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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法学案

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立体几何中的向量方法 ‎【考点梳理】‎ ‎1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则 ‎(1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.‎ ‎(2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.‎ ‎(3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.‎ ‎(4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.‎ ‎2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),平面α,β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).‎ ‎(1)线线夹角 设l,m的夹角为θ,则 cos θ==.‎ ‎(2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ,则 ‎(3)面面夹角 设平面α,β的夹角为θ(0≤θ<π),‎ ‎【题型突破】‎ 题型一、利用空间向量证明平行、垂直关系 ‎【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:‎ ‎(1)BE⊥DC;‎ ‎(2)BE∥平面PAD;‎ ‎ (3)平面PCD⊥平面PAD.‎ ‎【解析】证明 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).‎ ‎(1)向量=(0,1,1),=(2,0,0),故·=0.‎ 所以BE⊥DC.‎ ‎(2)因为AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,‎ 所以AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,‎ 所以AB⊥平面PAD,‎ 所以向量=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,‎ 而·=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以BE⊥AB,‎ 又BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.‎ ‎(3)由(2)知平面PAD的法向量=(1,0,0),向量=(0,2,-2),=(2,0,0),‎ 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则即 不妨令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量.‎ 且n·=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以n⊥.‎ 所以平面PAD⊥平面PCD.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).‎ ‎2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件,如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.‎ ‎【对点训练】‎ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:‎ ‎(1)B1D⊥平面ABD;‎ ‎(2)平面EGF∥平面ABD.‎ ‎【解析】证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).‎ 设BA=a,则A(a,0,0),‎ 所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2).‎ ·=0,·=0+4-4=0,‎ 则B1D⊥BA,B1D⊥BD.‎ 又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD,‎ 因此B1D⊥平面ABD.‎ ‎(2)由(1)知,E(0,0,3),G,F(0,1,4),‎ 则=,=(0,1,1),‎ ·=0+2-2=0,‎ ·=0+2-2=0,‎ 即B1D⊥EG,B1D⊥EF.‎ 又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EGF,‎ 因此B1D⊥平面EGF.‎ 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.‎ 题型二、求线面角或异面直线所成的角 ‎【例2】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎【解析】(1)证明 由AM=2MD,AD=3.‎ ‎∴AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN.‎ 由于N为PC的中点,‎ 所以TN∥BC,TN=BC=2.‎ 又AD∥BC,故TN綉AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解 取BC的中点E,连接AE.‎ 又AB=AC,得AE⊥BC, ‎ 从而AE⊥AD,AE===.‎ 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.‎ 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,‎ =(0,2,-4),=,=.‎ 设n=(x,y,z)为平面PMN的一个法向量,则 即可取n=(0,2,1).‎ 于是|cos〈n,〉|==.‎ 设AN与平面PMN所成的角为θ,则sin θ=.‎ 所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.异面直线所成的角θ,可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得,即cos θ ‎=|cos φ|.‎ ‎2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sin θ=|cos φ|,有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两方向向量的夹角(或其补角).‎ ‎【对点训练】‎ 将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎(1)求三棱锥C-O1A1B1的体积;‎ ‎(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.‎ ‎【解析】(1)连接A1B1,因为=,‎ ‎∴∠O1A1B1=∠A1O1B1=,∴△O1A1B1为正三角形,‎ ‎∴S△O1A1B1=·O1A1·O1B1·sin=.‎ ‎∴VC-O1A1B1=·OO1·S△O1A1B1=×1×=,‎ ‎∴三棱锥C-O1A1B1的体积为.‎ ‎ (2)以O为坐标原点建系如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),‎ B1,C.‎ ‎∴=(0,0,1),=(0,-1,-1),‎ ‎∴cos〈,〉= ‎==-,‎ ‎∴〈,〉=,‎ ‎∴异面直线B1C与AA1所成的角为.‎ 题型三、二面角的计算 ‎【例3】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线CE∥平面PAB;‎ ‎(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.‎ ‎【解析】(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF,‎ 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD,‎ 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,‎ 又BC=AD,所以EF綉BC,‎ 四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,‎ 又BF⊂平面PAB,‎ CE⊄平面PAB,‎ 故CE∥平面PAB.‎ ‎(2)解 由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),‎ =(1,0,-),=(1,0,0).‎ 设M(x,y,z)(0