河北省邯郸市馆陶县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 15页

数学试题 一、单选题（每小题5分）‎ ‎1.已知数列，则是这个数列的（ ）‎ A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.‎ ‎【详解】数列 通项公式为，‎ 当，‎ 解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.‎ ‎2.不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于，再解不等式.‎ ‎【详解】原式等价于，即，‎ 解得： ‎ 所以不等式的解集是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎3.已知，且.下列不等式中成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和，得，根据不等式的性质可得选项.‎ ‎【详解】，且，‎ ‎，.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质的运用，关键在于由已知条件得出变元的符号，属于基础题.‎ ‎4.在等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（　　　　）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值．‎ ‎【详解】解：∵等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，‎ ‎∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，‎ 故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎5.已知等差数列、，其前项和分别为、，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果．‎ ‎【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，‎ 同理可得，因此，，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎6.等差数列中，已知,则 (     )‎ A. 10 B. ‎11 ‎C. 12 D. 13‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差中项的性质求得的值，再由等差中项的性质可得的值.‎ ‎【详解】由等差中项的性质得， 所以，则，‎ 所以，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】在等差数列的性质中，下标和的性质是比较重要的一个，也是常考的内容之一，此性质指的是“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”，它说明了等差数列中与首末两项距离相等的两项的和相等，这一性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起，采用整体代换的思想，达到简化解题过程的目的．‎ ‎7.等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：‎ ‎①若，且，则和都是中的最大项；‎ ‎②给定，对一切，都有；‎ ‎③若，则中一定有最小项；‎ ‎④存在，使得和同号.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误②根据等差数列中下标之和相等则项的和相等的性质，可判断正误③时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项④根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.‎ ‎【详解】对于①若，，可得，即，所以和都是中的最大项，①正确；②根据等差中项性质可知，所以②是正确的；③根据等差数列求和公式可知，，当时，是最小值；当，或时取最大值；④和，因为，所以和异号，故④是错误的.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式和前项和的性质，属于中档题.‎ ‎8.若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )‎ A. a≥ B. a＞ C. a＜ D. a≤‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于x＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x，再求出左侧最大值即可求解.‎ ‎【详解】由题：对于任意的x＞0，不等式恒成立，‎ 即对于任意的x＞0，不等式恒成立，‎ 根据基本不等式：，当且仅当时，取得等号，‎ 所以的最大值为，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.‎ ‎9.已知数列满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，，……，再将这2019个式子相加得到结论.‎ ‎【详解】由题意可知，，，……，‎ 这个式子相加可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. （0，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.‎ ‎11.已知的前项和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先运用求出通项，判断的正负情况，再运用即可得到答案．‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，，‎ 故；‎ 所以，当时，，当时，.‎ 因此，.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了由数列的前项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.‎ ‎12.若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，然后由不等式组解之可得.‎ ‎【详解】设，由题意得：，解之得实数的取值范围为：.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，将其与二次函数的图象结合即可解决问题，属常规考题.‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13.已知数列前项和为，且，则__________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得结果.‎ ‎【详解】由题意得．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由求，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.设等比数列的前n项和为，若，则为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先讨论，代入等比数列前项和公式，求，再代入求值.‎ ‎【详解】当时，，所以；‎ 当时，，.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和公式，重点考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎15.已知函数（a，b为常数），且，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，并且函数是奇函数，利用奇函数的性质求值.‎ ‎【详解】设是奇函数，‎ ‎，‎ 因为函数是奇函数，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的应用，意在考查转化与变形，属于基础题型.‎ ‎16.数列的首项，且，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等式两边加1，构造，构造数列是公比为3的等比数列，求通项公式.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ 数列是首项为，公比为3的等比数列，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，重点考查构造等比数列，属于基础题型.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列的通项公式；‎ ‎（2）若成等比数列，求数列的前20项和.‎ ‎【答案】（1），或；（2）500．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的的公差为，则，，建立方程组求解；‎ ‎（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前20项和.‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得，解得或，‎ 所以由等差数列通项公式可得或．‎ 故或；‎ ‎（2）当时，分别为，，2，不成等比数列；‎ 当时，分别为，2，成等比数列，满足条件．‎ 故，‎ 记数列的前项和为，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列，等差数列的简单应用，以及含绝对值数列的前项的和.‎ ‎18.解关于x的不等式.‎ ‎【答案】答案不唯一，具体见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.‎ ‎【详解】解：原不等式可化为，‎ 即，‎ ‎①当即时，；‎ ‎②当时，即时，原不等式的解集为；‎ ‎③当即时，，‎ 综上知：当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查含参一元二次不等式 解法，重点考查讨论的思想，属于基础题型.‎ ‎19.已知数列中，，其前n项和记为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推公式及,可证明数列为等比数列,求得首项后,即可求得数列的通项公式.‎ ‎（2）将代入中求得数列.可知为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题意得,（）,‎ 两式相减得（）,‎ 又∵,,‎ ‎∴（）,‎ ‎∴是首项为1,公比为3的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可知 则 所以,‎ 所以为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了递推公式及的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上是单调函数，求实数取值范围；‎ ‎（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求函数的对称轴，令或 ，求实数的取值范围；‎ ‎（2）不等式等价于恒成立，令，转化为，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）函数 的对称轴为，‎ 又函数在上单调函数，或 ， 解得或．‎ 实数的取值范围为；‎ ‎（2）当，时，恒成立，即恒成立，‎ 令，恒成立，‎ 函数的对称轴，∴，即，‎ 的范围为．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.‎ ‎21.已知数列满足．‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）条件变形为，证明数列是等差数列，并求通项公式；‎ ‎（2）由（1），利用错位相减法求和.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴， ∴是等差数列，‎ ‎∴， 即；‎ ‎（2）∵，∴，‎ 则，‎ 两式相减得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求和，重点考查计算能力，转化与变形能力，属于中档题型.‎ ‎22.已知数列满足：，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）（）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值，求，值；‎ ‎（2）当时，，两式相减，即可求得通项公式；‎ ‎（3）由（2）可知，利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得 ，∴；‎ ‎（2），①‎ 当时，，②‎ ‎①②得，∴，也适合此式， ∴（）；‎ ‎（3）由（2）得，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查已知数列的前 项和，求通项公式，裂项相消法求和，重点考查变形，计算能力，属于常考题型.‎ ‎ ‎