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  • 2021-06-10 发布

数学理卷·2017届广东省清远市田家炳实验中学高三第一次模拟考试(2017

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清远市田家炳中学2017届高三第一次高考模拟统一考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知命题,是简单命题,则“是真命题”是“是假命题”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分有不必要条件 ‎5.如图,四边形是正方形,延长至,使得,若点为的中点,且,则( )‎ A.3 B. C.2 D.1‎ ‎6.如图,是某算法的程序框图,当输出时,正整数的最小值是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎7.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数是偶数的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列满足若对于任意的都有,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知不等式对于恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图,在三棱锥中,已知三角形和三角形所在平面互相垂直,,,则直线与平面所角的大小是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.椭圆的一个焦点为,该椭圆上有一点,满足是等边三角形(为坐标原点),则椭圆的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数与的图象关于轴对称,当函数和在区间同时递增或同时递减时,把区间叫做函数的“不动区间”,若区间为函数的“不动区间”,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题:本大题共4小题 ,每小题5分,满分20分 ‎13.二项式的展开式中常数项为.‎ ‎14.学校艺术节对同一类的,,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“是或作品获得一等奖”;‎ 乙说:“作品获得一等奖”;‎ 丙说:“,两项作品未获得一等奖”;‎ 丁说:“是作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是.‎ ‎15.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的各个顶点在某一个球面上,则该球面的面积为.‎ ‎16.若一直线与圆和函数的图象相切于同一点,则的值为.‎ 三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求sinB的值;‎ ‎(2)若a=4,求△ABC的面积S的值.‎ ‎18.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.‎ ‎(1)请将上述列联表补充完整:并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;‎ ‎(2)针对于问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式:,其中n=a+b+c+d)‎ ‎19.在四棱锥中P﹣ABCD,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD、E、F,分别为PC、BD的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,若存在,请求出点G的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.已知椭圆C:的短轴长为2,离心率e=,‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程:‎ ‎(2)若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,求△F1AB的内切圆半径的最大值.‎ ‎21.设函数G(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x).‎ ‎(1)求G(x)的最小值:‎ ‎(2)记G(x)的最小值为e,已知函数,若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22.已知在直角坐标系中,曲线的C参数方程为(φ为参数),现以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小?若存在,求出距离的最小值及点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数f(x)=|x|+|x﹣3|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)﹣5≥x;‎ ‎(2)设m,n∈{y|y=f(x)},试比较mn+4与2(m+n)的大小.‎ 答案 :‎ 一、 CABBB CDBBB AC 二、13、24 14、B 15、 16、3‎ 三、‎ ‎17、解:(1)∵由得,…‎ ‎∴cosC=cos2A=cos2A﹣sin2A=,…2分 ‎∴sinC==,…3分 又∵A+B+C=π,sinB=sin=sin(A+C),…4分 ‎∴.…‎ ‎(2)由正弦定理得,…‎ ‎∴△ABC的面积.…‎ ‎ ‎ ‎18.解:(1)因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,‎ 所以喜欢游泳的学生人数为人…‎ 其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下:‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…‎ 因为…‎ 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…‎ ‎(2)喜欢游泳的共60人,按分层抽样抽取6人,则每个个体被抽到的概率均为,‎ 从而需抽取男生4人,女生2人.‎ 故X的所有可能取值为0,1,2…,‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎19.(1)证明:连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于点F,‎ 所以,在△PAC中,EF∥PA…‎ 又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD…‎ 所以EF∥平面PAD…‎ ‎(2)取AD的中点O,连接OP,OF,‎ 因为PA=PD,所以PO⊥AD,‎ 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,所以PO⊥平面ABCD,‎ 以O为原点,分别以射线OA,OF和OP为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,O﹣xyz,不妨设AD=2…‎ 则有P(0,0,1),D(﹣1,0,0),C(﹣1,2,0),假设在AB上存在点G(1,a,0),0<a<2,‎ 则=(﹣1,2,﹣1),=(﹣1,0,﹣1),=(2,a,0)…‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,且底面是正方形,‎ 所以CD⊥平面PAD,则CD⊥PA,‎ 由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA,‎ 所以PA⊥PDC,即平面PDC的一个法向量为=(1,0,﹣1)…‎ 设平面PDG的法向量为=(x,y,z),则,亦即,可取=(a,﹣2,﹣a)…‎ 由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,可得a=1…,‎ 所以线段AB上存在点G,且G为AB的中点,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为…‎ ‎ ‎ ‎20.解:(1)由题意可得…‎ 解得…‎ 故椭圆的标准方程为…‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设△F1AB的内切圆的半径为R,‎ 因为△F1AB的周长为4a=8,,‎ 因此最大,R就最大…,‎ 由题意知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,‎ 由得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,‎ 所以,…‎ 又因直线l与椭圆C交于不同的两点,‎ 故△>0,即(6m)2+36(3m2+4)>0,m∈R,则…‎ 令,则t≥1,.‎ 令,由函数的性质可知,函数f(t)在上是单调递增函数,‎ 即当t≥1时,f(t)在[1,+∞)上单调递增,‎ 因此有,所以,‎ 即当t=1,m=0时,最大,此时,‎ 故当直线l的方程为x=1时,△F1AB内切圆半径的最大值为…‎ ‎ ‎ ‎21.解:(1)由已知得…‎ 令G'(x)<0,得;令G'(x)>0,得,‎ 所以G(x)的单调减区间为,单调增区间为…‎ 从而…‎ ‎(2)由(1)中c=﹣ln2得…‎ 所以…‎ 令g(x)=ax2•ex﹣(a+1),则g'(x)=ax(2+x)ex>0…‎ 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 因为g(0)=﹣(a+1),且当x→+∞时,g(x)>0,‎ 所以存在x0∈(0,+∞),使g(x0)=0,‎ 且f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增…‎ 因为,所以,‎ 即,因为对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,‎ 所以…‎ 所以,即,‎ 亦即,所以…‎ 因为,所以,‎ 又x0>0,所以0<x0≤1,从而,‎ 所以,故…‎ ‎ ‎ ‎22.解:(1)曲线的C参数方程为(φ为参数),普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,‎ 直线l的极坐标方程为ρ=,直角坐标方程为x﹣y﹣4=0;‎ ‎(2)点P到直线l的距离d==,‎ ‎∴φ﹣=2kπ﹣,即φ=2kπ﹣(k∈Z),距离的最小值为,点P的直角坐标(1+,1﹣).‎ ‎ ‎ ‎23.解:(1)…‎ 得或或,解之得或x∈ϕ或x≥8,‎ 所以不等式的解集为…‎ ‎(2)由(1)易知f(x)≥3,所以m≥3,n≥3…‎ 由于2(m+n)﹣(mn+4)=2m﹣mn+2n﹣4=(m﹣2)(2﹣n)…‎ 且m≥3,n≥3,所以m﹣2>0,2﹣n<0,即(m﹣2)(2﹣n)<0,‎ 所以2(m+n)<mn+4…‎

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