数学理卷·2017届广东省清远市田家炳实验中学高三第一次模拟考试（2017 12页

清远市田家炳中学2017届高三第一次高考模拟统一考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分有不必要条件 ‎5．如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则（ ）‎ A．3 B． C．2 D．1‎ ‎6．如图，是某算法的程序框图，当输出时，正整数的最小值是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，在三棱锥中，已知三角形和三角形所在平面互相垂直，，，则直线与平面所角的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分 ‎13．二项式的展开式中常数项为．‎ ‎14．学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”；‎ 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“，两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．‎ ‎15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为．‎ ‎16．若一直线与圆和函数的图象相切于同一点，则的值为．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．‎ ‎18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中n=a+b+c+d）‎ ‎19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程：‎ ‎（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．‎ ‎21．设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．‎ ‎（1）求G（x）的最小值：‎ ‎（2）记G（x）的最小值为e，已知函数，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．‎ ‎（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；‎ ‎（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．‎ 答案 ：‎ 一、 CABBB CDBBB AC 二、13、24 14、B 15、 16、3‎ 三、‎ ‎17、解：（1）∵由得，…‎ ‎∴cosC=cos2A=cos2A﹣sin2A=，…2分 ‎∴sinC==，…3分 又∵A+B+C=π，sinB=sin=sin（A+C），…4分 ‎∴．…‎ ‎（2）由正弦定理得，…‎ ‎∴△ABC的面积．…‎ ‎　‎ ‎18．解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，‎ 所以喜欢游泳的学生人数为人…‎ 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…‎ 因为…‎ 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…‎ ‎（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，‎ 从而需抽取男生4人，女生2人．‎ 故X的所有可能取值为0，1，2…，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…‎ ‎…‎ ‎　‎ ‎19．（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，‎ 所以，在△PAC中，EF∥PA…‎ 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD…‎ 所以EF∥平面PAD…‎ ‎（2）取AD的中点O，连接OP，OF，‎ 因为PA=PD，所以PO⊥AD，‎ 又因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，‎ 以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，不妨设AD=2…‎ 则有P（0，0，1），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），假设在AB上存在点G（1，a，0），0＜a＜2，‎ 则=（﹣1，2，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），=（2，a，0）…‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，‎ 所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，‎ 由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，‎ 所以PA⊥PDC，即平面PDC的一个法向量为=（1，0，﹣1）…‎ 设平面PDG的法向量为=（x，y，z），则，亦即，可取=（a，﹣2，﹣a）…‎ 由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，可得a=1…，‎ 所以线段AB上存在点G，且G为AB的中点，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为…‎ ‎　‎ ‎20．解：（1）由题意可得…‎ 解得…‎ 故椭圆的标准方程为…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，‎ 因为△F1AB的周长为4a=8，，‎ 因此最大，R就最大…，‎ 由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，‎ 由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 所以，…‎ 又因直线l与椭圆C交于不同的两点，‎ 故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，则…‎ 令，则t≥1，．‎ 令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，‎ 即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，‎ 因此有，所以，‎ 即当t=1，m=0时，最大，此时，‎ 故当直线l的方程为x=1时，△F1AB内切圆半径的最大值为…‎ ‎　‎ ‎21．解：（1）由已知得…‎ 令G'（x）＜0，得；令G'（x）＞0，得，‎ 所以G（x）的单调减区间为，单调增区间为…‎ 从而…‎ ‎（2）由（1）中c=﹣ln2得…‎ 所以…‎ 令g（x）=ax2•ex﹣（a+1），则g'（x）=ax（2+x）ex＞0…‎ 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 因为g（0）=﹣（a+1），且当x→+∞时，g（x）＞0，‎ 所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，‎ 且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增…‎ 因为，所以，‎ 即，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，‎ 所以…‎ 所以，即，‎ 亦即，所以…‎ 因为，所以，‎ 又x0＞0，所以0＜x0≤1，从而，‎ 所以，故…‎ ‎　‎ ‎22．解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，‎ 直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；‎ ‎（2）点P到直线l的距离d==，‎ ‎∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为，点P的直角坐标（1+，1﹣）．‎ ‎　‎ ‎23．解：（1）…‎ 得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，‎ 所以不等式的解集为…‎ ‎（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…‎ 由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…‎ 且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，‎ 所以2（m+n）＜mn+4…‎