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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)5高考中的三角函数与平面向量问题学案

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高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题 ‎【考点自测】‎ ‎1.(2016·全国Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )‎ A.x=-(k∈ ) B.x=+(k∈ )‎ C.x=-(k∈ ) D.x=+(k∈ )‎ 答案 B 解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+(k∈ )得函数的对称轴为x=+(k∈ ),故选B.‎ ‎2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )‎ A.B.C.-D.- 答案 C 解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,可知BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA=tan(∠BAD+∠CAD)==-3,所以cosA=-.‎ ‎3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于( )‎ A.2B.4C.5D.10‎ 答案 D 解析 将△ABC的各边均赋予向量,‎ 则== ‎= ‎= ‎==-6‎ ‎=42-6=10.‎ ‎4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.‎ 答案 解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.‎ ‎5.若函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A=________.‎ 答案 π 解析 由题意知M,N,‎ 又∵·=×-A2=0,∴A=π.‎ 题型一 三角函数的图象和性质 例1 (2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.‎ 解 (1)由f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2‎ ‎=2sin2x-(1-2sinxcosx)‎ ‎=(1-cos2x)+sin2x-1‎ ‎=sin2x-cos2x+-1‎ ‎=2sin+-1.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈ ).‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈ ).‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到y=2sin+-1的图象,‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度,‎ 得到y=2sinx+-1的图象,‎ 即g(x)=2sinx+-1.‎ 所以g=2sin+-1=.‎ 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sint的图象求解.‎ 跟踪训练1已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x+(其中x∈R),求:‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间;‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.‎ 解 (1)因为f(x)=sin2x-(1+cos2x)+ ‎=5=5sin,‎ 所以函数的最小正周期T==π.‎ ‎(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),‎ 得kπ-≤x≤kπ+ (k∈ ),‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈ ).‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈ ),‎ 得kπ+≤x≤kπ+(k∈ ),‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈ ).‎ ‎(3)由2x-=kπ+(k∈ ),得x=+(k∈ ),‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈ ).‎ 由2x-=kπ(k∈ ),得x=+(k∈ ),‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈ ).‎ 题型二 解三角形 例2(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.‎ ‎(1)求cosB;‎ ‎(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.‎ 解 (1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,‎ 故sinB=4(1-cosB).‎ 上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,‎ 解得cosB=1(舍去)或cosB=.故cosB=.‎ ‎(2)由cosB=,得sinB=,‎ 故S△ABC=acsinB=ac.‎ 又S△ABC=2,则ac=.‎ 由余弦定理及a+c=6,‎ 得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)‎ ‎=36-2××=4.‎ 所以b=2.‎ 思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.‎ 跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中,∠A=60°,c=a.‎ ‎(1)求sinC的值;‎ ‎(2)若a=7,求△ABC的面积.‎ 解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,‎ 所以由正弦定理得 sinC==×=.‎ ‎(2)因为a=7,所以c=×7=3.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 ‎72=b2+32-2b×3×,‎ 解得b=8或b=-5(舍去).‎ 所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×=6.‎ 题型三 三角函数和平面向量的综合应用 例3已知向量a=,b=(cosx,-1).‎ ‎(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;‎ ‎(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos的取值范围.‎ 解 (1)因为a∥b,所以cosx+sinx=0,‎ 所以tanx=-.‎ cos2x-sin2x===.‎ ‎(2)f(x)=2(a+b)·b ‎=2·(cosx,-1)‎ ‎=sin2x+cos2x+=sin+.‎ 由正弦定理=,得 sinA===,‎ 所以A=或A=.‎ 因为b>a,所以A=.‎ 所以f(x)+4cos=sin-,‎ 因为x∈,所以2x+∈,‎ 所以-1≤f(x)+4cos≤-.‎ 所以f(x)+4cos的取值范围是.‎ 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.‎ 跟踪训练3在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a),n=(cosB,b)平行.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC的周长为5,求b的长.‎ 解 (1)由已知得b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,‎ 由正弦定理,可设===k≠0,‎ 则(cosA-2cosC)ksinB=(2ksinC-ksinA)cosB,‎ 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,‎ 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),‎ 又A+B+C=π,‎ 所以sinC=2sinA,因此=2.‎ ‎(2)由余弦定理可知,‎ bcosC+ccosB=b·+c· ‎==a=1,‎ 由(1)知==2,则c=2,‎ 由周长a+b+c=5,得b=2.‎ ‎1.已知函数f(x)=sin+sin-2cos2,x∈R(其中ω>0).‎ ‎(1)求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1)‎ ‎=2-1=2sin-1.‎ 由-1≤sin≤1,‎ 得-3≤2sin-1≤1,‎ 所以函数f(x)的值域为[-3,1].‎ ‎(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,‎ 所以=π,即ω=2.‎ 所以f(x)=2sin-1,‎ 再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),‎ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈ ).‎ 所以函数y=f(x)的单调递增区间为(k∈ ).‎ ‎2.(2018届河南师范大学附属中学开学考试)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),且|m+n|=2.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b=4,c=a,求△ABC的面积.‎ 解 (1)|m+n|2=(cosA+-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+2(cosA-sinA)‎ ‎=4+4cos,‎ ‎∴4+4cos=4,∴cos=0,‎ 又∵A∈(0,π),故+A=,∴A=.‎ ‎(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,‎ 即a2=(4)2+(a)2-2×4×acos,‎ 解得a=4,∴c=8,‎ ‎∴S△ABC=×4×8×=16.‎ ‎3.(2018·合肥质检)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.‎ 解 (1)f(x)=a·b+ ‎=(sinx,cosx)·(cosx,-cosx)+ ‎=sinx·cosx-cos2x+ ‎=sin2x-cos2x=sin.‎ 令2x-=kπ+(k∈ ),得x=+(k∈ ).‎ 即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈ ).‎ ‎(2)由条件知sin=sin=>0,‎ 且00)个单位长度,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sinx的图象,求φ的最小值.‎ 解 (1)f(x)=m·n- ‎=2acos2x+bsinxcosx-,‎ 由f(0)=2a-=,得a=,‎ 此时,f(x)=cos2x+sin2x,‎ 由f(x)≤=1,得b=1或b=-1,‎ 当b=1时,f(x)=sin,经检验为最高点;‎ 当b=-1时,f(x)=sin,经检验不是最高点.‎ 故函数的解析式为f(x)=sin.‎ ‎(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=sin的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin的图象,‎ 所以2φ+=2kπ(k∈ ),‎ φ=-+kπ(k∈ ),‎ 因为φ>0,所以φ的最小值为.‎ ‎6.(2017·山东淄博模拟)已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+(ω>0),与f(x)图象的对称轴x=相邻的f(x)的零点为x=.‎ ‎(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性;‎ ‎(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c且c=,f(C)=1,若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.‎ 解 (1)f(x)=sin2ωx-+ ‎=sin2ωx-cos2ωx=sin.‎ 由与f(x)图象的对称轴x=相邻的零点为x=,‎ 得·=-=,‎ 所以ω=1,即f(x)=sin,‎ 令 =2x-,‎ 函数y=sin 的单调递增区间是,k∈ ,‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈ ,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈ ,‎ 设A=,‎ B=,‎ 易知A∩B=,‎ 所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ ‎(2)f(C)=sin-1=0,‎ 则sin=1,‎ 因为0