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  • 2021-06-10 发布

高中数学选修2-2课时练习第五章 1_1~1_2

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‎§1 数系的扩充与复数的引入 ‎1.1 数的概念的扩展 ‎1.2 复数的有关概念 ‎[学习目标]‎ ‎1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.‎ ‎2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.‎ ‎3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.‎ ‎4.理解复数的几何表示.‎ ‎[知识链接]‎ 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢?‎ 答 设想引入新数i,使i是方程x2=-1的根,即i·i=-1,方程x2=-1有解,同时得到一些新数.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.复数的有关概念 ‎(1)复数 ‎①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作虚数单位,a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部.‎ ‎②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).‎ ‎(2)复数集 ‎①定义:复数的全体组成的集合叫作复数集.‎ ‎②表示:通常用大写字母C表示.‎ ‎2.复数的分类及包含关系 ‎(1)分类:复数(a+bi,a,b∈R) ‎(2)集合表示:‎ ‎3.两个复数相等:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.‎ ‎4.复数的几何意义 ‎(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b);‎ ‎(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量=(a,b).‎ ‎5.复数的模:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|=.‎ ‎                   ‎ 要点一 复数的概念 例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.‎ ‎①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.‎ 解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.‎ 规律方法 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.‎ 跟踪演练1 实数m为何值时,复数z=+(m2+‎2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.‎ 解 (1)要使z是实数,m需满足m2+‎2m-3=0,‎ 且有意义即m-1≠0,解得m=-3.‎ ‎(2)要使z是虚数,m需满足m2+‎2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.‎ ‎(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,‎ 且m2+‎2m-3≠0,解得m=0或m=-2.‎ 要点二 两个复数相等 例2 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.‎ ‎(2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.‎ 解 (1)∵x2-y2+2xyi=2i,‎ ‎∴,解得,或 ‎(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为 ‎3m2‎‎-m-1=(10-m-‎2m2‎)i,‎ ‎∴解得a=11或a=-.‎ 规律方法 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.‎ 跟踪演练2 已知x,y均是实数,且满足(x+y)+(y-1)i=2x+3y+(2y+1)i,求x与y.‎ 解 由复数相等的充要条件得x+y=2x+3y且y-1=2y+1,解得x=4,y=-2.‎ 要点三 复数的几何意义 例3 在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-‎3m+2)i对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.‎ 解 复数z=(m2-m-2)+(m2-‎3m+2)i的实部为 m2-m-2,虚部为m2-‎3m+2.‎ ‎(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.‎ ‎(2)由题意得 ‎∴,∴-1b,则a+i>b+i C.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1‎ D.两个虚数不能比较大小 答案 D 解析 对于复数a+bi(a,b∈R),‎ 当a=0且b≠0时为纯虚数.‎ 在A中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故A错误;‎ 在B中,两个虚数不能比较大小,故B错误;‎ 在C中,若x=-1,不成立,故C错误;D正确.‎ ‎3.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是(  )‎ A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 答案 A 解析 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知:复数-+2i的虚部为2;复数i+2i2=i+2×(-1)=‎ ‎-2+i的实部为-2,则所求的z=2-2i.‎ ‎4.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(  )‎ A. B.2 ‎ C.0 D.1‎ 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知,x+y=0.‎ ‎∴2x+y=20=1.‎ ‎5.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则|z|=________.‎ 答案 2‎ 解析 ∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,‎ ‎∴.解得a=1,∴z=2i.∴|z|=2.‎ ‎6.z1=-3-4i,z2=(n2-‎3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=________,n=________.‎ 答案 2 ±2‎ 解析 由z1=z2得,解得.‎ ‎7.实数m分别为何值时,复数z=+(m2-‎3m-18)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.‎ 解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为0.‎ 故若使z为实数,则,‎ 解得m=6.所以当m=6时,z为实数.‎ ‎(2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为0.‎ 故若使z为虚数,则m2-‎3m-18≠0,且m+3≠0,‎ 解得m≠6且m≠-3,‎ 所以当m≠6且m≠-3时,z为虚数.‎ ‎(3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为0,虚部不为0.故若使z为纯虚数,‎ 则 解得m=-或m=1.‎ 所以当m=-或m=1时,z为纯虚数.‎ 二、能力提升 ‎8.若θ∈,则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i在复平面内所对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 ∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,sin θ-cos θ>0.∴选B.‎ ‎9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )‎ A.4+8i B.8+2i ‎ C.2+4i D.4+i 答案 C 解析 A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.‎ ‎10.已知集合M={1,2,(a2-‎3a-1)+(a2-‎5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=________.‎ 答案 -1‎ 解析 由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-‎3a-1)+(a2-‎5a-6)i=3,‎ 所以解得a=-1.‎ ‎11.当实数m为何值时,复数z=(m2-‎8m+15)+(m2+‎3m-28)i在复平面内的对应点:‎ ‎(1)位于第四象限;‎ ‎(2)位于x轴负半轴上;‎ ‎(3)在上半平面(含实轴).‎ 解 (1)要使点位于第四象限,‎ 须,‎ ‎∴,‎ ‎∴-7-1,如何求自然数m,n的值?‎ 解 因为 (m+n)-(m2-‎3m)i>-1,‎ 所以 (m+n)-(m2-‎3m)i是实数,‎ 由①得m=0或m=3,‎ 当m=0时,代入②得n<2,‎ 又m+n>0,所以n=1;‎ 当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾,‎ 综上可得m=0,n=1.‎

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