四川省成都石室中学2021届高三数学（理）上学期开学试题（Word版附答案） 11页

石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试 理科数学试卷 一、选择题（共12小题；共60分）‎ ‎1.已知集合，则集合的元素个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．i为虚数单位， ， 则的共轭复数为 （ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ）‎ A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 ‎4．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量，，则是//的（ ）‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 ‎6 ．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（ ）‎ A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°‎ ‎7．下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（ ）‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 A． B． C． D．‎ ‎8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，‎ 当时，的面积为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎9. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，‎ 则图中空白框内应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A． B. C． D．‎ 二、填空题（共4小题；共20分） ‎ ‎13.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 ‎14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.‎ ‎15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成立的的取值集合是___________．‎ ‎16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；‎ ‎③平面与平面不可能垂直； ④四边形的面积的最大值为.‎ 其中所有正确结论的序号为_______ ‎ 三、解答题（共6小题；共70分）‎ ‎17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：‎ 根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 ‎（Ⅰ）若不剔除两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的大小关系（不必说理由）；‎ ‎（Ⅱ）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？ ‎ 附：回归方程中, ‎ ‎18．已知三次函数(为常数).‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若，讨论函数在的单调性.‎ ‎19.如图，四边形与均为菱形，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在以原点为圆心的圆满足：此圆与直线相交于，两点（两点均不在坐标轴上），且，的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 ‎21．已知函数，其中常数，自然常数.‎ ‎（Ⅰ）当实数时，求在区间上的最值；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间上存在极值，求证：.‎ ‎22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出的极坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）过原点的射线与的异于极点的交点为，，为上的一点，且，求面积的最大值．‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C A D C D C D D C C ‎13. 14. 15． ，， 16.①②④ ‎ ‎17.（Ⅰ）．......................4分 ‎（Ⅱ）由题中数据可得：，................6分 所以.............8分 又因为，所以，‎ ‎，所以，................10分 将代入，得，‎ 所以估计同学的物理成绩为分．....................12分 ‎18．（1）当时，函数 即切线的斜率..................2分 切线方程为即切线为：..................4分 ‎（2）对称轴为..................5分 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 当时，即，‎ 在上单调递增；.................8分 当时，即，又 ‎ 令，则，‎ 当或时，；‎ 当时，；‎ 在，上单调递增；‎ 在上单调递减. .................12分 ‎19.（1）设与相交于点，连接，‎ ‎∵四边形为菱形，∴，且为中点，‎ ‎∵，∴,‎ 又，∴平面.…………………5分 ‎（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，‎ ‎∵为中点，∴，又，∴平面.‎ ‎∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，………7分 设，∵四边形为菱形， ，∴. ‎ ‎∵为等边三角形，∴.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 ‎∴，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，得.设直线与平面所成角为，………10分 则. …………………12分 ‎20．解：（1）由离心率为，可得，‎ 由短轴长为2，可得， …………1分 又，解得，，‎ 则椭圆的方程为； …………4分 ‎（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为．‎ 证明如下：假设存在符合条件的圆，‎ 设此圆的方程为，‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 由可得，…………5分 因为直线与椭圆有且只有一个交点，‎ 所以△，即，…………6分 由方程组可得，‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 则△，‎ 设，，，，则，，…………7分 设直线，的斜率为，，‎ 所以…9分 将代入上式，可得，…………10分 要使为定值，则，即，验证符合题意．‎ 所以当圆的方程为时，圆与的交点，满足为定值，…………11分 当直线的斜率不存在时，由题意可得的方程为，此时圆与的交点为，也满足，‎ 综上可得当圆的方程为时，直线与圆的交点，满足斜率之积为定值．……12分 ‎21．（Ⅰ）当时，，，‎ 所以在单减，在单增，…………2分 ‎，，所以，．…………5分 ‎（Ⅱ）依题意，．‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 则，令，，，‎ 所以在上是单调增函数．‎ 要使得在上存在极值，‎ 则须满足即 所以，，即．…………8分 所以 当时，令，，，所以 所以，．…………11分 即，‎ 所以．…………12分 ‎22．（Ⅰ）由曲线的参数方程为参数）．‎ 可得曲线的普通方程为．‎ 将，代入上式，得．‎ 所以的极坐标方程为． …………4分 ‎（Ⅱ）设点的极坐标为，，点的极坐标为，‎ 则，， …………6分 于是的面积 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林 ‎ …………9分 当时，取得最大值．‎ 所以面积的最大值为．…………10分 第‎ 11 页 共4页 命题人：‎胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林