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- 2021-06-10 发布
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2020 届宁夏回族自治区银川市六盘山高级中学高三上学期第
一次月考数学试题
一、单选题
1．设全集 U＝Z，集合 A＝{x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}，则∁UA＝（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【答案】C
【解析】化简集合 ，求出集合 的补集即可.
【详解】
集合 或 ，则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合的化简与补集运算问题，属于基础题.
2．复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】根据复数共轭的概念得到 ，再由复数的除法运算得到结果即可.
【详解】
虚部为-1，
故选 A.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的
对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A A
{ } {2| 2 0 | 2A x Z x x x Z x= ∈ − − ≥ = ∈ ≥ }1x ≤ − { }0,1U A =
1 21z i z i= + =， i 1
2
z
z
1− i i−
__
1z
1
1
2
11 , 1 ,z iz i iz i
−= − = = − −
1y x= − tany x= 3y x= 2logy x=
【解析】依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 是非奇非偶函数
B. 是周期函数不是递增
C. 满足条件
D. 是非奇非偶函数
故答案选 C
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于简单题.
4．设 a＝30.5，b＝log32，c＝cos ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】D
【解析】容易得出 ， ， ，从而可得出 的
大小关系.
【详解】
， ， ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，余弦值在各象限的符号，以及增函数的定义，
属于基础题．
5．已知函数 ，若 ，则实数 （ ）
A．-1 B．27 C． 或 1 D．-1 或 27
【答案】D
【解析】分别讨论 和 两种情况，结合函数解析式，即可求出结果.
【详解】
当 时， ，得 ，解得 ，符合题意；
1y x= −
tany x=
3y x=
2logy x=
2
3
π
0.53 1> 30 log 2 1< < 2 1cos 03 2
π = − < , ,a b c
0.5 03 3 1> = 3 3 30 log 1 log 2 log 3 1= < < = 2 1cos 03 2
π = − <
a b c∴ > >
3
3 , 0( )
log , 0
xf x x
x x
− <=
>
( ) 3f a = a =
1
27
0a < 0a >
0a < ( ) 3f a = 3 3a
− = 1a = −
当 时，由 ，得 ，解得 ，符合题意.
综上可得 或 .
故选 D.
【点睛】
本题主要考查分段函数，由函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可，属于
基础题型.
6．在等差数列{ }中，若 a3，a7 是函数 f(x)= 的两个零点，则{ }的前 9
项和等于（ ）
A．-18 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【解析】∵等差数列{an}中，a3，a7 是函数 f（x）=x2﹣4x+3 的两个零点，
∴a3+a7=4，
∴{an}的前 9 项和 S9= ．
故选：C．
7．已知向量 , ,则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】A
【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．
【详解】
由投影的定义可知：
向量 在向量 方向上的投影为： ，
又∵ ，
∴ ．
故选 A．
【点睛】
本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一
个向量上的投影，本题属基础题．
8．下列说法正确的是（ ）
0a > ( ) 3f a = 3log 3a = 27a =
1a = − 27a =
na 2x 4x 3− + na
( ) ( )1 9 3 7
9 9 182 2a a a a+ = + =
a ( )3,1= b ( )3, 3= − b a
3− 3
b a b cos a b⋅ ＜ ， ＞
a b a b cos a b⋅ = ⋅ ⋅ ＜ ， ＞
( )3 3 3 3
3 1
a bb cos a b a
⋅ − +⋅⋅ = = = −
+
＜ ， ＞
A．设 m 为实数，若方程 表示双曲线，则 m＞2．
B．“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件
C．命题“∃x∈R，使得 x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题“若 x0 为 y＝f（x）的极值点，则 f’（x）＝0”的逆命题是真命题
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义和方程判断A，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件
的定义判断 B，特称命题的否定是全称命题判断 C，逆命题的定义以及函数极值的性质
和定义判断 D.
【详解】
对于 A：若方程表示双曲线，则 ，解得 或 ，故 A 错误；
对于 B：若 为真命题，则 ， 同时为真命题，则 为真命题，当 真 假时，
满足 为真命题，但 为假命题，即必要性不成立，则“ 为真命题”是“
为真命题”的充分不必要条件，故 B 正确；
对于 C：命题“ ，使得 ”的否定是：“ ， ”，
故 C 错误；
对于 D：命题“若 为 的极值点，则 ”的逆命题是：“若 ，
则 为 的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在 中，
，其中 ，但 不是极值点，故 D 错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础
题．
9．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
2 2
11 2
x y
m m
+ =− −
( )( )1 2 0m m− − < 2m > 1m <
p q∧ p q p q∨ p q
p q∨ p q∧ p q∧ p q∧
x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ + ≥
0x ( )y f x= ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ =
0x ( )y f x= ( ) 3f x x=
( ) 23f x x′ = ( )0 0f ′ = 0x =
1sin( )5 4
π α− = 3cos(2 )5
πα + =
7
8
− 7
8
1
8
1
8
−
本题选择 A 选项.
10．已知函数 ，则 y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用特殊值判断函数的图象即可．
【详解】
令 ，则 ，再取 ，则
，显然 ，故排除选项 B、C；
再取 时， ，又当 时， ，故排除
选项 D.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的图象的判断，特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁，
属于基础题.
2
2
3 3cos 2 cos25 10
cos2 2 5
2cos 12 5
2sin 15
7 .8
π πα α
π π α
π π α
π α
+ = +
= − −
= − − −
= − −
= −
( ) 2
1f x x lnx
= − −
2
1x e
=
2
2 2
2 2
1 2 2
1 1 1ln 1
ef e e
e e
= = + − −
1x e
=
1 2 21 1ln 1
f ee
e e
= = − −
2
2
2 21
e ee
<+
x e= ( ) 2 2 0ln 1 2f e e e e
= = >− − − x → +∞ ( ) 0f x →
11．已知函数 的一条对称轴为 ， ，
且函数 在 上具有单调性，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题，将函数化简，根据对称轴求得 a 的值，再根据已知条件求得 两点
必须关于对称中心对称，求得 的值，可得结果.
【详解】
由题， = ， 为辅助角，
因为对称轴为 ，所以
即 解得
所以
又因为 在 上具有单调性，且 ，
所以 两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
即
所以
当 时， 取最小为
故选 A
【点睛】
本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是
解题的关键，属于中等较难题.
12．已知函数 ， ，当 时，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
( ) sin 2 3cosf x a x x= − π
6x = − 1 2( ) ( ) 0f x f x+ =
( )f x 1 2( , )x x 1 2| |x x+
2π
3
π
3
π
6
4π
3
1 2,x x
1 2x x+
( ) sin 2 3cosf x a x x= − 2 12 sin( )a x θ+ + θ
π
6x = − 1( ) 36 2f a
π− = − −
21 3 122 a a− − = + 2a =
( ) 4sin( )3f x x
π= −
( )f x ( )1 2,x x ( ) ( )1 2 0f x f x+ =
1 2,x x
1 2 1 2
2
3 3 3 ( )2 2
x x x x
k k z
π π π
π
− + − + −
= = ∈
1 2
22 ( )3x x k k z
ππ+ = + ∈
0k = 1 2x x+ 2π
3
( )
xef x axx
= − (0, )x∈ +∞ 2 1 0x x> >
( ) ( )1 2
2 1
f x f x
x x
< a
, 2
e −∞ ( , )e−∞ ( , )2
e−∞ ( , ]e−∞
【答案】A
【解析】根据 ，可以把不等式 变形为：
构造函数，知道函数的单调性，进而利用导数，可以求出实数
的取值范围.
【详解】
因为 ，所以 ，
设函数 ，于是有 ，而 ，说明函数
当 时，是单调递增函数，因为 ，所以
，
，因此当 时， 恒成立，即
，当 时恒成立，设 ，当 时，
，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，故
当
时，函数 有最小值，即为 ，因此不等式 ，当
时恒成立，只需 ，故本题选 A.
【点睛】
本题考查了通过构造函数，得知函数的单调性，利用导数求参问题，合理的恒等变形是
解题的关键.
二、填空题
13．曲线 在 处的切线方程为_________.
【答案】 .
【解析】试题分析：由题意得， ，∴ ，而 时，
，
2 1 0x x> > ( ) ( )1 2
2 1
f x f x
x x
<
( ) ( )1 1 2 2f x x f x x<⋅ ⋅ a
2 1 0x x> > ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 1 2 2
2 1
f x f x f x x f x xx x
<< ⇒ ⋅ ⋅
( ) ( )g x x f x= ⋅ ( )1 2( )g x g x< 2 1 0x x> >
( ) ( )g x x f x= ⋅ (0, )x∈ +∞ ( )
xef x axx
= −
( ) 2xg x e ax= −
( )' 2xg x e ax= − (0, )x∈ +∞ ( )' 2 0xg x e ax= − ≥
2
xea x
≤ (0, )x∈ +∞ '
2
( 1)( ) ( )2 2
x xe e xh x h xx x
−= ⇒ = 1x >
' ( ) 0h x > ( )h x 0 1x< < ' ( ) 0h x < ( )h x
(0, )x∈ +∞ ( )h x (1) 2
eh =
2
xea x
≤ (0, )x∈ +∞
2
ea ≤
2( ) 3 2lnf x x x x= − + 1x =
3 0x y− − =
2' 2 3y x x
= − + 1'| 2 3 2 1xy = = − + = 1x =
1 3 0 2y = − + = −
∴切线方程为 ，即 ，故填： .
【考点】导数的运用.
14．已知 ， ，若 ，则 与 的夹角是_________.
【答案】
【解析】由 ， ，且 ，知 ，即 3+2
cos＜ ＞=0，由此能求出向量 与 的夹角．
【详解】
∵ ， ，且 ，
∴
即 3+2 cos＜ ＞=0，
解得 cos＜ ＞=﹣ ，
∴向量 与 的夹角是 150°，
故答案为：150°．
【点睛】
本题考查向量的数量积判断两个向量垂直的条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，
仔细解答，解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法
则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基
底.
15．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝__________.
【答案】－ .
【 解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，即 ，又 ，即 ，所以数
列 是首项和公差都为 的等差数列，所以 ，所以
．
【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．
2 1y x+ = − 3 0x y− − = 3 0x y− − =
3a = 2b = ( )a b a+ ⊥ a b
0150
3a = 2b = ( )a b a+ ⊥ 2a a· cos , 0b a b+ = 3
a b， a b
3a = 2b = ( )a b a+ ⊥
2a a· cos , 0b a b+ =
3 a b，
a b， 3
2
a b
1
n
1 1n n na S S+ += 1 1 1n n n n na S S S S+ + += − =
1
1 1
1 1 1n n
n n n n
S S
S S S S
+
+ +
− = − =
1
1 1 1
n nS S+
− = − 1 1a = −
1 1
1 1 1S a
= = −
1
nS
1− ( )( )1 1 1 1
n
n nS
= − − − − = −
1
nS n
= −
【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的
通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到 ， ，确定
数列 是首项和公差都为 的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形
能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．
16．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；
以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形
的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 ， ， ， 分别表示三角形
的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则
.若在 中 ，
， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．
【答案】
【解析】根据题意可知： ，故设 ，由
代入 可得
，由余弦定理可得 cosA= ，所以由正弦定理得三角形外
接圆半径为
三、解答题
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1
＝1，a2＋b2＝2.
(1)若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若 T3＝21，求 S3.
【答案】（1） ；（2）当 q=4 时,S3=﹣6；当 q=﹣5 时， S3=21．
【解析】【详解】试题分析： 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为
1
1 1 1
n nS S+
− = −
1
1 1S
= −
1
nS
1−
S a b c
ah bh ch
22 2 2
2 21
4 2
a c bS a c
+ − = × −
1 1
2 2a bah bh= = 1
2 cch= ABC∆ 3ah =
2bh = 3ch =
144 3
143
: : 2 3 :3: 2a b c = 2 3 . 3 . 2a x b x c x= = =
22 2 2
2 21
4 2
a c bS a c
+ − = × −
1 1
2 2a bah bh= = 1
2 cch= , ,a b c
12
143
x = 1 143sin12 12A⇒ =
2 3 144 3
2sin 2sin 143
a x
A A
= =
12n
nb −=
( )1 { }na d { }nb
，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 ，即可得到所求通
项公式；
运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计
算即可得答案。
解析：（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得 d=1，q=2 或 d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为 bn=2n﹣1，n∈N；
（2）b1=1，T3=21，可得 1+q+q2=21，解得 q=4 或﹣5，
当 q=4 时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当 q=﹣5 时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
18．已知向量 ， ，函数
（1）求函数 的单调增区间
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求
在 上的值域.
【答案】(1) 1， ;(2) .
【解析】试题分析： (1)由已知化简可得 ,可得最大值，利用周期
公式可求 的最小正周期;
(2)由图象变换得到 ,从而求函数的值域.
试题解析：
试题解析：(1)
. 所以 的最大值为 1，最小正周期为 .
q d q，
( )2
1sin , 2m x = −
( )3cos ,cos2n x x= ( ) •f x m n=
( )f x
( )y f x=
6
π ( )y g x= ( )g x
0, 2
π
π 1 ,12
−
( ) sin 2 6f x x
π = −
( )f x
( ) sin 2 6g x x
π = +
( ) 1• 3sin cos cos22f x m n x x x= = −
3 1sin2 cos22 2x x= − sin 2 6x
π = −
( )f x π
(2)由(1)得 .将函数 的图象向左平移 个单位后得到
的图象. 因此 ，又
，所以 ， .故 在 上
的值域为 .
19．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2A+sin2B+sin2C＝
sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A．
（1）证明：△ABC 是正三角形；
（2）如图，点 D 在边 BC 的延长线上，且 BC＝2CD，AD ，求 sin∠BAD 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）由已知利用正弦定理可得 ，再配方得
，则 ，因此 是正三角形；
（2）由已知条件可得 ， ，再由余弦定理可得 ，又
，利用正弦定理即可得到结论.
【详解】
（1）证明：∵sin2A+sin2B+sin2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC 为等边三角形；
（2）∵△ABC 是等边三角形，BC＝2CD，
∴AC＝2CD，∠ACD＝120°，
( ) sin 2 6f x x
π = −
( )y f x=
6
π
sin 2 sin 26 6 6y x x
π π π = + − = +
( ) sin 2 6g x x
π = +
0, 2x
π ∈
72 ,6 6 6x
π π π + ∈
1sin 2 ,16 2x
π + ∈ −
( )g x 0, 2
π
1 ,12
−
7=
3 21
14
2 2 2a b c ab bc ca+ + = + +
( ) ( ) ( )2 2 2 0a b b c c a− + − + − = a b c= = ABC∆
2AC CD= 120ACD °∠ = 1CD =
3 3BD CD= =
∴在△ACD 中，由余弦定理，得 AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，
∴7＝4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，∴CD＝1，
在△ABC 中，BD＝3CD＝3，
由正弦定理，得 sin∠BAD ．
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，
属于基础题.
20．已知函数 ，其导函数 的图象关于 轴对称，
．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 的图象与 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据导函数 的图象关于 轴对称求出m 的值，再根据
求出 n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程 有三个不相等的实根，再求出函数 f(x)
的单调性和极值，分析得解.
【详解】
解：（Ⅰ） .
函数 的图象关于 轴对称， .
又 ，解得 .
， .
（Ⅱ）问题等价于方程 有三个不相等的实根时，求 的取值范围.
由（Ⅰ），得 . .
令 ，解得 .
当 或 时， ，
在 ， 上分别单调递增.
3 21
14
BDsinB
AD
= =
( ) 3 21 33f x x mx nx= + + + ( )f x′ y
( ) 21 3f = −
,m n
( )y f x λ= − x λ
0m = 4n = − 7 25,3 3
−
( )f x′ y ( ) 21 3f = −
( )f x λ=
( ) 2 2f x x mx n′ = + +
( )f x′ y 0m∴ =
( ) 1 21 33 3f n= + + = − 4n = −
0m∴ = 4n = −
( )f x λ= λ
( ) 31 4 33f x x x= − + ( ) 2 4f x x′∴ = −
( ) 0f x′ = 2x = ±
2x < − 2x > ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( ), 2−∞ − ( )2 +∞，
又当 时， ，
在 上单调递减.
的极大值为 ，极小值为 .
实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，
通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．
21．己知函数 ，它的导函数为 .
（1）当 时，求 的零点；
（2）若函数 存在极小值点，求 的取值范围.
【答案】（1） 是 的零点；（2）
【解析】（1）求得 时的 ，由单调性及 求得结果.
（2）当 时， ，易得 存在极小值点，再分当 时和当
时，令 ，通过研究 的单调性及零点情况，得到 的零点
及分布的范围，进而得到 的极值情况，综合可得结果.
【详解】
（1） 的定义域为 ，
当 时， ， .
易知 为 上的增函数，
又 ，所以 是 的零点.
（2） ，
① 当 时， ，令 ，得 ；令 ，得
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，符合题意.
2 2x− < < ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )2,2−
( )f x∴ ( ) 252 3f − = ( ) 72 3f = −
∴ λ 7 25,3 3
−
( ) ( ) ( )lnf x x a x a R= − ∈ ( )f x′
1a = ( )f x′
( )f x a
1x = ( )f x′ ( )2 ,e−− +∞
1a = ( )f x′ ( )1 0f ′ =
0a = ( ) 1 lnf x x=′ + ( )f x 0a >
0a < ( ) ( )g x f x= ′ ( )g x′ ( )g x
( )f x
( )f x ( )0,+∞
1a = ( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) 1ln 1f x x x
+′ = −
( ) 1ln 1f x x x
+′ = − ( )0,+∞
( )1 ln1 1 1 0f ′ = + − = 1x = ( )f x′
( ) ln 1 lnx a af x x xx x
+ −′ −= = +
0a = ( ) 1 lnf x x=′ + ( ) 0f x′ > 1x e
> ( ) 0f x′ <
10 x e
< <
( )f x 10, e
1 ,e
+∞
令 ，则 .
② 当 时， ，所以 在 上单调递增.
又 ， ，
所以 在 上恰有一个零点 ，且当 时， ；当
时， ，所以 是 的极小值点，符合题意.
③ 当 时，令 ，得 .
当 ）时， ；当 时， ，
所以 .
若 ，即当 时， 恒成立，
即 在 上单调递增，无极值点，不符合题意.
若 ，即当 时， ，
所以 ，即 在 上恰有一个零点 ，且当
时， ；当 时， ，
所以 是 的极小值点，符合题意.
综上，可知 ，即 的取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，
构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难
度．
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），在以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2cosθ，
．
（1）求 C1 与 C2 交点的直角坐标；
（2）若直线 l 与曲线 C1，C2 分别相交于异于原点的点 M，N，求|MN|的最大值．
( ) 1 lnag x xx
= − + ( ) 2 2
1a x ag x x x x
+= =′ +
0a > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+∞
1 0g aee
= − <
( ) 11 1 1 0a
a a
ag e a ae e
= − + = + − >
( )g x ( )0,+∞ 0x ( )00,x x∈ ( ) ( ) 0f x g x′ = <
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) ( ) 0f x g x′ = > 0x ( )f x
0a < ( ) 0g x′ = x a= −
( )0,x a∈ − ( ) 0g x′ < ( ),x a∈ − +∞ ( ) 0g x′ >
( ) ( ) ( )min 2 lng x g a a= − = + −
( ) ( )2 ln 0g a a− = + − ≥ 2a e−≤ − ( ) ( ) ( ) 0f x g x g a= ≥ − ≥′
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )2 ln 0g a a− = + − < 2 0e a−− < < ( ) ( )1 1 ln 1 01
ag a aa
− = − + − >−
( ) ( )1 0g a g a− ⋅ − < ( )g x ( ),a− +∞ 1x ( )1,x a x∈ −
( ) ( ) 0f x g x′ = < ( )1x x∈ + ∞ ( ) ( ) 0f x g x′ = >
1x ( )f x
2a e−> − a ( )2 ,e−− +∞
x tcos
y tsin
α
α
=
=
2 2 3C cos
πρ θ = − ：
【答案】（1)（0，0）， ；（2）2.
【解析】（1）由两曲线的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可得 C1 与 C2 的
直角坐标方程，再联立求解即可；
（2）不妨设 ，设点 ， ，作差后取绝对值，再由三角函
数求最值.
【详解】
（1）由 ρ＝2cosθ，得 ρ2＝2ρcosθ，
则曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2＝2x，
由 ，得 ，
则曲线 C2 的直角坐标方程为 ．
由 ，解得 或 ，
故 C1 与 C2 交点的直角坐标为（0，0）， ；
（2）不妨设 0≤α＜π，点 M，N 的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）．
∴
．
∴当 时，|MN|取得最大值 2．
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，属于中档题.
23．已知函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求
的最小值.
3 3
2 2
，
0 α π≤ < ( )1,M ρ α ( )2 ,N ρ α
2 3cos
πρ θ = −
2 3cos sinρ ρ θ ρ θ= +
2 2 3 0x y x y+ − − =
2 2
2 2
2
3 0
x y x
x y x y
+ = + − − =
0
0
x
y
=
=
3
2
3
2
x
y
=
=
3 3
2 2
，
1 2 2 2 3MN cos cos
πρ ρ α α = − = − −
( )2 3 3 2 3cos cos sin cos sin cos
πα α α α α α = − + = − = +
2
3
πα =
( ) 2 1 1f x x x= − + +
( ) 3f x ≥
( )f x m , ,a b c 2 3 2a b c m+ + =
2 2 2a b c+ +
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）先将函数 写成分段函数的形式，再由分类讨论的
方法，即可得出结果；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到 ，再由柯西不等式得到
，进而可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意， ，
所以 等价于 或 或 .
解得： 或 ，所以不等式的解集为 ；
（Ⅱ）由(1)可知,当 时, 取得最小值 ,
所以 ，即 ，
由柯西不等式得 ，
整理得 ，
当且仅当 时, 即 时等号成立.
所以 的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯
西不等式即可，属于常考题型.
{ }1 1x x x≤ − ≥或 9
14
( ) 2 1 1f x x x= − + +
m
2 2 2 2 2 2 2( )(1 2 3 ) ( 2 3 )a b c a b c+ + + + ≥ + +
3 , 1
1( ) 2 , 1 2
13 , 2
x x
f x x x
x x
− ≤ −
= − − < <
≥
( ) 3f x ≥ 1
3 3
x
x
≤ −
− ≥
11 2
2 3
x
x
− < <
− ≥
1
2
3 3
x
x
≥
≥
1x ≤ − 1x ≥ { }1 1x x x≤ − ≥或
1
2x = ( )f x 3
2
3
2m = 2 3 3a b c+ + =
2 2 2 2 2 2 2( )(1 2 3 ) ( 2 3 ) 9a b c a b c+ + + + ≥ + + =
2 2 2 9
14a b c+ + ≥
1 2 3
a b c= = 3 6 9, ,14 14 14a b c= = =
2 2 2a b c+ + 9
14
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