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- 2021-06-10 发布
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考点梳理】
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【考点突破】
考点一、分类加法计数原理
【例1】(1)如图,从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).
(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
[答案] (1) 5 (2) B
[解析] (1)分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.
(2)①当a=0,有x=-,b=-1,0,1,2有4种可能;
②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,
(ⅰ)若a=-1时,b=-1,0,1,2有4种不同的选法;
(ⅱ)若a=1时,b=-1,0,1有3种可能;
(ⅲ)若a=2时,b=-1,0,有2种可能.
∴有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).
【类题通法】
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.
1.根据题目特点恰当选择一个分类标准.
2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.
3.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本例(2)中易漏a=0这一类.
【对点训练】
1.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有( )
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
[答案] B
[解析] 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理,共有3+3+3=9(种)不同的监考方法.
2.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[答案] D
[解析] 以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;
以2为首项的等比数列为2,4,8;
以4为首项的等比数列为4,6,9;
把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,
∴所求的数列共有2(2+1+1)=8个.
考点二、分步乘法计数原理
【例2】(1)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )
A.10种 B.25种 C.52种 D.24种
(2)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
[答案] (1) D (2) B
[解析] (1)每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.
由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.
(2)分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.
【类题通法】
1.在第(1)题中,易误认为分5步完成,错选B.
2.利用分步乘法计数原理应注意:①要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事.
【对点训练】
1.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,
则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有________种.
[答案] 45 54
[解析] 五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.
2.已知某公园有5个门,从任一门进,另一门出,则不同的走法的种数为________(用数字作答).
[答案] 20
[解析] 分两步,第一步选一个门进有5种方法,第二步再选一个门出有4种方法,所以共有5×4=20种走法.
考点三、两个计数原理的综合应用
【例3】(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.48 B.18 C.24 D.36
(2)如图所示,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为________(用数字作答).
[答案] (1) D (2) 96
[解析] (1)在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成
24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.
(2)按区域1与3是否同色分类:
①区域1与3同色:先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法.
∴区域1与3涂同色,共有4A=24种方法.
②区域1与3不同色:先涂区域1与3有A种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法.
∴这时共有A×2×1×3=72种方法.
由分类加法计数原理, 不同的涂色种数为24+72=96.
【类题通法】
1.①注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.第(2)题中,相邻区域不同色,是按区域1与3是否同色分类处理.
【对点训练】
1.如图所示,在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
[答案] 40
[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:
第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个).
第二类,有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).
2.如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )
A.72种 B.48种 C.24种 D.12种
[答案] A
[解析] 法一 首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72种涂法.
法二 按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).