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- 2021-06-10 发布
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单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a
C．|a|>－b D.>
答案 A
解析 因为a0，即>，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，＝－，＝－1，故>，D成立．
2．不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D.∪[3，＋∞)
答案 C
解析 不等式≤0可化为
∴解得x≤－或x>3，
∴不等式≤0的解集为∪(3，＋∞)．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超
过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝，由此归纳出{an}的通项公式
答案 C
解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．
4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由1＋≥0，得≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.
5．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( )
A．4B．4C．2D．2
答案 A
解析 因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，故选A.
6．(2018·山西省实验中学质检)已知a，b为正实数，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．[1,4] B．[2，＋∞)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
答案 A
解析 ∵a，b为正实数，∴2≥ab，
∴≥.
∵a＋b＋＋＝5，∴(a＋b)＝5≥(a＋b)·，化为(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立，∴a＋b的取值范围是[1,4]，故选A.
7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为( )
A．10B．8C．5D．4
答案 B
解析 由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.故选B.
8．在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如图，不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为×3×＝，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为×1×1＝.所以点M恰好落在第二象限的概率为＝，故选C.
9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x，y满足则z＝3y－x的取值范围为( )
A．[1,2] B．[2,5] C．[2,6] D．[1,6]
答案 D
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．
因为z＝3y－x，所以y＝x＋z.当直线y＝x＋在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝x＋经过点A(－1,0)，在y轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.
10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( )
A．1000元 B．2000元
C．3000元 D．4000元
答案 D
解析 设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．
易知当直线y＝－x＋过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.
11．(2018·云南曲靖一中月考)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为( )
A．4B.C.D．0
答案 B
解析 不等式组所对应的平面区域为图中阴影部分所示(包括边界)．
x2＋y2的几何意义为可行域内的点与原点距离的平方．由图可得x2＋y2
的最小值为原点到直线x＋2y－4＝0距离的平方，即(x2＋y2)min＝2＝.
12．已知函数f(x)＝若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )
A．2B．3C．5D．8
答案 D
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示．
关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0，当a>0时，－a1时，不等式的解集为{x|1b>c；
④若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是.
其中正确的命题为______________．(把你认为正确的都填上)
答案 ①④
解析 对于①，∵－≤(x＋y)≤，≤(x－y)≤，∴2x－y∈[1,9]，所以①正确；对于②，当a＝－5，b＝3时，a2>b2，所以②错误；对于③，c＝0.5>0，a＝log3＝－log53<0，b＝log5＝－log35<0，且log53a>b，所以③错误；对于④，令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，
则原问题等价于f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0对满足|m|≤2的所有m恒成立，所以解得0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．
解 (1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，
所以解得
(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，
即(x－2)(x－c)<0，
所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|20，b>0，求ab的最大值；
(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，
所以a＋b－＝，即a＋b＝8.
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，
当且仅当a＝b＝4时等号成立，
所以ab的最大值为16.
(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以且2a＋3b≥3，即
作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．
由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是，
所以z＝＝＋1的取值范围是.
19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．
(1)求该企业2019年的利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；
(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解 (1)当01 500，所以当x＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 800万元．
20．(13分)已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立；
(3)已知0.
(1)解 将x＝－1代入切线方程x＋y＋3＝0，
得y＝－2，
所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.
又f′(x)＝，
f′(－1)＝＝＝＝－1，
故b＝－2，a＝2，所以f(x)＝.
(2)证明 由已知及(1)得所证即ln x≥在x∈[1，＋∞)上恒成立，化简得(x2＋1)ln x≥2x－2，即证x2ln x＋ln x－2x＋2≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝x2ln x＋ln x－2x＋2，
则h′(x)＝2xln x＋x＋－2，
因为x≥1，所以2xln x≥0，x＋≥2，即h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，则h(x)≥h(1)＝0，
所以g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
(3)证明 因为01，
由(2)知ln>，整理得>，
所以当0.
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