2020届二轮复习空间点线面的位置关系课件（99张）（全国通用） 99页

【 知识梳理 】 1. 直线与直线垂直 (1) 定义 : 若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 , 并且交角为直角 , 则称这两条直线互相垂直 . (2) 若一条直线垂直于一个平面 , 则它就和平面内的任意一条直线垂直 . 2. 直线与平面垂直 (1) 定义 : 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 , 那么称这条直线和这个平面垂直 . (2) 判定定理与性质定理 : a,b  α l ⊥a l ⊥b 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线 和一个平面内 的两条 _____ 直 线都垂直 , 那么该直线与此平 面垂直 ⇒ l ⊥α a∩b=O 相交 a⊥α b⊥α 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 如果两条直线 同垂直于一个 平面 , 那么这 两条直线 _____ ⇒ a∥b 平行 3. 平面与平面垂直 l ⊥α l  β 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平 面经过另一 个平面的一 条 _____, 那 么这两个平 面互相垂直 ⇒ α⊥β 垂线 α⊥β l  β α∩β=a l ⊥a 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 如果两个平面 互相垂直 , 那 么在一个平面 内垂直于它们 _____ 的直线垂 直于另一个平 面 ⇒ l ⊥α 交线 【 常用结论 】 1. 若两平行线中的一条垂直于一个平面 , 则另一条也垂直于这个平面 . 2. 两个相交平面同时垂直于第三个平面 , 它们的交线也垂直于第三个平面 . 3. 三垂线定理 在平面内的一条直线 , 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 , 那么它也和这条斜线垂直 . 4. 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 , 如果和这个平面的一条斜线垂直 , 那么它也和这条斜线的射影垂直 . 【 基础自测 】 题组一 : 走出误区 1. 判断正误 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”). 设直线 m 与平面 α 相交但不垂直 , ① 在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 ( 　　 ) ② 过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 ( 　　 ) ③ 与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 ( 　　 ) ④ 与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 ( 　　 ) 【 解析 】 对于① , 在平面 α 内显然有无数条直线与直线 m 垂直 , 因此①是错误的 ; 对于③ , 与直线 m 垂直的直线是可以与平面 α 平行的 , 因此③不正确 ; 对于④ , 与直线 m 平行的平面也有可能与平面 α 垂直 , 因此④也不正确 . 对于② , 根据直线与平面垂直 , 平面与平面垂直的性质知②正确 . 答案 : ①×②√③×④× 2. 已知直线 m 和平面 α ， β ，则下列命题中正确的是 ( 　　 ) A. 若 α⊥β ， m⊂β ，则 m⊥α 　　 B. 若 α∥β ， m∥α ，则 m∥β C. 若 α∥β ， m⊥α ，则 m⊥β D. 若 m∥α ， m∥β ，则 α∥β 【 解析 】 选 C. 对于 A ，直线 m 与平面 α 可能平行，可能在 α 内，也可能是相交而不垂直，所以 A 错误；对于 B ，直线 m 可能在 β 内，所以 B 错误；对于 C ，因为一条直线垂直于平行平面中的一个，它也和另一个平面垂直，所以 C 正确；对于 D ，两个平面可能相交，所以 D 错误 . 3. 设 α ， β 是两个不同的平面， m 是一条直线，给出下 列命题： ①若 m⊥α ， m β ，则 α⊥β ；②若 m∥α ， α⊥β ，则 m⊥β. 则 ( 　　 ) A.①② 都是假命题　　　　 B.① 是真命题，②是假命题 C.① 是假命题，②是真命题 D.①② 都是真命题 【 解析 】 选 B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以①正确；若 m∥α ， α⊥β ，则 m 与 β 不一定垂直，所以②错误 . 题组二 : 走进教材 1.( 必修 2P43B 组 T3 改编 ) 下列命题中不正确的是 ( 　　 ) A. 如果平面 α⊥ 平面 β, 且直线 l ∥ 平面 α, 则直线 l ⊥ 平 面 β B. 如果平面 α⊥ 平面 β, 那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C. 如果平面 α 不垂直于平面 β, 那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D. 如果平面 α⊥ 平面 γ, 平面 β⊥ 平面 γ,α∩β= l , 那么 l ⊥γ 【 解析 】 选 A. 根据面面垂直的性质 , 知 A 不正确 , 直线 l 可能平行于平面 β , 也可能在平面 β 内或与平面 β 相交 . 2.( 必修 2 P38 例 1 改编 ) 如图 , 在三棱锥 V-ABC 中 ,∠VAB= ∠VAC=∠ABC=90°, 则构成三棱锥的四个三角形中直角 三角形的个数为 　　　　 .   【 解析 】 所以有 4 个直角三角形 . 答案 : 4 3.( 必修 2 P42T6 改编 ) 如图 , 已知平面 α,β, 且 α∩β= AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D 是垂足 . 那么直线 AB 与平面 PCD 的 位置关系为 　　　　 , 若 PC=PD=1,CD= , 则平面 α 与平 面 β 的位置关系为 　　　　 .   【 解析 】 因为 PC⊥α,AB α, 所以 PC⊥AB. 同理 PD⊥ AB. 又 PC∩PD=P, 故 AB⊥ 平面 PCD. 设 AB 与平面 PCD 的交点 为 H, 连接 CH,DH. 因为 AB⊥ 平面 PCD, 所以 AB⊥CH,AB⊥DH, 所以∠ CHD 是二面角 α-AB-β 的平面角 . 又 PC=PD=1,CD= , 所以 CD 2 =PC 2 +PD 2 =2, 即∠ CPD=90°. 在平面四边形 PCHD 中 ,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°, 所以∠ CHD=90°. 故平面 α⊥ 平面 β. 答案 : AB⊥ 平面 PCD 　平面 α⊥ 平面 β 考点一　线面、面面垂直的判断真假问题 【 题组练透 】 1. 已知直线 l ,m 与平面 α,β,γ, 满 β∩γ= l , l ∥α, m α,m⊥γ, 则必有 ( 　　 ) A.α⊥γ 且 m∥β B.α∥β 且 α⊥γ C.m∥β 且 l ⊥m D.α⊥γ 且 l ⊥m 【 解析 】 选 D. 因为 m α,m⊥γ, 所以 α⊥γ. 因为 β∩γ= l , 所以 l γ, 又因为 m⊥γ, 所以 l ⊥m. 2. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 直线 a 平行于平面 M, 则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B. 直线 a 与平面 M 相交 , 则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C. 直线 a 不垂直于平面 M, 则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D. 直线 a 不垂直于平面 M, 则过 a 的平面不垂直于 M 【 解析 】 选 B.A 选项不正确 , 因为一条线平行于一个平面 , 则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面 ; B 选项正确 , 因为直线 a 与平面 M 相交 , 则 a 与 M 内的任意一条直线位置关系是异面或相交 ; C 选项不正确 , 因为直线 a 不垂直于平面 M, 则 a 与平面 M 内与它的投影垂直的直线是垂直关系 ; D 选项不正确 , 因为直线 a 不垂直于平面 M, 则过 a 的平面可以垂直于 M. 3. 已知直线 m,n, 平面 α,β, 给出下列命题 , 其中正确的命题是 ( 　　 ) ① 若 m⊥α,n⊥β, 且 m⊥n, 则 α⊥β; ② 若 m∥α,n∥β, 且 m∥n, 则 α∥β; ③ 若 m⊥α,n∥β, 且 m⊥n, 则 α⊥β; ④ 若 m⊥α,n∥β, 且 m∥n, 则 α⊥β. A.①③ B.②④ C.③④ D.①④ 【 解析 】 选 D.① 若 m⊥α,n⊥β, 且 m⊥n, 利用面面垂直的判定定理可得 α⊥β, 因此正确 ; ② 若 m∥α,n∥β, 且 m∥n, 则 α 与 β 平行或相交 , 因此不正确 ; ③ 若 m⊥α,n∥β, 且 m⊥n, 则 α∥β 或相交 , 因此不正确 ; ④ 若 m⊥α,n∥β, 且 m∥n, 利用面面垂直的判定定理可得 α⊥β, 因此正确 . 综上可知 , 只有①④正确 . 4. 如图 , 已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形 ,PA⊥ 平面 ABC,PA=2AB, 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A.PB⊥AD B. 平面 PAB⊥ 平面 PBC C. 直线 BC∥ 平面 PAE D. 直线 PD 与平面 ABC 的夹角为 45° 【 解析 】 选 D. 若 PB⊥AD, 因为 PA⊥ 平面 ABC, 所以 PA⊥AD, 所以 AD⊥ 平面 PAB, 所以 AD⊥AB, 矛盾 , 所以 A 错误 , 过点 A 作 AM 垂直于 PB, 垂足为 M, 连接 CM, 在直角三角形 PAB 中 , 设 AB=1, 则 又因为 AC= , 所以 PC= , 所以 cos∠PBC= 所以 CM= , 所以在 三角形 AMC 中 ,cos∠AMC= 所以 AM 与 MC 不垂直 , 所 以 B 错误 , 因为在棱锥的底面内 , 直线 BC 与直线 AE 相交 , 所以 BC 与平面 PAE 相交 , 所以 C 错误 , 在 Rt△PAD 中 ,PA=AD =2AB, 所以∠ PDA=45°. 所以直线 PD 与平面 ABC 的夹角为 45°, 即 D 正确 . 【 规律方法 】 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1) 借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准 , 甚至无需作图通过空间想象来判断 . (2) 寻找反例 , 只要存在反例 , 结论就不正确 . (3) 反复验证所有可能的情况 , 必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 . 【 拓展 】 反证法 : 反证法是立体几何中常用的间接证明方法 . 其步骤是 :① 否定结论 ;② 进行推理 ;③ 导出矛盾 ;④ 肯定结论 . 用反证法证题要注意 :① 是否能用反证法 ;② 命题结论的反面情况有几种 . 考点二　直线、平面垂直的判断与性质 【 典例 】 (1) 如图 , 在四棱锥 S-ABCD 中 , 侧面 SAD⊥ 底面 ABCD,SA=SD,AD∥BC, AD=2BC=2CD,M,N 分别为 AD,SD 的中点 . 世纪金榜导学号 ① 求证 :SB∥ 平面 CMN. ② 求证 :BD⊥ 平面 SCM. 【 证明 】 ① 设 BD 与 CM 交于点 O, 连接 ON,BM. 因为 AD=2BC, 且 AD∥BC,M 为 AD 的中点 , 所以 MD=BC, 且 MD∥BC, 所以四 边形 BCDM 为平行四边形 , 所以点 O 为 BD 的中点 , 又因为点 N 为 SD 的中点 , 所以 SB∥ON, 又因为 ON 平面 CMN,SB⊈ 平 面 CMN, 所以 SB∥ 平面 CMN. ② 因为 SA=SD, 且点 M 为 AD 的中点 , 所以 SM⊥AD, 又因为侧面 SAD⊥ 底面 ABCD, 所以 SM⊥ 底面 ABCD, 所以 SM⊥BD, 因为在平行四边形 BCDM 中 ,BC=CD, 所以 CM⊥BD. 又因为 CM 与 SM 相交于点 M, 所以 BD⊥ 平面 SCM. (2) 如图 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 ,D,E 分别为 AB,BC 的中点 , 点 F 在侧棱 B 1 B 上 , 且 B 1 D⊥A 1 F,A 1 C 1 ⊥A 1 B 1 . 世纪金榜导学号 求证 :① 直线 DE∥ 平面 A 1 C 1 F. ② 平面 B 1 DE⊥ 平面 A 1 C 1 F. 【 证明 】 ① 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 ,AC∥A 1 C 1 , 在三角 形 ABC 中 , 因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点 . 所以 DE∥AC, 于 是 DE∥A 1 C 1 , 又因为 DE ⊈ 平面 A 1 C 1 F,A 1 C 1 平面 A 1 C 1 F, 所 以直线 DE∥ 平面 A 1 C 1 F. ② 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 ,AA 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 , 因为 A 1 C 1 平面 A 1 B 1 C 1 , 所以 AA 1 ⊥A 1 C 1 , 又因为 A 1 C 1 ⊥A 1 B 1 ,A 1 B 1 ∩AA 1 =A 1 ,AA 1 平面 ABB 1 A 1 ,A 1 B 1 平面 ABB 1 A 1 , 所以 A 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 , 因为 B 1 D 平面 ABB 1 A 1 , 所以 A 1 C 1 ⊥B 1 D, 又因为 B 1 D⊥A 1 F,A 1 C 1 ∩A 1 F=A 1 ,A 1 C 1 平面 A 1 C 1 F,A 1 F 平面 A 1 C 1 F, 所以 B 1 D⊥ 平面 A 1 C 1 F, 因为直线 B 1 D 平面 B 1 DE, 所以平 面 B 1 DE⊥ 平面 A 1 C 1 F. 【 误区警示 】 (1) 证明线面垂直时 , 易忽视面内两条线为相交线这一条件 .(2) 面面垂直的判定定理中 , 直线在面内且垂直于另一平面易忽视 .(3) 面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误 . 【 规律方法 】 1. 线面垂直的证明方法 (1) 线面垂直的定义 . (2) 线面垂直的判断定理 . (3) 面面垂直的性质定理 . 2. 证面面垂直的思路 (1) 关键是考虑证哪条线垂直哪个面 . 这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑 . (2) 条件中告诉我们某种位置关系 , 就要联系到相应的性质定理 , 如已知两平面互相垂直 , 我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理 . (3) 在垂直关系的证明中 , 线线垂直是问题的核心 , 可以根据已知的平面图形通过计算的方式 ( 如勾股定理 ) 证明线线垂直 , 也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直 . 【 对点训练 】 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 ,PD⊥ 平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°. (1) 求证 :PC⊥BC. (2) 求点 A 到平面 PBC 的距离 . 【 解析 】 (1) 因为 PD⊥ 平面 ABCD,BC 平面 ABCD, 所以 PD⊥BC. 因为∠ BCD=90°, 所以 CD⊥BC, 又 PD∩DC=D,PD,DC 平面 PCD, 所以 BC⊥ 平面 PCD. 因 为 PC 平面 PCD, 故 PC⊥BC. (2) 分别取 AB,PC 的中点 E,F, 连接 DE,DF, 则易证 DE∥CB, DE∥ 平面 PBC, 所以点 D,E 到平面 PBC 的距离相等 , 又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 , 由 (1) 知 ,BC⊥ 平面 PCD, 所以平面 PBC⊥ 平面 PCD, 因为 PD=DC,PF=FC, 所以 DF⊥PC, 因为平面 PCD∩ 平面 PBC=PC. 所以 DF⊥ 平面 PBC 于点 F. 易知 DF= , 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 . 【 一题多解 】 (2) 等体积法 : 连接 AC, 设点 A 到平面 PBC 的 距离为 h, 因为 AB∥DC,∠BCD=90°, 所以∠ ABC=90°. 由 AB=2,BC=1, 得△ ABC 的面积 S △ABC =1. 由 PD⊥ 平面 ABCD 及 PD=1, 得三棱锥 P-ABC 的体积 V= S △ABC · PD= . 因为 PD⊥ 平面 ABCD,DC 平面 ABCD, 所以 PD⊥DC, 又 PD=DC=1, 所以 PC= 由 PC⊥BC,BC=1, 得△ PBC 的面积 S △PBC = , 由 V A-PBC =V P-ABC 得 , S △PBC · h= , 得 h= , 故点 A 到 平面 PBC 的距离等于 . 考点三　垂直的综合应用问题 【 明考点 · 知考法 】 重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直的判定与性质及其应用 , 是高考的重点内容 , 属于中档题 . 命题角度 1 　垂直关系中的取值范围问题 【 典例 】 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是 直角梯形 ,AD∥BC,AB⊥BC, 侧面 PAB⊥ 底面 ABCD, 若 PA=AD=AB=kBC(0