2018-2019学年重庆大学城第一中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版 19页

绝密★启用前 重庆大学城第一中学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数,则复数的虚部是( )‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入的表达式中，并进行化简，由此求得的虚部.‎ ‎【详解】‎ 将代入的表达式中得，故虚部为，所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2．已知函数是可导函数，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得： ,‎ 即： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先对函数求导，再将代入即可.‎ 详解：函数 ‎，‎ 将代入，得 故选D.‎ 点睛：本题考查复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得 ‎，‎ ‎，，‎ 则曲线在点处的切线方程是，即．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.‎ ‎5．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分计算得阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查几何概型的识别以及其概率计算公式，属于基础题.‎ ‎6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由的图像判断出的单调性，进而可判断出结果。‎ ‎【详解】‎ 由的图像可得：当时，，即；‎ 当时，，即,‎ 所以函数在0上单调递增， 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由导函数的图像判断函数的图像，属于基础题型.‎ ‎7．函数的单调减区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域为，‎ 函数的导数，‎ 由得，得，得，‎ 即函数的单调递减区间为，，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调区间的求解，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃。‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．‎ ‎【详解】‎ 假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， ‎ 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．‎ ‎9．已知函数，则的极大值点为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 因此，所以，由得：；由得：；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.‎ ‎10．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，转化成在上有恒成立，从而求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 又在上是减函数，‎ 在上恒有，‎ 即在上恒成立，‎ 因为，所以，‎ 所以：．‎ 实数a的取值范围是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题．‎ ‎11．已知函数-1在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由-1得，令，求导研究的单调性，由y=a+1与在区间上有一个交点即可得出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎-1则，令 ‎ 可得在（0,1）递减，在（1,2）递增，时， ，=2,所以函数-1在区间上至少有一个零点转化为y=a+1与在区间上有交点，即a+12, a1.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点问题，采用变量分离把问题转化为函数图象交点问题，属于中档题.‎ ‎12．函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求得的导函数，结合题目所给条件，得到的单调性，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，依题意可知，当时，，故函数在上为增函数.由于，故所求不等式可化为，所以，解得.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法求函数的单调区间，考查利用单调性解不等式，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．复数，，则在复平面内所对应的点位于第___象限．‎ ‎【答案】一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内所对应的点的坐标即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，‎ 在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限。‎ 故答案为：一．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题。‎ ‎14．函数，则的值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据微积分基本定理，用定积分的运算，即可得到计算的结果.‎ 详解：由题意，函数，‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查了定积分的运算及应用，其中熟记微积分基本定理和定积分的运算，定积分的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，给出关于的下列命题：‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎①函数在处取得极小值;‎ ‎②函数在是减函数，在是增函数；‎ ‎③当时，函数有4个零点；‎ ‎④如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0.‎ 其中所有的正确命题是__________(写出正确命题的序号).‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 分析：由导函数的图象可得函数的单调性、极值与最值，进而可画出函数的图象得出答案.‎ 详解：由导函数的图象可知：‎ 根据上述表达及其已知表格可画出函数的图象：‎ ‎①函数在处取得极小值，正确；‎ ‎②由表格和图象可知：函数在是减函数，因此不正确；‎ ‎③作出函数y=a，‎ 可知：当时，函数与y=a有四个交点，‎ 因此函数有4个零点，正确；‎ ‎④当时，函数单调递增，其函数值由1增加到2.故如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0，故正确.‎ 故答案为：①③④.‎ 点睛：求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 ‎(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；‎ ‎(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；‎ ‎(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．‎ ‎16．国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的作为健身场所．则的面积为的最大值为____________（单位：）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得，设边缘线所在的抛物线为，代入C点坐标可求抛物线为。EF为抛物线的切线，设，由导数知识可求直线EF方程为，从而可求E、F的坐标，于是可列的面积为，且，利用导数知识求函数最大值即可。‎ ‎【详解】‎ 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得。设边缘线所在的抛物线为，把代入得，‎ 所以抛物线为。‎ 设点，因为，‎ 所以过点P的切线EF的方程为，‎ 令，得；令得 所以的面积为，‎ 即，‎ 而=；‎ 由得，，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以S在上有最大值。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，极值与最值，曲线的切线方程，抛物线的方程，重点考查了学生的分析问题与解问题的能力，逻辑推理能力与数学运算能力。是综合性较强的题目，属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数z满足|z|=，的虚部为2.‎ ‎（1）求z；‎ ‎（2）设z，，在复平面对应的点分别为A，B，C，求的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设复数代数形式，再根据条件列方程组解得z，（2）先根据复数乘法以及减法计算化为复数代数形式，再确定对应点坐标，最后根据点坐标关系求三角形面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，因为|z|=，所以 因为 的虚部为2，所以 因此 ‎（2）当时，即,因此三角形面积为 当时，即,因此三角形面积为 因此的面积为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎18．已知函数，当时，的极大值为7；当时，有极小值.求 ‎（1）的值；‎ ‎（2）求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为当x＝﹣1时，f（x）有极大值，当x＝3时，f（x）有极小值，所以把x＝﹣1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．‎ ‎（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∴f（x）＝x3+ax2+bx+c ‎∵f′（x）＝3x2+2ax+b 而x＝﹣1和x＝3是极值点，‎ 所以，解之得：a＝﹣3，b＝﹣9‎ 又f（﹣1）＝﹣1+a﹣b+c＝﹣1﹣3+9+c＝7，故得c＝2，‎ ‎∴a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2，‎ ‎∴f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，‎ ‎∴函数f（x）在[0，3]递减，在[3，4]递增，‎ ‎∴f（x）最小值＝f（3）＝﹣25．‎ 而f（4）＝-18，f（0）＝2，‎ ‎∴f（x）最大值＝2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在求函数的极值中的应用，做题时要细心．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键，考查了利用导数判断单调性及最值，属于中档题型．‎ ‎19．已知数列的前n项和．‎ ‎（1）计算，，，； ‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）依题设可得，，，；‎ ‎（2）猜想：．‎ 证明：①当时，猜想显然成立．‎ ‎②假设时，猜想成立，‎ 即．那么，当时，，即．‎ 又，所以，‎ 从而．即时，猜想也成立．‎ 故由①和②，可知猜想成立．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题可知，，即，，即，依次递推下去，得出；（2）根据数学归纳法有，当，时，猜想成立，证明当时，猜想也正确，才能最后确定猜想正确；‎ 试题解析：（1）依题设可得，当时，，即，即，故 ‎，，，；‎ ‎（2）猜想：．‎ 证明：①当时，猜想显然成立．‎ ‎②假设时，猜想成立，‎ 即．那么，当时，，即．‎ 又，所以，‎ 从而．即时，猜想也成立．‎ 故由①和②，可知猜想成立．‎ 考点：数列的递推‚数学归纳法 ‎20．已知函数 当时，求函数的极值；‎ 求函数的单调递增区间；‎ 当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的极小值是，无极大值；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入a值，求函数的导数，解导数不等式得到函数的单调区间，即可求极值；求函数的导数，通过讨论a的范围，解导数不等式得函数的递增区间；问题转化为，令，根据函数的单调性求最大值，从而求a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：时，，，‎ 令，解得：或，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，在递减，在递增，‎ 而在处无定义，‎ 故的极小值是，无极大值；‎ ‎，‎ 当时，解得：或，‎ 故函数在，递增，‎ 当时，解得：，‎ 故函数在递增；‎ ‎，，令，‎ 则，‎ ‎，令，解得：，‎ 在递增，在递减，‎ 即，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，综合性较强．‎ ‎21．已知函数（a＞0）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：对任意x∈[1，＋∞），有．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：．‎ ‎①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，‎ 解得；‎ 由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．‎ 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．‎ ‎②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或；‎ 由f'（x）＞0，得．‎ 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为．‎ ‎（2）证明：构造函数，‎ 则．‎ 因为Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，‎ 所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．‎ 故g（x）在区间[1，＋∞）上是减函数．‎ 又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．‎ 故对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎22．已知函数 .‎ ‎（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，‎ 两点处的切线斜率分别为，，求证：+ .‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，求得函数的导数，设，分离参数转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性，得到函数的最值，即可得到实数的取值范围；‎ ‎（2）由，得，，不妨设，利用导数求得两点的斜率，得到+ ，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可作出证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，∴，‎ 设，‎ 函数在上是增函数，∴ 在上恒成立，即在上恒成立，‎ 设，则，‎ ‎，∴，∴在上是增函数，‎ ‎∴，由在上恒成立，得， ，‎ ‎∴，即的取值范围是.‎ ‎（2） ，由，得，，不妨设. ‎ ‎ ，，， + ，‎ 设，则，时，，时，，所以 为的极大值点，所以的极大值即最大值为，即，‎ ‎∵且，∴且，‎ ‎∴，∴+ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围。同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．‎