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- 2021-06-10 发布
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数学
一.选择题(共 14 小题,每题 5 分)
1. 在下列四个命题中,正确的共有
坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率; 直线的倾斜角的取值范围是 ;
若一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为 ; 若一条直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为 .
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】A
2. 已知直线 经过一、二、三象限,则有
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
3. 已知点 , ,直线 l 的方程为 ,且与线段 AB 相交, 则直线 l 的斜率 k 的取值范围为
A. 或 B.
C. D.
【答案】A
解: 直线 l 的方程 可化为,
直线 l 过定点 ,且与线段 AB 相交,如图所示:
则直线 PA 的斜率是 , 直线 PB 的斜率是 ,
则直线 l 与线段 AB 相交时,它的斜率 k 的取值范围是:
或
.
故选 A.
4.方程
表示的曲线是
A. 一个圆
【答案】D
B. 两个半圆
C. 两个圆
D. 半圆
解: 方程
等价于
,
表示的曲线是半个圆.
故选 D.
5.已知圆的方程为 ,过点 的该圆的所有弦中,最短弦的长为
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
解:由 ,得 , 圆心坐标为 ,半径为 3,
如图:当过点 的直线与连接 P 与圆心的直线垂直时,弦 AB 长度最短,
则最短弦长为
.
故选 C.
6. 直线 l:
A.
【答案】D
上的点到圆 C:
B.
C. 1
上的点的最近距离为 .
D.
解:由题知圆 C 可化为: ,则圆心为 ,半径 ,
距离为:
.
圆心 到直线 ,
因此,圆上点到直线的最短距离为故选 D.
7.已知圆 ,直线 l: ,若圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距离都等于 1,则 b 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
解:由圆的方程:
,
可得圆的圆心为原点
,半径为 2,
若圆上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1,则 O 到直线 l:的距离 d 小于 1, 直线 l 的一般方程为: , ,
解得 ,即 b 的取值范围为
故选 D.
8. 等差数列
中,若
,
是
的两根,则数列
的前 11 项和
A. 22
【答案】D
B.
C.
D. 11
解:等差数列 中,若 , 是方程 的两根, 则 ,
, 的前 11 项的和为
.
故选 D.
9. 数列 满足 ,且对任意的 都有 ,则数列 的前 100 项的和为
A. B. C. D.
【答案】B
解: ,
,又 ,
,
, 数列 的 前 100 项的和为:
. 故选 B.
10. 满足条件 , , 的 的个数是
A. 1 B. 2 C. 无数个 D. 不存在
【答案】D
解: , , ,
由正弦定理可得: ,不成立,
所以这样的三角形不存在. 故选 D.
11. 中,a,b,c 分别为 , , 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,
, 的面积为 ,那么 b 等于
A. B. C. D.
【答案】B
解: ,b,c 成等差数列, , 平方得 ,
又 的面积为 ,且,
由
,解得
,
代入 式可得
,
由余弦定理得
解得 故选 B.
,
.
,
9. 在 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若, ,则的面积的最大值为
A. B. C. 2 D.
【答案】A
解: 在 中, , , 由正弦定理可得: ,
,
,即 , 可得 ,
, ,
由余弦定理可得 ,
,当且仅当 时取等号, 的面积 .
故选 A.
ìïy≥0
y-1
9. 若实数 x、y 满足不等式组íx-y≥0
ïî2x-y-2≥0
,则 ω=x+1的取值范围是( )
A.[-1 1
B.[ 1 1
C.[ 1
∞) D.[ 1 1)
,3]
-2,3]
-2,+
-2,
解析 所求问题转化为求动点(x,y)与定点(-1,1)连线的斜率问题.不等式组表示的可行域如图所示.目
y-1
标函数 ω= 表示阴影部分的点与定点(-1,1)的
x+1
连线的斜率,由图可见,点(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于 1,但永远达不到,故
1
-2≤w<1.
答案:D
ìïf(x)+f(y)≤0, 14.已知函数 f(x)=x2-2x,则满足条件í
ïîf(x)-f(y)≥0
的点(x,y)所在区域的面积为( )
A.4 π B.π
ìïf(x)+f(y)≤0,
解析:í
ïîf(x)-f(y)≥0,
3π
C. 2
ìï(x-1)2+(y-1)2≤2,即í
ïî(x-y)(x+y-2)≥0.
D.2 π
区域为圆面(x-1)2+(y-1)2≤2 和平面区域(x-y)(x+y-2)≥0 的公共部分,如图.
答案:B
二. 填空题(共 4 小题,每题 5 分)
15. 若三点 , , C(8,10)
【答案】-8
由 得答案为-8.
在同一直线上,则实数 b 等于 .
16. 在平面直角坐标系 xOy 中,以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
【答案】
解:因为直线 恒过点 , 所以当点 为切点时,半径最大,
此时半径 ,故所求圆的标准方程为 . 故答案为: .
17. 正项等比数列 中,存在两项 、 使得 ,且 ,则
的最小值是 .
解:设正项等比数列 的公比为 q, ,
, ,即 ,解得 或 舍去 ,
, , ,
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
,且 n 和 m 为正整数, 等号无法成立,
经检验,当 , 时, 最小值为: ,
故答案为 .
18.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论:
①由已知条件,这个三角形被唯一确定;
②△ABC 一定是钝角三角形;
③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;
15 3
2
④若 b+c=8,则△ABC 的面积是 .
其中正确结论的序号是 .
解析:由(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0),a,b,c
随着 k 的变化而变化,可知结论①错误.
k 2+ k 2- k 2
∵cos A=
2×5k×3k <0,∴结论②正确.
∵sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,∴结论③正确.
3
15 3
1
∵cos A=-
,∴sin A= ,若 b+c=8,则 b=5,c=3,a=7,则 S△ABC=
,∴结
2 2 4
论④不正确.
【答案】 ②③
三. 解答题(共 5 小题,每题 12 分)
19. 设关于 x 的不等式的解集为 .
设不等式 的解集为 A,集合 ,求 ;
若 ,求 的最小值.
解:关于 x 的不等式的解集为
,解得 ;
不等式 可化为 ,
由 解得 或 ,即 ; 又 , ;
, ,
则
,
当且仅当 时等号成立,
即 的最小值为 3.
19. 已知 O 为坐标原点,倾斜角为 的直线 l 与 x,y 轴的正半轴分别相交于点 A,B, 的面积为 .
Ⅰ 求直线 的方程;
Ⅱ 直线 过点 O 且与 l 平行,点 P 在 上,求 的最小值.
解: 由题意可得:直线 l 的斜率, 设直线 l 的方程为:.
可得直线 l 与坐标轴的正半轴交点为, ,其中 .
,解得 .
直线 l 的方程为: .
由 可得: , 直线 的方程为: 设点 A 关于直线 的对称点 ,
则 ,解得 ,
取得最小值.
, 当 ,B,P 三点共线时,
.
19. 已知直线 l: 和圆 C: 当直线 l 与圆 C 相切时,求实数 m 的值;
当直线 l 与圆 C 相交,且所得弦长为 时,求实数 m 的值.
解: 由 得, , 圆心 C 为 , ;
直线 与圆 C 相切,
解得 或 ;
设圆心 C 到直线 l 的距离为 d,且弦长为, 由勾股定理得: ,
由点到直线的距离公式得, ,
,解得 . 所以实数 m 的值为 3 或.
19. 设 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 设 S 为 的面积,满足.
Ⅰ 求 B;
Ⅱ 若 ,求 的最大值.
解: Ⅰ , ,即 , 由 变形得: ,
整理得: ,又 ;
Ⅱ , ,
由正弦定理知 , ,
,
当且仅当 时取最大值,故 的最大值为 .
19. 已知数列 的前 n 项和为 ,且 . 求数列 的通项公式;
若 ,设数列 的前 n 项和为 ,证明 .
解:
当
时,
,得
,
当
时,
,
则 ,即 ,
所以数列 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以 ; 由 得 ,
所以 ,
所以 ,
两式相减得 ,
即 ,所以 , 因为 ,所以 , 即 .