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- 2021-06-10 发布
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高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题
【考点自测】
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈ ) B.x=+(k∈ )
C.x=-(k∈ ) D.x=+(k∈ )
答案 B
解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+(k∈ )得函数的对称轴为x=+(k∈ ),故选B.
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )
A.B.C.-D.-
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,可知BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA=tan(∠BAD+∠CAD)==-3,所以cosA=-.
3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于( )
A.2B.4C.5D.10
答案 D
解析 将△ABC的各边均赋予向量,
则==
=
=
==-6
=42-6=10.
4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
答案
解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.
5.若函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A=________.
答案 π
解析 由题意知M,N,
又∵·=×-A2=0,∴A=π.
题型一 三角函数的图象和性质
例1 (2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解 (1)由f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈ ).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈ ).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位长度,
得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sint的图象求解.
跟踪训练1已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x+(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解 (1)因为f(x)=sin2x-(1+cos2x)+
=5=5sin,
所以函数的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),
得kπ-≤x≤kπ+ (k∈ ),
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈ ).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈ ),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈ ),
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈ ).
(3)由2x-=kπ+(k∈ ),得x=+(k∈ ),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈ ).
由2x-=kπ(k∈ ),得x=+(k∈ ),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈ ).
题型二 解三角形
例2(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解 (1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=.故cosB=.
(2)由cosB=,得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6,
得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)
=36-2××=4.
所以b=2.
思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.
跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得
sinC==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×=6.
题型三 三角函数和平面向量的综合应用
例3已知向量a=,b=(cosx,-1).
(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;
(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos的取值范围.
解 (1)因为a∥b,所以cosx+sinx=0,
所以tanx=-.
cos2x-sin2x===.
(2)f(x)=2(a+b)·b
=2·(cosx,-1)
=sin2x+cos2x+=sin+.
由正弦定理=,得
sinA===,
所以A=或A=.
因为b>a,所以A=.
所以f(x)+4cos=sin-,
因为x∈,所以2x+∈,
所以-1≤f(x)+4cos≤-.
所以f(x)+4cos的取值范围是.
思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.
跟踪训练3在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a),n=(cosB,b)平行.
(1)求的值;
(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC的周长为5,求b的长.
解 (1)由已知得b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,
由正弦定理,可设===k≠0,
则(cosA-2cosC)ksinB=(2ksinC-ksinA)cosB,
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),
又A+B+C=π,
所以sinC=2sinA,因此=2.
(2)由余弦定理可知,
bcosC+ccosB=b·+c·
==a=1,
由(1)知==2,则c=2,
由周长a+b+c=5,得b=2.
1.已知函数f(x)=sin+sin-2cos2,x∈R(其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调递增区间.
解 (1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1)
=2-1=2sin-1.
由-1≤sin≤1,
得-3≤2sin-1≤1,
所以函数f(x)的值域为[-3,1].
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,
所以=π,即ω=2.
所以f(x)=2sin-1,
再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈ ).
所以函数y=f(x)的单调递增区间为(k∈ ).
2.(2018届河南师范大学附属中学开学考试)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),且|m+n|=2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=4,c=a,求△ABC的面积.
解 (1)|m+n|2=(cosA+-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+2(cosA-sinA)
=4+4cos,
∴4+4cos=4,∴cos=0,
又∵A∈(0,π),故+A=,∴A=.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
即a2=(4)2+(a)2-2×4×acos,
解得a=4,∴c=8,
∴S△ABC=×4×8×=16.
3.(2018·合肥质检)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
解 (1)f(x)=a·b+
=(sinx,cosx)·(cosx,-cosx)+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-cos2x=sin.
令2x-=kπ+(k∈ ),得x=+(k∈ ).
即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈ ).
(2)由条件知sin=sin=>0,
且00)个单位长度,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sinx的图象,求φ的最小值.
解 (1)f(x)=m·n-
=2acos2x+bsinxcosx-,
由f(0)=2a-=,得a=,
此时,f(x)=cos2x+sin2x,
由f(x)≤=1,得b=1或b=-1,
当b=1时,f(x)=sin,经检验为最高点;
当b=-1时,f(x)=sin,经检验不是最高点.
故函数的解析式为f(x)=sin.
(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=sin的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin的图象,
所以2φ+=2kπ(k∈ ),
φ=-+kπ(k∈ ),
因为φ>0,所以φ的最小值为.
6.(2017·山东淄博模拟)已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+(ω>0),与f(x)图象的对称轴x=相邻的f(x)的零点为x=.
(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c且c=,f(C)=1,若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.
解 (1)f(x)=sin2ωx-+
=sin2ωx-cos2ωx=sin.
由与f(x)图象的对称轴x=相邻的零点为x=,
得·=-=,
所以ω=1,即f(x)=sin,
令 =2x-,
函数y=sin 的单调递增区间是,k∈ ,
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈ ,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈ ,
设A=,
B=,
易知A∩B=,
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)f(C)=sin-1=0,
则sin=1,
因为0