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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届福建省福州市八县(市)一中联考高二上学期期中数学试卷(文科) (解析版)

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‎2016-2017学年福建省福州市八县(市)一中联考高二(上)期中数学试卷(文科) ‎ ‎  ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) ‎ ‎1.数列﹣,,,,…的一个通项公式可能是(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,a=,b=,B=60°,那么∠A等于(  ) ‎ A.135° B.45° C.135°或45° D.60°‎ ‎3.设a>b,则下列不等式中恒成立的是(  ) ‎ A.< B.a3>b3 C.> D.a2>b2‎ ‎4.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=3,a4=2,则a5等于(  ) ‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎5.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是(  ) ‎ A.[2,5] B.(﹣∞,2]∪[5,+∞) C.(﹣∞,3]∪[5,+∞) D.[3,5]‎ ‎6.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2=b2+c2﹣bc,则角A是(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=2,S8=6,则S12等于(  ) ‎ A.8 B.10 C.12 D.14‎ ‎8.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则△ABC的形状是(  ) ‎ A.等腰三角形 B.钝角三角形 ‎ C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎9.若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且,则等于(  ) ‎ A.2 B. C. D.‎ ‎10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(  ) ‎ ‎ 甲 乙 原料限额 ‎ A(吨) 3 2 12‎ ‎ B(吨) 1 2 8‎ A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元 ‎11.若等差数列{an}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和Sn取最小值时,n的值等于(  ) ‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎12.定义算式⊗:x⊗y=x(1﹣y),若不等式(x﹣a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(  ) ‎ A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. D.‎ ‎  ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) ‎ ‎13.不等式x2+x﹣2>0的解集为  . ‎ ‎14.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an(n≥1),则该数列的通项an=  . ‎ ‎15.已知△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,a=1,c=,∠A=30°,则b等于  . ‎ ‎16.下列命题中: ‎ ‎①在△ABC中,sinA>sinB,则A>B; ‎ ‎②若a>0,b>0,a+b=4,则的最大值为3; ‎ ‎③已知函数f(x)是一次函数,若数列{an}的通项公式为an=f(n),则该数列是等差数列; ‎ ‎④数列{bn}的通项公式为bn=qn,则数列{bn}的前n项和Sn=. ‎ 正确的命题的序号是  . ‎ ‎  ‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.如图,平面四边形ABCD中,AB=,AD=2,CD=,∠CBD=30°,∠BCD=120°. ‎ ‎(1)求BD的长; ‎ ‎(2)求∠ADC的度数. ‎ ‎ ‎ ‎18.已知等差数列{an}中,a1+a4=10,a3=6. ‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)若,求数列{bn}的前n项和Sn. ‎ ‎19.连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号,某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传,要求版心面积为162dm2(版心是指图中的长方形阴影部分,dm为长度单位分米),上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm. ‎ ‎(1)若设版心的高为xdm,求海报四周空白面积关于x的函数S(x)的解析式; ‎ ‎(2)要使海报四周空白面积最小,版心的高和宽该如何设计? ‎ ‎ ‎ ‎20.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosA+a=2b. ‎ ‎(Ⅰ)求角C的值; ‎ ‎(Ⅱ)若a+b=4,当c取最小值时,求△ABC的面积. ‎ ‎21.已知f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,若f(x)>0的解集为{x|x<0或x>2}. ‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值; ‎ ‎(Ⅱ)解不等式f(x)<m2﹣1. ‎ ‎22.已知数列{an}的前n项和为Sn=. ‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,其中bn=,求Tn; ‎ ‎(Ⅲ)若存在n∈N*,使得Tn﹣λan≥3λ成立,求出实数λ的取值范围. ‎ ‎  ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省福州市八县(市)一中联考高二(上)期中数学试卷(文科) ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎  ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) ‎ ‎1.数列﹣,,,,…的一个通项公式可能是(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】数列的函数特性. ‎ ‎【分析】利用符号为(﹣1)n与绝对值为即可得出. ‎ ‎【解答】解:数列﹣,,,,…的一个通项公式可能是an=(﹣1)n. ‎ 故选:D. ‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项公式,参考老头老娘了与计算能力,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎2.已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,a=,b=,B=60°,那么∠A等于(  ) ‎ A.135° B.45° C.135°或45° D.60°‎ ‎【考点】正弦定理. ‎ ‎【分析】结合已知条件a=,b=,B=60°,由正弦定理可得,可求出sinA,结合大边对大角可求得A ‎ ‎【解答】解:a=,b=,B=60°, ‎ 由正弦定理可得, ‎ ‎ ‎ a<b A<B=60° ‎ A=45° ‎ 故选B ‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形,属于容易题 ‎ ‎  ‎ ‎3.设a>b,则下列不等式中恒成立的是(  ) ‎ A.< B.a3>b3 C.> D.a2>b2‎ ‎【考点】不等式比较大小. ‎ ‎【分析】A.取a=2,b=﹣1时不成立; ‎ B.利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误. ‎ C.取a=2,b=1时不成立; ‎ D.取a=1,b=﹣2时不成立. ‎ ‎【解答】解:A.取a=2,b=﹣1时不成立; ‎ B.由于函数y=x3在R上单调递增,∵a>b,∴a3>b3,成立. ‎ C.取a=2,b=1时不成立; ‎ D.取a=1,b=﹣2时不成立. ‎ 故选:B. ‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎4.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=3,a4=2,则a5等于(  ) ‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【考点】等差数列的前n项和. ‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出. ‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵S6=3,a4=2, ‎ ‎∴6a1+d=3,a1+3d=2, ‎ 解得a1=﹣7,d=3. ‎ 则a5=﹣7+3×4=5, ‎ 故选:A. ‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎5.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是(  ) ‎ A.[2,5] B.(﹣∞,2]∪[5,+∞) C.(﹣∞,3]∪[5,+∞) D.[3,5]‎ ‎【考点】简单线性规划. ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率,利用数形结合进行求解即可. ‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, ‎ 则的几何意义是区域内的点到原点的斜率, ‎ 由图象知OC的斜率最小,OA的斜率最大, ‎ 由得,即A(1,5),此时OA的斜率k=5, ‎ 由得,即C(2,4),此时OC的斜率k==2, ‎ 即2≤≤5, ‎ 则的取值范围是[2,5], ‎ 故选:A. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎6.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2=b2+c2﹣bc,则角A是(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】余弦定理. ‎ ‎【分析】直接利用余弦定理化简求解即可. ‎ ‎【解答】解:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2=b2+c2﹣bc, ‎ 由余弦定理可得:cosA=,解得A=. ‎ 故选:A. ‎ ‎【点评】本题考查余弦定理的应用,考查计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎7.设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=2,S8=6,则S12等于(  ) ‎ A.8 B.10 C.12 D.14‎ ‎【考点】等比数列的前n项和. ‎ ‎【分析】直接利用等比数列的性质,化简求解即可. ‎ ‎【解答】解:等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=2,S8=6, ‎ 可得S4,S8﹣S4,S12﹣S8,也是等比数列,S12﹣S8===8. ‎ S12=14. ‎ 故选:D. ‎ ‎【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用,考查计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎8.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则△ABC的形状是(  ) ‎ A.等腰三角形 B.钝角三角形 ‎ C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎【考点】三角形的形状判断. ‎ ‎【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系,判断三角形的形状即可. ‎ ‎【解答】解:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若, ‎ 可得, ‎ 可得sin2A=sin2B. ‎ 可得2A=2B或2A+2B=π, ‎ 即:A=B或A+B=; ‎ 故选:D. ‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用,三角形的形状的判断,考查计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎9.若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且,则等于(  ) ‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的性质. ‎ ‎【分析】利用===,即可得出结论. ‎ ‎【解答】解: =====, ‎ 故选C. ‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项的性质,考查等差数列的求和公式,比较基础. ‎ ‎  ‎ ‎10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(  ) ‎ ‎ 甲 乙 原料限额 ‎ A(吨) 3 2 12‎ ‎ B(吨) 1 2 8‎ A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元 ‎【考点】简单线性规划的应用. ‎ ‎【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值. ‎ ‎【解答】解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元, ‎ 则, ‎ 目标函数为 z=3x+4y. ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域. ‎ 由z=3x+4y得y=﹣x+, ‎ 平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时,直线y=﹣x+的截距最大, ‎ 此时z最大, ‎ 解方程组,解得, ‎ 即B的坐标为x=2,y=3, ‎ ‎∴zmax=3x+4y=6+12=18. ‎ 即每天生产甲乙两种产品分别为2,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元, ‎ 故选:D. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,建立约束条件和目标函数,利用数形结合是解决本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎11.若等差数列{an}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和Sn取最小值时,n的值等于(  ) ‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合. ‎ ‎【分析】由题意可得,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质,解方程可得a1,结合已知公差,代入等差数列的通项可求,判断数列的单调性和正负,即可得到所求和的最小值时n的值. ‎ ‎【解答】解:由a5是a2与a6的等比中项, ‎ 可得a52=a2a6, ‎ 由等差数列{an}的公差d为2, ‎ 即(a1+8)2=(a1+2)(a1+10), ‎ 解得a1=﹣11, ‎ an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13, ‎ 由a1<0,a2<0,…,a6<0,a7>0,… ‎ 可得该数列的前n项和Sn取最小值时,n=6. ‎ 故选:C. ‎ ‎【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型,本题考查等差数列的通项公式的运用,同时考查等比数列的中项的性质,以及等差数列的单调性和前n项和的最小值,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎12.定义算式⊗:x⊗y=x(1﹣y),若不等式(x﹣a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(  ) ‎ A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. D.‎ ‎【考点】二次函数的性质. ‎ ‎【分析】由已知中算式⊗:x⊗y=x(1﹣y),我们可得不等式(x﹣a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,转化为一个关于x的二次不等式恒成立,进而根据二次不等式恒成立的充要条件,构造一个关于a的不等式,解不等式求出实数a的取值范围. ‎ ‎【解答】解:∵x⊗y=x(1﹣y), ‎ ‎∴若不等式(x﹣a)⊗(x+a)<1对任意x都成立, ‎ 则(x﹣a)(1﹣x﹣a)﹣1<0恒成立 ‎ 即﹣x2+x+a2﹣a﹣1<0恒成立 ‎ 则△=1+4(a2﹣a﹣1)=4a2﹣4a﹣3<0恒成立 ‎ 解得 ‎ 故选D ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次不等式ax2+bx+c<0恒成立充要条件是a<0,△<0构造一个关于a的不等式,是解答本题的关键. ‎ ‎  ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) ‎ ‎13.不等式x2+x﹣2>0的解集为 {x|x<﹣2或x>1} . ‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法. ‎ ‎【分析】不等式x2+x﹣2>0化为:(x+2)(x﹣1)>0,解出即可得出. ‎ ‎【解答】解:不等式x2+x﹣2>0化为:(x+2)(x﹣1)>0,解得x>1或x<﹣2. ‎ ‎∴不等式x2+x﹣2>0的解集为{x|x<﹣2或x>1}. ‎ 故答案为:{x|x<﹣2或x>1}. ‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎14.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an(n≥1),则该数列的通项an= 2n﹣1 . ‎ ‎【考点】等比数列的通项公式. ‎ ‎【分析】由题意可得,该数列是以1为首项,以2为公比的等比数列,由此求得它的通项公式. ‎ ‎【解答】解:由于在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an(n≥1),则该数列是以1为首项,以2为公比的等比数列, ‎ 故它的通项公式为 an=1×2n﹣1=2n﹣1, ‎ 故答案为 2n﹣1. ‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎15.已知△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,a=1,c=,∠A=30°,则b等于 1或2 . ‎ ‎【考点】正弦定理. ‎ ‎【分析】由已知及余弦定理可得b2﹣3b+2=0,进而可解得b的值. ‎ ‎【解答】解:∵a=1,c=,∠A=30°, ‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:1=b2+3﹣2×b×,整理可得:b2﹣3b+2=0, ‎ ‎∴解得:b=1或2. ‎ 故答案为:1或2. ‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎16.下列命题中: ‎ ‎①在△ABC中,sinA>sinB,则A>B; ‎ ‎②若a>0,b>0,a+b=4,则的最大值为3; ‎ ‎③已知函数f(x)是一次函数,若数列{an}的通项公式为an=f(n),则该数列是等差数列; ‎ ‎④数列{bn}的通项公式为bn=qn,则数列{bn}的前n项和Sn=. ‎ 正确的命题的序号是 ①②③ . ‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;基本不等式;数列的函数特性;正弦定理. ‎ ‎【分析】逐项判断.①利用正弦定理易得;②先平方在利用基本不等式即可;③由等差数列的函数特征易得;④易知当q=1时,结论不正确. ‎ ‎【解答】解: ‎ ‎①由正弦定理,当sinA>sinB时,由 a>b,故有A>B,所以①为真; ‎ ‎②≤9+(a+3)+(b+2)=18,所以 “=”当且仅当“”成立,故②为真; ‎ ‎③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确; ‎ ‎④易知,当q=1时结论不正确. ‎ 总上可得①②③正确. ‎ 故答案为:①②③. ‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理,基本不等式,等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题.其中第2个命题的判断是本题难点.属于中档题. ‎ ‎  ‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.如图,平面四边形ABCD中,AB=,AD=2,CD=,∠CBD=30°,∠BCD=120°. ‎ ‎(1)求BD的长; ‎ ‎(2)求∠ADC的度数. ‎ ‎ ‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理. ‎ ‎【分析】(1)方法一:在△BCD中,由题意和正弦定理求出BD; ‎ 方法二:由∠BDC=30°求出BC,利用条件和余弦定理列出方程,求出BD; ‎ ‎(2)在△ABD中,利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值,结合图象求出∠ADC的度数. ‎ ‎【解答】解:(1)方法一:在△BCD中,由正弦定理得: ‎ ‎,即… ‎ 解得BD=3… ‎ 方法二:由已知得∠BDC=30°,故… ‎ 由余弦定理得: ‎ BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD ‎ ‎= … ‎ ‎∴BD=3… ‎ ‎(2)在△ABD中,由余弦定理得: ‎ ‎… ‎ ‎∴∠ADB=45° … ‎ 由已知∠BDC=30°… ‎ ‎∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°… ‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用,考查一题多解,化简、计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎18.已知等差数列{an}中,a1+a4=10,a3=6. ‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)若,求数列{bn}的前n项和Sn. ‎ ‎【考点】数列递推式;数列的求和. ‎ ‎【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可得出. ‎ ‎(II)利用“裂项求和”方法即可得出. ‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,∵a1+a4=10,a3=6. ‎ ‎∴, ‎ 解得, ‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而, ‎ ‎∴. ‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎19.连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号,某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传,要求版心面积为162dm2(版心是指图中的长方形阴影部分,dm为长度单位分米),上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm. ‎ ‎(1)若设版心的高为xdm,求海报四周空白面积关于x的函数S(x)的解析式; ‎ ‎(2)要使海报四周空白面积最小,版心的高和宽该如何设计? ‎ ‎ ‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用. ‎ ‎【分析】(1)由已知版心的高为xdm,则版心的宽为dm,求出海报四周空白面积. ‎ ‎(2)利用基本不等式求解即可. ‎ ‎【解答】(本小题满分12分) ‎ 解:(1)由已知版心的高为xdm,则版心的宽为dm… ‎ 故海报四周空白面积为,… ‎ 即S(x)=2x++8,x>0… ‎ ‎(2)由基本不等式得:… ‎ 当且仅当时取等号 … ‎ ‎∴要使海报四周空白面积最小,版心的高应该为18 dm、宽为9 dm… ‎ ‎【点评】本题考查实际问题选择函数的模型,基本不等式的应用,考查计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎20.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosA+a=2b. ‎ ‎(Ⅰ)求角C的值; ‎ ‎(Ⅱ)若a+b=4,当c取最小值时,求△ABC的面积. ‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理. ‎ ‎【分析】方法一:(Ⅰ)利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C; ‎ ‎(Ⅱ)利用余弦定理列出方程,由条件和完全平方公式化简后,利用基本不等式求出c的最小值,由面积公式求出△ABC的面积; ‎ 方法二:(Ⅰ)利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系,由余弦定理求出cosC的值,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C; ‎ ‎(Ⅱ)利用余弦定理列出方程,结合条件消元后,利用一元二次函数的性质求出c的最小值,由面积公式求出△ABC的面积. ‎ ‎【解答】解:方法一:(Ⅰ)∵2ccosA+a=2b, ‎ ‎∴2sinCcosA+sinA=2sinB,… ‎ ‎∵A+B+C=π, ‎ ‎∴2sinCcosA+sinA=2sin(A+C),… ‎ 即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC,… ‎ ‎∴sinA=2sinAcosC,… ‎ ‎∵sinA≠0,∴cosC=,… ‎ 又∵C是三角形的内角,∴C=. … ‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,… ‎ ‎∵a+b=4,故c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=16﹣3ab,… ‎ ‎∴(当且仅当a=b=2时等号成立),… ‎ ‎∴c的最小值为2,故.… ‎ 方法二:(Ⅰ)∵2ccosA+a=2b, ‎ ‎∴,… ‎ ‎∴b2+c2﹣a2+ab=2b2,即 c2=a2+b2﹣ab,… ‎ ‎∴,… ‎ 又∵C是三角形的内角,∴c=. … ‎ ‎(Ⅱ)由已知,a+b=4,即b=4﹣a, ‎ 由余弦定理得,c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,… ‎ ‎∴c2=16﹣3a(4﹣a)=3(a﹣2)2+4,… ‎ ‎∴当a=2时,c的最小值为2,故. … ‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理,三角恒等变换中的公式,以及求最值的方法:基本不等式、一元二次函数的性质,考查一题多解,化简、变形能力. ‎ ‎  ‎ ‎21.已知f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,若f(x)>0的解集为{x|x<0或x>2}. ‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值; ‎ ‎(Ⅱ)解不等式f(x)<m2﹣1. ‎ ‎【考点】二次函数的性质. ‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用方程的根,列出方程组,即可求解a,b的值; ‎ ‎(Ⅱ)化简不等式为乘积的形式,通过因式的根的大小对m讨论,求解不等式的解集即可. ‎ ‎【解答】(本小题满分12分) ‎ 解:(Ⅰ)根据题意可知,方程x2+ax+b=0两根分别为0,2,… ‎ 将两根代入方程得∴.… ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知不等式f(x)<m2﹣1为x2﹣2x<m2﹣1, ‎ 即[x﹣(1﹣m)][x﹣(1+m)]<0,… ‎ ‎∴当m=0时,1﹣m=1+m,不等式的解集为Φ;… ‎ 当m>0时,1﹣m<1+m,不等式的解集为{x|1﹣m<x<1+m}; … ‎ 当m<0时,1+m<1﹣m,不等式的解集为{x|1+m<x<1﹣m}.… ‎ ‎(如上,没有“综上所述…”,不扣分) ‎ ‎【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力. ‎ ‎  ‎ ‎22.已知数列{an}的前n项和为Sn=. ‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,其中bn=,求Tn; ‎ ‎(Ⅲ)若存在n∈N*,使得Tn﹣λan≥3λ成立,求出实数λ的取值范围. ‎ ‎【考点】数列递推式;数列的求和. ‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知数列的前n项和,利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)把bn=变形,利用裂项相消法化简,代入Sn=得答案; ‎ ‎(Ⅲ)把an、Tn代入Tn﹣λan≥3λ,分离参数λ,利用不等式求得最值得答案. ‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1==n, ‎ 当n=1时,a1=S1=1也符合上式, ‎ ‎∴an=n; ‎ ‎(Ⅱ)∵, ‎ ‎∴ ‎ ‎=; ‎ ‎(Ⅲ)∵存在n∈N*,使得Tn﹣λan≥3λ成立, ‎ ‎∴存在n∈N*,使得成立,即有解, ‎ ‎∴, ‎ 而,当n=1或n=2时取等号, ‎ ‎∴λ的取值范围为. ‎ ‎【点评】本题考查数列递推式,训练了裂项相消法求数列的前n项和,训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题,是中档题. ‎ ‎  ‎

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