数学卷·2018届福建省福州市八县（市）一中联考高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 19页

‎2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（文科） ‎ ‎　 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） ‎ ‎1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（　　） ‎ A．135° B．45° C．135°或45° D．60°‎ ‎3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（　　） ‎ A．＜ B．a3＞b3 C．＞ D．a2＞b2‎ ‎4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=3，a4=2，则a5等于（　　） ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　） ‎ A．[2，5] B．（﹣∞，2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，3]∪[5，+∞） D．[3，5]‎ ‎6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc，则角A是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6，则S12等于（　　） ‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（　　） ‎ A．等腰三角形 B．钝角三角形 ‎ C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎9．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则等于（　　） ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　） ‎ ‎ 甲 乙 原料限额 ‎ A（吨） 3 2 12‎ ‎ B（吨） 1 2 8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎11．若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（　　） ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（　　） ‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．‎ ‎　 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） ‎ ‎13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为　　． ‎ ‎14．在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an=　　． ‎ ‎15．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=，∠A=30°，则b等于　　． ‎ ‎16．下列命题中： ‎ ‎①在△ABC中，sinA＞sinB，则A＞B； ‎ ‎②若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最大值为3； ‎ ‎③已知函数f（x）是一次函数，若数列{an}的通项公式为an=f（n），则该数列是等差数列； ‎ ‎④数列{bn}的通项公式为bn=qn，则数列{bn}的前n项和Sn=． ‎ 正确的命题的序号是　　． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°． ‎ ‎（1）求BD的长； ‎ ‎（2）求∠ADC的度数． ‎ ‎ ‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a1+a4=10，a3=6． ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ ‎19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm． ‎ ‎（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式； ‎ ‎（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？ ‎ ‎ ‎ ‎20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b． ‎ ‎（Ⅰ）求角C的值； ‎ ‎（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积． ‎ ‎21．已知f（x）=x2+ax+b，a，b∈R，若f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞2}． ‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值； ‎ ‎（Ⅱ）解不等式f（x）＜m2﹣1． ‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn=． ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn=，求Tn； ‎ ‎（Ⅲ）若存在n∈N*，使得Tn﹣λan≥3λ成立，求出实数λ的取值范围． ‎ ‎　 ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（文科） ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎　 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） ‎ ‎1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的函数特性． ‎ ‎【分析】利用符号为（﹣1）n与绝对值为即可得出． ‎ ‎【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是an=（﹣1）n． ‎ 故选：D． ‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（　　） ‎ A．135° B．45° C．135°或45° D．60°‎ ‎【考点】正弦定理． ‎ ‎【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A ‎ ‎【解答】解：a=，b=，B=60°， ‎ 由正弦定理可得， ‎ ‎ ‎ a＜b A＜B=60° ‎ A=45° ‎ 故选B ‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题 ‎ ‎　 ‎ ‎3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（　　） ‎ A．＜ B．a3＞b3 C．＞ D．a2＞b2‎ ‎【考点】不等式比较大小． ‎ ‎【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立； ‎ B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误． ‎ C．取a=2，b=1时不成立； ‎ D．取a=1，b=﹣2时不成立． ‎ ‎【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立； ‎ B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立． ‎ C．取a=2，b=1时不成立； ‎ D．取a=1，b=﹣2时不成立． ‎ 故选：B． ‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=3，a4=2，则a5等于（　　） ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等差数列的前n项和． ‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． ‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S6=3，a4=2， ‎ ‎∴6a1+d=3，a1+3d=2， ‎ 解得a1=﹣7，d=3． ‎ 则a5=﹣7+3×4=5， ‎ 故选：A． ‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（　　） ‎ A．[2，5] B．（﹣∞，2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，3]∪[5，+∞） D．[3，5]‎ ‎【考点】简单线性规划． ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可． ‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， ‎ 则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， ‎ 由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大， ‎ 由得，即A（1，5），此时OA的斜率k=5， ‎ 由得，即C（2，4），此时OC的斜率k==2， ‎ 即2≤≤5， ‎ 则的取值范围是[2，5]， ‎ 故选：A． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc，则角A是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理． ‎ ‎【分析】直接利用余弦定理化简求解即可． ‎ ‎【解答】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc， ‎ 由余弦定理可得：cosA=，解得A=． ‎ 故选：A． ‎ ‎【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎7．设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6，则S12等于（　　） ‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【考点】等比数列的前n项和． ‎ ‎【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可． ‎ ‎【解答】解：等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6， ‎ 可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8． ‎ S12=14． ‎ 故选：D． ‎ ‎【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（　　） ‎ A．等腰三角形 B．钝角三角形 ‎ C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎【考点】三角形的形状判断． ‎ ‎【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可． ‎ ‎【解答】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若， ‎ 可得， ‎ 可得sin2A=sin2B． ‎ 可得2A=2B或2A+2B=π， ‎ 即：A=B或A+B=； ‎ 故选：D． ‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎9．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则等于（　　） ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质． ‎ ‎【分析】利用===，即可得出结论． ‎ ‎【解答】解： =====， ‎ 故选C． ‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础． ‎ ‎　 ‎ ‎10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　） ‎ ‎ 甲 乙 原料限额 ‎ A（吨） 3 2 12‎ ‎ B（吨） 1 2 8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【考点】简单线性规划的应用． ‎ ‎【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值． ‎ ‎【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元， ‎ 则， ‎ 目标函数为 z=3x+4y． ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． ‎ 由z=3x+4y得y=﹣x+， ‎ 平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大， ‎ 此时z最大， ‎ 解方程组，解得， ‎ 即B的坐标为x=2，y=3， ‎ ‎∴zmax=3x+4y=6+12=18． ‎ 即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， ‎ 故选：D． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎11．若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（　　） ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合． ‎ ‎【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值． ‎ ‎【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项， ‎ 可得a52=a2a6， ‎ 由等差数列{an}的公差d为2， ‎ 即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10）， ‎ 解得a1=﹣11， ‎ an=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13， ‎ 由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，… ‎ 可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（　　） ‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．‎ ‎【考点】二次函数的性质． ‎ ‎【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围． ‎ ‎【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y）， ‎ ‎∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立， ‎ 则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立 ‎ 即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立 ‎ 则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立 ‎ 解得 ‎ 故选D ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键． ‎ ‎　 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） ‎ ‎13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为　{x|x＜﹣2或x＞1}　． ‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法． ‎ ‎【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出． ‎ ‎【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2． ‎ ‎∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}． ‎ 故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}． ‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎14．在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an=　2n﹣1　． ‎ ‎【考点】等比数列的通项公式． ‎ ‎【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式． ‎ ‎【解答】解：由于在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列， ‎ 故它的通项公式为 an=1×2n﹣1=2n﹣1， ‎ 故答案为 2n﹣1． ‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎15．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=，∠A=30°，则b等于　1或2　． ‎ ‎【考点】正弦定理． ‎ ‎【分析】由已知及余弦定理可得b2﹣3b+2=0，进而可解得b的值． ‎ ‎【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°， ‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1=b2+3﹣2×b×，整理可得：b2﹣3b+2=0， ‎ ‎∴解得：b=1或2． ‎ 故答案为：1或2． ‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎16．下列命题中： ‎ ‎①在△ABC中，sinA＞sinB，则A＞B； ‎ ‎②若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最大值为3； ‎ ‎③已知函数f（x）是一次函数，若数列{an}的通项公式为an=f（n），则该数列是等差数列； ‎ ‎④数列{bn}的通项公式为bn=qn，则数列{bn}的前n项和Sn=． ‎ 正确的命题的序号是　①②③　． ‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理． ‎ ‎【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确． ‎ ‎【解答】解： ‎ ‎①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真； ‎ ‎②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以 “=”当且仅当“”成立，故②为真； ‎ ‎③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确； ‎ ‎④易知，当q=1时结论不正确． ‎ 总上可得①②③正确． ‎ 故答案为：①②③． ‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°． ‎ ‎（1）求BD的长； ‎ ‎（2）求∠ADC的度数． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理． ‎ ‎【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD； ‎ 方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD； ‎ ‎（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数． ‎ ‎【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得： ‎ ‎，即… ‎ 解得BD=3… ‎ 方法二：由已知得∠BDC=30°，故… ‎ 由余弦定理得： ‎ BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD ‎ ‎= … ‎ ‎∴BD=3… ‎ ‎（2）在△ABD中，由余弦定理得： ‎ ‎… ‎ ‎∴∠ADB=45° … ‎ 由已知∠BDC=30°… ‎ ‎∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°… ‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a1+a4=10，a3=6． ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和． ‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出． ‎ ‎（II）利用“裂项求和”方法即可得出． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，∵a1+a4=10，a3=6． ‎ ‎∴， ‎ 解得， ‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而， ‎ ‎∴． ‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm． ‎ ‎（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式； ‎ ‎（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？ ‎ ‎ ‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用． ‎ ‎【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积． ‎ ‎（2）利用基本不等式求解即可． ‎ ‎【解答】（本小题满分12分） ‎ 解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm… ‎ 故海报四周空白面积为，… ‎ 即S（x）=2x++8，x＞0… ‎ ‎（2）由基本不等式得：… ‎ 当且仅当时取等号 … ‎ ‎∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm… ‎ ‎【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b． ‎ ‎（Ⅰ）求角C的值； ‎ ‎（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积． ‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理． ‎ ‎【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C； ‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积； ‎ 方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C； ‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积． ‎ ‎【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b， ‎ ‎∴2sinCcosA+sinA=2sinB，… ‎ ‎∵A+B+C=π， ‎ ‎∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），… ‎ 即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，… ‎ ‎∴sinA=2sinAcosC，… ‎ ‎∵sinA≠0，∴cosC=，… ‎ 又∵C是三角形的内角，∴C=． … ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，… ‎ ‎∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，… ‎ ‎∴（当且仅当a=b=2时等号成立），… ‎ ‎∴c的最小值为2，故．… ‎ 方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b， ‎ ‎∴，… ‎ ‎∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，… ‎ ‎∴，… ‎ 又∵C是三角形的内角，∴c=． … ‎ ‎（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a， ‎ 由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，… ‎ ‎∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，… ‎ ‎∴当a=2时，c的最小值为2，故． … ‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力． ‎ ‎　 ‎ ‎21．已知f（x）=x2+ax+b，a，b∈R，若f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞2}． ‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值； ‎ ‎（Ⅱ）解不等式f（x）＜m2﹣1． ‎ ‎【考点】二次函数的性质． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a，b的值； ‎ ‎（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m讨论，求解不等式的解集即可． ‎ ‎【解答】（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x2+ax+b=0两根分别为0，2，… ‎ 将两根代入方程得∴．… ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f（x）＜m2﹣1为x2﹣2x＜m2﹣1， ‎ 即[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]＜0，… ‎ ‎∴当m=0时，1﹣m=1+m，不等式的解集为Φ；… ‎ 当m＞0时，1﹣m＜1+m，不等式的解集为{x|1﹣m＜x＜1+m}； … ‎ 当m＜0时，1+m＜1﹣m，不等式的解集为{x|1+m＜x＜1﹣m}．… ‎ ‎（如上，没有“综上所述…”，不扣分） ‎ ‎【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn=． ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn=，求Tn； ‎ ‎（Ⅲ）若存在n∈N*，使得Tn﹣λan≥3λ成立，求出实数λ的取值范围． ‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n项和，利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）把bn=变形，利用裂项相消法化简，代入Sn=得答案； ‎ ‎（Ⅲ）把an、Tn代入Tn﹣λan≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==n， ‎ 当n=1时，a1=S1=1也符合上式， ‎ ‎∴an=n； ‎ ‎（Ⅱ）∵， ‎ ‎∴ ‎ ‎=； ‎ ‎（Ⅲ）∵存在n∈N*，使得Tn﹣λan≥3λ成立， ‎ ‎∴存在n∈N*，使得成立，即有解， ‎ ‎∴， ‎ 而，当n=1或n=2时取等号， ‎ ‎∴λ的取值范围为． ‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题． ‎ ‎　 ‎