2019年高考数学高分突破复习课件专题六 第1讲 30页

第 1 讲　函数图象与性质 高考定位　 1. 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性； 2. 利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题； 3. 函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法 . 真 题 感 悟 答案 　 B 2. (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知 f ( x ) 是定义域为 ( － ∞ ，＋ ∞) 的奇函数，满足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ). 若 f (1) ＝ 2 ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) ＝ ( 　　 ) A . － 50 B.0 C.2 D.50 解析 　法一　 ∵ f ( x ) 是定义域为 ( － ∞ ，＋ ∞) 的奇函数，且 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ， ∴ f (4 ＋ x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是周期函数，且一个周期为 4 ，又 f (0) ＝ 0 ，知 f (2) ＝ f (0) ， f (4) ＝ f (0) ＝ 0 ，由 f (1) ＝ 2 ，知 f ( － 1) ＝－ 2 ，则 f (3) ＝ f ( － 1) ＝－ 2 ，从而 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＝ 0 ，故 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＋ … ＋ f (50) ＝ 12 × 0 ＋ f (49) ＋ f (50) ＝ f (1) ＋ f (2) ＝ 2 ，故选 C. 由图可知， f ( x ) 的一个周期为 4 ，所以 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) ＝ 12[ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4)] ＋ f (49) ＋ f (50) ＝ 12 × 0 ＋ f (1) ＋ f (2) ＝ 2. 答案 　 C 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ ln(2 － x ) ，则 ( 　　 ) A. f ( x ) 在 (0 ， 2) 上单调递增 B. f ( x ) 在 (0 ， 2) 上单调递减 C. y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称 D. y ＝ f ( x ) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称 解析　 由题意知， f ( x ) ＝ ln x ＋ ln(2 － x ) 的定义域为 (0 ， 2) ， f ( x ) ＝ ln[ x (2 － x )] ＝ ln [ － ( x － 1) 2 ＋ 1] ，由复合函数的单调性知，函数 f ( x ) 在 (0 ， 1) 上单调递增，在 (1 ， 2) 上单调递减，所以排除 A ， B ；又 f (2 － x ) ＝ ln(2 － x ) ＋ ln x ＝ f ( x ) ，所以 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称， C 正确， D 错误 . 答案　 C 1. 函数的图象 (1) 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换 . (2) 在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究 . (3) 函数图象的对称性 ① 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( a － x ) ，即 f ( x ) ＝ f (2 a － x ) ，则 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称； ② 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝－ f ( a － x ) ，即 f ( x ) ＝－ f (2 a － x ) ，则 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( a ， 0) 对称 . 考 点 整 合 2. 函数的性质 (1) 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质 . 证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论 . 复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 . (2) 奇偶性： ① 若 f ( x ) 是偶函数，则 f ( x ) ＝ f ( － x ). ② 若 f ( x ) 是奇函数， 0 在其定义域内，则 f (0) ＝ 0. ③ 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性 . (2) 当 x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 － x 是减函数 ， 则 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 1. 作出 f ( x ) 的大致图象如图所示， 答案 　 (1)C 　 (2)D 探究提高　 1.(1) 给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式 ( 组 ) 求解即可 . (2) 抽象函数：根据 f ( g ( x )) 中 g ( x ) 的范围与 f ( x ) 中 x 的范围相同求解 . 2. 对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如 f ( g ( x )) 的函数求值时，应遵循先内后外的原则 . 解析　 (1) 由 4 － x 2 ≥ 0 得－ 2 ≤ x ≤ 2 ， ∴ A ＝ [ － 2 ， 2] ， 由 1 － x ＞ 0 得 x ＜ 1 ， ∴ B ＝ ( － ∞ ， 1). ∴ A ∩ B ＝ [ － 2 ， 1). (2) 当 x <0 时， f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 >0 ，由 f ( a ) ＝－ 2 ，知－ log 2 ( a ＋ 1) ＋ 2 ＝－ 2 ， ∴ a ＝ 15. 故 f (14 － a ) ＝ f ( － 1) ＝ 2 － 1 ＋ 1 ＝ 1. 答案 　 (1)D 　 (2)1 热点二　函数的图象及应用 【例 2 】 (1) (2018· 浙江卷 ) 函数 y ＝ 2 | x | sin 2 x 的图象可能是 ( 　　 ) 答案 　 (1)D 　 (2)1 探究提高　 1. 已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断 . 2.(1) 运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质 .(2) 图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究 . (2) (2018· 贵阳质检 ) 已知 f ( x ) ＝ 2 x － 1 ， g ( x ) ＝ 1 － x 2 ，规定：当 | f ( x )| ≥ g ( x ) 时， h ( x ) ＝ | f ( x )| ；当 | f ( x )| ＜ g ( x ) 时， h ( x ) ＝－ g ( x ) ，则 h ( x )( 　　 ) A. 有最小值－ 1 ，最大值 1 B. 有最大值 1 ，无最小值 C. 有最小值－ 1 ，无最大值 D. 有最大值－ 1 ，无最小值 法二 　 当 x ＝ 1 时， f (1) ＝ 1 ＋ 1 ＋ sin 1 ＝ 2 ＋ sin 1>2 ，排除 A ， C. 又当 x → ＋ ∞ 时， y → ＋ ∞ ， B 项不满足， D 满足 . (2) 画出 y ＝ | f ( x )| ＝ |2 x － 1| 与 y ＝ g ( x ) ＝ 1 － x 2 的图象，它们交于 A ， B 两点 . 由 “ 规定 ” ，在 A ， B 两侧， | f ( x )| ≥ g ( x ) ，故 h ( x ) ＝ | f ( x )| ；在 A ， B 之间， | f ( x )|< g ( x ) ，故 h ( x ) ＝－ g ( x ). 综上可知， y ＝ h ( x ) 的图象是图中的实线部分，因此 h ( x ) 有最小值－ 1 ，无最大值 . 答案　 (1)D 　 (2)C (2) ∵ f ( x ＋ 4) ＝ f ( x － 2) ， ∴ f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ，则 T ＝ 6 是 f ( x ) 的周期 . ∴ f (919) ＝ f (153 × 6 ＋ 1) ＝ f (1) ，又 f ( x ) 在 R 上是偶函数 ， ∴ f (1) ＝ f ( － 1) ＝ 6 － ( － 1) ＝ 6 ，即 f (919) ＝ 6. 答案 　 (1) － 2 　 (2)6 (2) 法一 　 易知 g ( x ) ＝ xf ( x ) 在 R 上为偶函数， ∵ 奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数，且 f (0) ＝ 0 . ∴ g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上是增函数 . 又 3>log 2 5.1>2>2 0.8 ，且 a ＝ g ( － log 2 5.1) ＝ g (log 2 5.1) ， ∴ g (3)> g (log 2 5.1)> g (2 0.8 ) ，则 c > a > b . 法二 　 ( 特殊化 ) 取 f ( x ) ＝ x ，则 g ( x ) ＝ x 2 为偶函数且在 (0 ，＋ ∞) 上单调递增，又 3>log 2 5.1>2 0.8 ，从而 可得 c > a > b . 答案 　 (1)D 　 (2)C 探究提高　 1. 利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解 . 2. 函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性 . 解析　 (1) 由题意得 g ( － 3) ＝ f ( － 3) ＝－ f (3) ＝ 2 － log 3 3 ＝ 1. 因此 f [ g ( － 3)] ＝ f (1) ＝ log 3 1 － 2 ＝－ 2. (2) 由题意知 f ( x － 1)> f (2 ). 又 因为 f ( x ) 是偶函数且在 [0 ，＋ ∞) 上单调递减， 所以 f (| x － 1|)> f (2) ，即 | x － 1|<2 ，解得－ 1< x <3. 答案 　 (1)B 　 (2)( － 1 ， 3) 3. 三种作函数图象的基本思想方法 ( 1) 通过函数图象变换利用已知函数图象作图； ( 2) 对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； ( 3) 通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状 . 4. 函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程 ( 不等式 ) 才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解 .