‎ ‎∠=，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝‎2m，|F‎1F2|＝ m，‎ ‎ 故离心率e＝选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：：（1）假设过原点的图象是函数的图象，另一条是导函数的图象，导数小于0，函数单调递减，导数大于0时，函数单调递增，满足导数与单调性的关系；‎ ‎（2）假设当x≤0时单调递减的为函数图象，另一条为导函数的图象，同（1）满足导数与单调性的关系；‎ ‎（3）（4）无论哪一条作为函数图象都不满足导数与单调性的关系．‎ 综上可知：一定不正确的是（3）（4）．‎ 考点：函数的单调性与导数的关系 ‎12.已知，，，点在平面内，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,.‎ 因为四点共面,则存在使,‎ 即,‎ ‎.故B正确.‎ 考点：四点共面问题.‎ 二、填空题 ‎13.__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则 ‎14.椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求直线的斜率，再求中点弦所在直线方程.‎ ‎【详解】设直线与椭圆交于， ， ‎ ‎ ，两式相减可得，‎ 变形为：，‎ 由条件可知， ‎ 代入可得：，‎ 即，即直线的斜率 ‎ 故直线方程是，‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查点差法求中点弦所在方程的问题，意在考查基本方法，属于基础题型.‎ ‎15.已知，平面一个法向量为，则直线与平面所成的角为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设线面角为，利用公式求的值.‎ ‎【详解】设直线与平面所成的角为，‎ 则 ‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查空间向量坐标法求线面角，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型.‎ ‎16.设函数在R上存在导数,对任意的 有 ,且在 上 .若 ,则实数的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令 ，所以，则为奇函数 . 时，，由奇函数性质知：在R上上递增 . ‎ 则实数的取值范围是 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 三、解答题 ‎17.函数上一点处的切线方程为，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，代入切线方程，，‎ 即，并且，联立方程求的值.‎ ‎【详解】在上，，‎ ‎，‎ 又因为处的切线斜率为，，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.‎ ‎18.如图所示，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点为坐标原点，以为轴、轴建立空间直角坐标系，求出向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可；‎ ‎（2）分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，依题意得，，，，，．‎ ‎（1）易得，，‎ 于是．‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）易知，，‎ 设平面的法向量，则即 不妨令，可得．‎ 同样可设面的法向量，得．‎ 于是，从而．‎ 所以二面角的正弦值为．‎ 考点： 1、直线与平面成的角及平面与平面成的角；2、空间向量夹角余弦公式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及求点到平面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎19.已知椭圆的左右焦点为,上顶点为,且为面积是1的等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，以为直径的圆与轴相切，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由题意可得M，的坐标，由等腰直角三角形得，b=c，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设AB ‎，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，可得AB中点坐标，运用弦长公式可得|AB|，AB为直径的圆与y轴相切可得半径，解方程即可得到m的值 试题解析：（1）由已知为面积是1的等腰直角三角形得 所以椭圆E的方程 ‎（2）设 联立 则AB中点横坐标为 以AB为直径的圆半径r=‎ 整理得 考点：椭圆方程及直线与椭圆相交的位置关系 ‎20.已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.‎ ‎(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；‎ ‎(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)讨论见解析；(2)≤a<‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）知的单调性，若满足条件，可知 且,， ，求得的取值范围.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是，‎ 当时，时，（舍）或，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是，‎ 综上可知：当时，函数的单调递减区间是，无增区间，‎ 当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是.‎ ‎（2）即在上有两个不同的零点，‎ 由（1）可知，并且 ，‎ ‎,， ，‎ 即 ，解得： ，‎ 解得：,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性和已知函数零点个数求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想和函数与方程的思想，属于中档题型，本题第二问求的取值范围也可以参变分离，转化为与的函数图象有两个交点.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用求解证明；‎ ‎（2）设，并求和求平面的法向量，利用公式 ‎【详解】‎ ‎（1）以点为坐标原点，如图建系：‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面法向量为，‎ ‎，可得：，‎ ‎ ，‎ ‎∥平面.‎ ‎（2）， ,,直线的方程是，‎ 所以设，则，平面的法向量为，‎ ‎，‎ 当即时，取得最大值，即.‎ ‎【点睛】本题考查空间坐标法证明线面平行和求线面角最值，意在考查空间想象能力和计算能力，本题的一个难点是表示点的坐标，易求直线方程是，所以点的坐标是.‎ ‎22.过点作直线与曲线：交于两点，在轴上是否存在一点，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】存在满足题意，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线，，，，联立直线方程和抛物线方程，消去后，利用韦达定理和弦长公式可求的长度及的中点坐标，再求出的坐标后求其到的距离，利用可求，从而可求.‎ ‎【详解】依题意知，直线的斜率存在，且不等于0．‎ 设直线，，，，‎ 由消y整理，得①，‎ 由直线和抛物线交于两点，得即②，‎ 由韦达定理，得：.‎ 则线段的中点为.‎ 线段的垂直平分线方程为：，‎ 令，得，则，‎ 为正三角形，∴到直线的距离为，‎ ‎，，‎ ‎∴解得，满足②式，此时．‎ ‎【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.‎