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- 2021-06-10 发布
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§1 数系的扩充与复数的引入
1.1 数的概念的扩展
1.2 复数的有关概念
[学习目标]
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.
4.理解复数的几何表示.
[知识链接]
为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢?
答 设想引入新数i,使i是方程x2=-1的根,即i·i=-1,方程x2=-1有解,同时得到一些新数.
[预习导引]
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作虚数单位,a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部.
②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).
(2)复数集
①定义:复数的全体组成的集合叫作复数集.
②表示:通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)分类:复数(a+bi,a,b∈R)
(2)集合表示:
3.两个复数相等:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
4.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b);
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量=(a,b).
5.复数的模:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|=.
要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.
①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.
解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.
规律方法 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪演练1 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,
且有意义即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,
且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
要点二 两个复数相等
例2 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.
(2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.
解 (1)∵x2-y2+2xyi=2i,
∴,解得,或
(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为
3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴解得a=11或a=-.
规律方法 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.
跟踪演练2 已知x,y均是实数,且满足(x+y)+(y-1)i=2x+3y+(2y+1)i,求x与y.
解 由复数相等的充要条件得x+y=2x+3y且y-1=2y+1,解得x=4,y=-2.
要点三 复数的几何意义
例3 在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为
m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.
(2)由题意得
∴,∴-1b,则a+i>b+i
C.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1
D.两个虚数不能比较大小
答案 D
解析 对于复数a+bi(a,b∈R),
当a=0且b≠0时为纯虚数.
在A中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故A错误;
在B中,两个虚数不能比较大小,故B错误;
在C中,若x=-1,不成立,故C错误;D正确.
3.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2-2i B.-+i
C.2+i D.+i
答案 A
解析 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知:复数-+2i的虚部为2;复数i+2i2=i+2×(-1)=
-2+i的实部为-2,则所求的z=2-2i.
4.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )
A. B.2
C.0 D.1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知,x+y=0.
∴2x+y=20=1.
5.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则|z|=________.
答案 2
解析 ∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
∴.解得a=1,∴z=2i.∴|z|=2.
6.z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=________,n=________.
答案 2 ±2
解析 由z1=z2得,解得.
7.实数m分别为何值时,复数z=+(m2-3m-18)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为0.
故若使z为实数,则,
解得m=6.所以当m=6时,z为实数.
(2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数,则m2-3m-18≠0,且m+3≠0,
解得m≠6且m≠-3,
所以当m≠6且m≠-3时,z为虚数.
(3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为0,虚部不为0.故若使z为纯虚数,
则
解得m=-或m=1.
所以当m=-或m=1时,z为纯虚数.
二、能力提升
8.若θ∈,则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,sin θ-cos θ>0.∴选B.
9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
答案 C
解析 A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
10.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=________.
答案 -1
解析 由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,
所以解得a=-1.
11.当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:
(1)位于第四象限;
(2)位于x轴负半轴上;
(3)在上半平面(含实轴).
解 (1)要使点位于第四象限,
须,
∴,
∴-7-1,如何求自然数m,n的值?
解 因为 (m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以 (m+n)-(m2-3m)i是实数,
由①得m=0或m=3,
当m=0时,代入②得n<2,
又m+n>0,所以n=1;
当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾,
综上可得m=0,n=1.