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- 2021-06-10 发布
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兰州一中20192020-1学期期末考试试题
高一数学
命题教师 审题教师
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120
分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到 “新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）
A. 快、新、乐 B. 乐、新、快
C. 新、乐、快 D. 乐、快、新
3．正方体中, 直线与所成的角为（ ）
A．30ｏ B．45ｏ C．60ｏ D．90ｏ
4．正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
5. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若；
②若；
③如果是异面直线，则相交；
④若
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1
的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
7. 已知两定点A(-3，5)，B(2，8)，动点P在直线x-y＋1＝0上，则 的最小值
为( )
A．5 B． C．5 D．
8．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
9. 棱台上、下底面面积比为1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A．1∶7 B．2∶7 C． 7∶19 D．5∶ 16
10. 若某多面体的三视图(单位：)如图所示, 则此多面体的体积是（ ）
11. 已知圆的方程，过作直线与圆交于点. 且直线
关于直线对称，则直线的斜率等于（ ）
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已
知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（ ）
A. (- 4，0) B. (- 4，0)，(- 2，0)
C. (- 4，0)，(- 3，0) D. (- 4，2)
参考公式：若△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则该
△ABC的重心的坐标为.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+2a=0平行，则的值为 .
14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是 .
15. 已知关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围是 .
16. 已知圆O：，点A(-5，0)，若在直线OA上(O为坐标原点)，存在异于A的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数. 则点B的坐标是
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设直线和圆相交于点A、B.
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长.
18．(12分)如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分
别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(1) 证明EF//平面A1CD；
(2) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.
19．（12分）如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G， AD⊥平面ABE， AE＝EB＝BC＝
2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
(1) 求证：AE⊥平面BCE；
(2) 求三棱锥C－BGF的体积．
20． (12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC
边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1) 求直线AB的方程；
(2) 求直线BC的方程；
(3) 求△BDE的面积．
A
C
D
E
B
21. (12分)如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，
CD=，AB=AC，CE与平面ABE所成的角为45°.
(1) 证明：AD⊥CE；
(2) 求二面角A-CE-B 的正切值.
22. （本小题12分）
已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1) 求圆C的方程；
(2) 设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)
的直线l垂直平分弦AB？ 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题参考答案
高一数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
B
A
D
C
C
D
A
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（本小题满分10分）
解：（1）圆方程可整理为：，圆心坐标为（1，0），半径r=2，
易知弦AB的垂直平分线过圆心，且与直线AB垂直，
而.
所以，由点斜式方程可得：
整理得： . ……………………5分
（2）圆心（1，0）到直线
故 ……………………10分
18．（本小题满分12分）
证明：(1) 连接ED，∵ED∥AC, ED=AC ，
又∵F为A1C1的中点.
∴A1F∥DE, A1F=DE，
∴四边形A1DEF是平行四边形， ∴EF∥A1D ，
又A1DÌ平面A1CD， EFË平面A1CD，
∴EF//平面A1CD ……………………6分
(2) ∵A1A⊥平面ABC, ∴A1A⊥CD ，
又∵D是AB的中点, ∴AB⊥CD，
∴CD⊥平面A1ABB1， 又∵CDÌ平面A1CD，
∴平面A1CD⊥平面A1ABB1. ……………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）因为面，所以，
又，
所以.
因为，所以.
又因为
所以AE垂直于平面BCE …………… 6分
（2）因为，所以,,
又因为为中点， 所以 . …………… 10分
所以. …………… 12分
20．(本小题满分12分)
解：(1)直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为， …………４分
(2) 由 得, 即直线AB与AC边中线BE的交点为B(，2).
设点C的坐标为 (m，n)，
则由已知条件得 解得 故C(2，1).
∴所以BC边所在的直线方程为； ……………………8分
(3) ∵E是AC的中点, ∴E(1，1), ∴E到AB的距离为：d=.
又点B到CD的距离为：|BD|=，
∴S△BDE=•d•|BD|=. ……………………12分
另解：∵E是AC的中点, ∴E(1，1), ∴|BE|=,
由 得 , ∴D(,)，
∴D到BE的距离为：d=， ∴S△BDE=•d•|BE|= . …………12分
21. (本小题满分12分)
证明：(1)如图，取BC的中点H,连接HD交CE于点P，连接 AH、AP.
∵AB=AC,
∴AH^BC
又∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，AH平面ABC.
A
C
D
E
B
H
P
G
∴AH^平面BCDE，又∵CE平面BCDE.
∴AH^CE，
又∵,
∴Rt△HCD∽Rt△CDE，
∴∠CDH=∠CED,
∴HD^CE.
又∵ AHHD=H，AH平面AHD，HD平面AHD.
∴CE⊥平面AHD，又∵AD平面AHD.
∴CE⊥AD ，即AD⊥CE. ……………………6分
(2)由(1) CE⊥平面AHD, ∴AP⊥CE,
又∵HD^CE .
∴∠APH就是二面角A-CE-B 的平面角,
过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接CG、EG.
∵BE⊥BC,且BE⊥AH，
∴BE⊥平面ABC,
∴BE⊥CG,
∴CG⊥平面ABE,
∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角， 即∠CEG=45°，
又∵CE=,
∴CG=EG=.
又∵BC=2,
∴∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC=2. ∴AH=.
又∵HD=,
∴HP==,
∴tan∠APH==3.
故二面角A-CE-B 的正切值是3. ……………………12分
22.（本小题满分12分）
解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， ………1分
则有 …………………3分
解得 ………… …………………5分
∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0. …………6分
（2）设符合条件的实数存在，
由于l垂直平分弦，故圆心必在l上．
所以l的斜率，
而， 所以． …………8分
把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆的方程，
消去，整理得．
由于直线交圆于两点，
故，
即，解得．
则实数的取值范围是． …………………10分[来 由于，
故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦． ………12分
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