2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第3章 导数及其应用13导数的概念与运算 3页

‎【课时训练】导数的概念与运算 一、选择题 ‎1．(2018广东江门一模)设y＝x2ex，则y′＝(　　)‎ A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)ex ‎【答案】C ‎【解析】y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.‎ ‎2．(2018河南六市联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x·f ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝(　　)‎ A．－e B．－1‎ C．1 D．e ‎【答案】B ‎【解析】由f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，得f ′(x)＝2f ′(1)＋，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.‎ ‎3．(2018山东烟台模拟)曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)‎ A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.‎ ‎4．(2018郑州模拟)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D． ‎【答案】B ‎【解析】因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．‎ ‎5．(2018成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A．e B．－e C． D．－ ‎【答案】C ‎【解析】y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0‎ ‎＝e，故此切线的斜率为.‎ ‎6．(2018昆明诊断)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)‎ A．－1 B. C．－2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵y′＝，∴＝－1.由条件，知＝－1，∴a＝－1.‎ ‎7．(2018西安一模)函数f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为f(x)＝ln x＋x2－bx＋a，所以f′(x)＝＋2x－b.所以函数f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率为f′(b)＝＋b≥2，所以函数f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是2.故选D.‎ ‎8．(2018合肥模拟)已知点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，‎ 得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，‎ 故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点的坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.‎ 二、填空题 ‎9．(2018陕西咸阳一模)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.‎ ‎10．(2018郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是____________．‎ ‎【答案】2x－y＋1＝0‎ ‎【解析】由题意，得f ′(x)＝3x2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.‎ ‎11．(2018豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．‎ ‎【答案】5x＋y＋2＝0‎ ‎【解析】∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5.‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.‎ ‎12．(2018长沙一中期末)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由图形可知f(3)＝1，f ′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1－1＝0.‎ ‎13．(2018湖南师大附中月考)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】[2，＋∞)‎ ‎【解析】∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f ′(x)＝x－a＋(x>0)．‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f ′(x)存在零点，‎ 即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．‎ 三、解答题 ‎14．(2018湖北孝感高中期中)已知函数f(x)＝x3－x.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；‎ ‎(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．‎ ‎【解】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.‎ 故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.‎ ‎(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为 y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ 又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，‎ 即2x－3x＋b＋1＝0.‎ 由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．‎ 记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，‎ 而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．‎