2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第一篇 第5练 52页

第一篇　小考点抢先练 ， 基础题不失分 第 5 练　数学文化 明晰 考 情 1. 命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有 . 2 . 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 高考押题冲刺练 考点一　算法、数列中的数学文化 方法技巧 　 (1) 和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行 . (2) 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型 . 核心考点突破练 1. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “ 更相减损术 ” ，执行该程序框图，若输入的 a ， b 分别为 14 ， 18 ，则输出的 a 为 A.4 B.2 C.0 D.14 √ 解析　 由题意可知输出的 a 是 18 ， 14 的最大公约数 2 ，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 2.(2018· 石嘴山模拟 ) 《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为： “ 今有女善织，日益功疾 ( 注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布 ) ，第一天织 5 尺布，现一月 ( 按 30 天计 ) 共织 390 尺布 ” ，则从第 2 天起每天比前一天多织布的尺数为 解析　 依题意设每天多织 d 尺， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 3.(2018· 葫芦岛模拟 )20 世纪 70 年代，流行一种游戏 —— 角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数 n ，按照以下的规律进行变换：如果 n 是个奇数，则下一步变成 3 n ＋ 1 ；如果 n 是个偶数，则下一步 变成 ， 这种游戏的魅力在于无论你写出一个 多么 庞大 的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的 4 － 2 － 1 循环，而永远也跳不出这个圈子 ， 右 面 程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的 i 值为 6 ，则输入的 n 值为 A.5 　　　　　　　　 B.16 C.5 或 32 　　　　　　 D.4 或 5 或 32 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析　 当 n ＝ 5 时，执行程序框图， i ＝ 1 ， n ＝ 16 ， i ＝ 2 ， n ＝ 8 ， i ＝ 3 ， n ＝ 4 ， i ＝ 4 ， n ＝ 2 ， i ＝ 5 ， n ＝ 1 ， i ＝ 6 ，结束循环，输出 i ＝ 6 ； 当 n ＝ 32 时，执行程序框图， i ＝ 1 ， n ＝ 16 ， i ＝ 2 ， n ＝ 8 ， i ＝ 3 ， n ＝ 4 ， i ＝ 4 ， n ＝ 2 ， i ＝ 5 ， n ＝ 1 ， i ＝ 6 ，结束循环，输出 i ＝ 6. 易知当 n ＝ 4 时，不符合，故 n ＝ 5 或 n ＝ 32 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 4. 名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a ， b 分别为 5 ， 2 ，则输出的 n 等于 A.2 　　　 B.3 　　　 C.4 　　　 D.5 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 故输出的 n 值为 4. 1 2 3 4 5 6 5.(2018· 北京 ) “ 十二平均律 ” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献 . 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都 等于 　 . 若第一个 单音的 频率为 f ，则第八个单音的频率为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 答案 解析 8 11 1 2 3 4 5 6 方法二　 100 － 81 ＝ 19( 只 ) ， 81÷3 ＝ 27( 元 ) ， 100 － 27 ＝ 73( 元 ). 假设剩余的 19 只鸡全是鸡翁，则 5 × 19 ＝ 95( 元 ). 因为 95 － 73 ＝ 22( 元 ) ， 所以鸡母： 22÷(5 － 3) ＝ 11( 只 ) ， 鸡翁： 19 － 11 ＝ 8( 只 ). 1 2 3 4 5 6 考点二　三角函数与几何中的数学文化 方法技巧 　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题 . 7. 我国古代数学名著《九章算术》在 “ 勾股 ” 一章中有如下数学问题： “ 今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？ ”. 意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是 8 步和 15 步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 A.3 步 　　　 B.6 步 　　　 C.4 步 　　　 D.8 步 解析　 由于该直角三角形的两直角边长分别是 8 和 15 ，则得其斜边长为 17 ， 设其内切圆半径为 r ， √ 解得 r ＝ 3 ，故其直径为 6 步 . 7 8 9 10 11 12 答案 解析 8. 如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4 ，大正方形的面积为 100 ，直角三角形中较小的锐角为 α ，则 tan α 等于 解析　 由题意得，大正方形的边长为 10 ，小正方形的边长为 2 ， ∴ 2 ＝ 10cos α － 10sin α ， √ 答案 解析 7 8 9 10 11 12 9.(2018· 全国 Ⅲ ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 . 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 . 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 ， 则 咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 解析　 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. √ 答案 解析 7 8 9 10 11 12 10. 我国南北朝时期数学家 、 天文学家 —— 祖暅 提出了著名的祖暅原理： “ 幂势即同，则积不容异 ”.“ 幂 ” 是截面积， “ 势 ” 是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等 . 已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足 “ 幂势同 ” ，则该不规则几何体的体积为 答案 解析 √ 7 8 9 10 11 12 解析　 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱 . ∴ 三视图对应几何体的体积 V ＝ 8 － π. 根据祖 暅 原理，不规则几何体的体积 V ′ ＝ V ＝ 8 － π. 7 8 9 10 11 12 11. (2018· 蚌埠模拟 ) 我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题： “ 今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？ ” 意思是：现在有粟米 250 斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为 5 丈 4 尺，则谷堆的高为多少？ ( 注： 1 斛 ≈ 1.62 立方尺， π ≈ 3) 若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为 A.5 尺 　　　 B.9 尺 　　　 C.10.6 尺 　　　 D.21.2 尺 √ 解析　 设谷堆的高为 h 尺，底面半径为 r 尺，则 2π r ＝ 54 ， r ≈ 9. 粟米 250 斛，则体积为 250 × 1.62 ＝ × π × 9 2 × h ， h ≈ 5. 谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为 R 尺 . 则 R 2 ＝ ( h － R ) 2 ＋ r 2 ，解得 R ≈ 10.6( 尺 ). ∴ 2 R ≈ 21.2( 尺 ). 答案 解析 7 8 9 10 11 12 12. 卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行 . 若用 2 c 1 和 2 c 2 分别表示椭 圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的焦距，用 2 a 1 和 2 a 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的长轴长，给出下列式子： 其中正确的式子的序号是 A. ①③ 　　　 B . ①④ 　　　 C . ②③ 　　　 D . ②④ √ 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 ① 由题图知 2 a 1 >2 a 2 ， 2 c 1 >2 c 2 ， 即 a 1 > a 2 ， c 1 > c 2 ， ∴ a 1 ＋ c 1 > a 2 ＋ c 2 ， ∴① 不正确 . ②∵ a 1 － c 1 ＝ | PF | ， a 2 － c 2 ＝ | PF | ， ∴ a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ， ∴② 正确 . 又 ∵ a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ，即 a 1 ＋ c 2 ＝ a 2 ＋ c 1 ， 即 ( a 1 － c 1 )( a 1 ＋ c 1 ) － ( a 2 － c 2 )( a 2 ＋ c 2 ) ＋ 2 a 1 c 2 ＝ 2 a 2 c 1 ， 整理得 ( a 1 － c 1 )( a 1 － a 2 ＋ c 1 － c 2 ) ＋ 2 a 1 c 2 ＝ 2 a 2 c 1 . 7 8 9 10 11 12 ∵ a 1 > c 1 ， a 1 > a 2 ， c 1 > c 2 ， ∴ 2 a 1 c 2 <2 a 2 c 1 ，即 c 1 a 2 > a 1 c 2 ， ∴④ 正确 . ③∵ c 1 a 2 > a 1 c 2 ， a 1 >0 ， a 2 >0 ， 7 8 9 10 11 12 考点三　概率、统计与推理证明中的数学文化 方法技巧 　 (1) 概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型 . (2) 推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论 . 13. 我国古代数学名著《九章算术》有 “ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 解析　 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约 为 × 1 534 ≈ 169( 石 ). √ 答案 解析 13 14 15 16 17 14. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗： “ 儿忆父兮妻忆夫 ” ，既可以顺读也可以逆读 . 数学中有回文数，如 343 ， 12 521 等，两位数的回文数有 11 ， 22 ， 33 ， … ， 99 共 9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 √ 答案 解析 13 14 15 16 17 解析　 三位数的回文数为 ABA ， A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1 B 1 ， 2 B 2 ， 3 B 3 ， … ， B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A 0 A ， A 1 A ， A 2 A ， A 3 A ， … ， 共有 9 × 10 ＝ 90( 个 ) ； 其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2 B 2 ， 4 B 4 ， 6 B 6 ， 8 B 8 ， B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A 0 A ， A 1 A ， A 2 A ， A 3 A ， … ， 其有 4 × 10 ＝ 40( 个 ) ， 13 14 15 16 17 15.(2018· 永州模拟 ) 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1 ， 2 ， … ， 9 填入 3 × 3 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15 ( 如图 ). 一般地，将连续的正整数 1 ， 2 ， 3 ， … ， n 2 填入 n × n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做 n 阶幻方 . 记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为 N n ( 如：在 3 阶幻方中， N 3 ＝ 15) ，则 N 10 等于 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A.1 020 　　　 B.1 010 　　　 C.510 　　　 D.505 √ 答案 解析 13 14 15 16 17 ∵ n 阶幻方共有 n 行， 13 14 15 16 17 16. (2018· 贵港市联考 ) 《九章算术》勾股章有一 “ 引葭赴岸 ” 问题： “ 今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐 . 问水深、葭长各几何 . ” 其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐 ( 如图所示 ) ，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺 . 若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 √ 答案 解析 13 14 15 16 17 解析　 如图所示，设水深为 x 尺， 由题意得 ( x ＋ 2) 2 ＝ x 2 ＋ 5 2 ， 13 14 15 16 17 17.(2018· 北京朝阳区模拟 ) 庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称 “ 庙市 ” 或 “ 节场 ”. 庙会大多在春节、元宵节等节日举行 . 庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如 “ 砸金蛋 ” ( 游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则 “ 中奖 ” ). 今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会 . 游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说： “ 我或乙能中奖 ” ；　　　　乙说： “ 丁能中奖 ” ； 丙说： “ 我或乙能中奖 ” ；　　　　丁说： “ 甲不能中奖 ”. 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A. 甲 　　　 B . 乙 　　　 C . 丙 　　　 D . 丁 √ 答案 解析 13 14 15 16 17 解析　 由四人的预测可得下表： 中奖人 预测结果 甲 乙 丙 丁 甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁 × √ × √ 由分析可知，中奖者是甲 . 13 14 15 16 17 1. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题： “ 今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差 ( 即等差 ) 降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给 . 问：每等人比下等人多得几斤？ ” 高考押题冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 设第十等人得金 a 1 斤，第九等人得金 a 2 斤 ，以此类推， 第 一等人得金 a 10 斤 ，则 数列 { a n } 构成等差数列 ， 设 公差为 d ，则每一等人比下一等人多得 d 斤金， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2018· 山东、湖北部分重点中学模拟 ) 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中 “ 如像招数 ” 五问中有如下问题： “ 今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日 ”. 其大意为 “ 官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40 392 升，问修筑堤坝多少天 ” ，在该问题中前 5 天共分发了多少升大米？ A.1 170 　　　 B.1 380 　　　 C.3 090 　　　 D.3 300 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 设第 n 天派出的人数为 a n ， 则 { a n } 是以 64 为首项， 7 为公差的等差数列， 所以前 5 天共分发的大米数为 3( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ＋ S 5 ) ＝ 3[(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ) × 64 ＋ (1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10) × 7] ＝ 3 300( 升 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 我国古代数学典籍《九章算术》 “ 盈不足 ” 中有一道两鼠穿墙问题： “ 今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ” 上述问题中，两鼠在第几天相逢 A.3 　　　　 B.4 　　　　 C.5 　　　　 D.6 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 解得 n ∈ (3 ， 4) ，取 n ＝ 4. 即两鼠在第 4 天相逢 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 《九章算术》卷 5 《商功》记载一个问题 “ 今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 . 问积几何？答曰：二千一百一十二尺 . 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一 ”. 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为 “ 周自相乘 ， 以高乘之 ， 十二而一 . ” 就是说 ： 圆堡瑽 ( 圆柱体 ) 的体积为： V ＝ 　 × ( 底面的圆周长的平方 × 高 ). 则由此可推得圆周率 π 的取值为 A.3 　　　　 B.3.14 　　　　 C.3.2 　　　　 D.3.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 ∴ π ＝ 3 ， R ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意，圆柱体底面的圆周长 48 尺，高 11 尺， 5.(2018· 吉林调研 ) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算 到珠算的彻底转变，该作中有题为 “ 李白沽酒 ” “ 李白 街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？ ” ，如图为该问题的程序框图，若输出的 S 值为 0 ，则开始输入的 S 值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 解析　 模拟程序的运行，可得 当 i ＝ 1 时， S ＝ 2 S － 1 ， i ＝ 1 满足条件 i <3 ，执行循环体； 当 i ＝ 2 时， S ＝ 2(2 S － 1) － 1 ， i ＝ 2 满足条件 i <3 ，执行循环体； 当 i ＝ 3 时， S ＝ 2[2(2 S － 1) － 1] － 1 ， i ＝ 3 不满足条件 i <3 ，退出循环体，输出 S ＝ 0 ， ∴ 2[2(2 S － 1) － 1] － 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (2018· 聊城模拟 ) 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅 “ 勾股圆方图 ” ，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形 . 设直角三角形中一个锐角的正切值为 3. 在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是 解析　 不妨设两条直角边为 3 ， 1 ，故斜边， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7.(2018· 南昌模拟 ) 欧阳修在《卖油翁》中写道 “ ( 翁 ) 乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ” ，可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止 . 若铜钱是直径为 4 cm 的圆面，中间有边长为 1 cm 的正方形孔 . 现随机向铜钱上滴一滴油 ( 油滴的大小忽略不计 ) ，则油滴落入孔中的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 而边长为 1 cm 的正方形的面积为 1 × 1 ＝ 1(cm 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2018· 辽宁瓦房店模拟 ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？ ” 其意思为： “ 今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？ ” 若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 A.128π 平方尺 B.138π 平方尺 C.140π 平方尺 D.142π 平方尺 √ 解析　 设四棱锥的外接球半径为 r 尺， 则 (2 r ) 2 ＝ 7 2 ＋ 5 2 ＋ 8 2 ＝ 138 ， ∴ 这个四棱锥的外接球的表面积为 4π r 2 ＝ 138π( 平方尺 ). 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即 “ 结绳计数 ” ，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生 _____ 天 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意满七进一，可得该图示为七进制数， 化为十进制数为 1 × 7 3 ＋ 3 × 7 2 ＋ 2 × 7 ＋ 6 ＝ 510. 答案 解析 510 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为共有 4 095 个正方形， 则 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ 4 095 ，所以 n ＝ 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 12. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》 (1261 年 ) 一书中，用如图 A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律 . 在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士 · 帕斯卡的著作 (1655 年 ) 介绍了这个三角形 . 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是 “ 中国三角形 ” (Chinese triangle) ，如图 A . 17 世纪德国数学家莱布尼茨 发现 了 “ 莱布尼茨三角形 ” 如图 B . 在 杨辉三 角中相邻两行满足关系式 ： 其中 n 是行数 ， r ∈ N . 请类比上式，在 莱布尼茨 三角形 中相邻两行满足的关系式是 ___________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案