数学（理）卷·2018届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考（2018 14页

江西省重点中学协作体2018届高三第一次联考试卷 ‎2018.2‎ 数学（理科）试卷 满分150分 考试时间120分钟[]‎ 命题人：新余一中 吉安县中 ‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1 .设集合，（ ）‎ ‎ A． B. C. D. ‎ ‎2. 设复数互为共轭复数， ，则＝(　　) ‎ A．－2＋i B．4 C． －2 D．－2－i ‎3. 已知数列满足，且成等比数列，则数列的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方 形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.设向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影为( ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有面中,面积最大的那个面的面积为( ) ‎ ‎ A.2 B.‎ ‎ C. D. ‎ ‎9. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（ ）‎ ‎ A. 66 B. 12 C. 36 D. 198‎ ‎10. 已知抛物线 ‎ ‎，则P到这两条直线的距离之和的最小值为（ ） ‎ ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎11.已知函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 设是函数的极值点，数列 ，若表示不超过x的最大整数，则=（ ）‎ ‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若 (其中),则的展开式中的系数为 ．‎ ‎14.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为 .‎ ‎15. 设双曲线C：作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，其中M位于第二象限，B（0，b），若是锐角，则双曲线C的离心率的取值范围是__________.‎ ‎16. 已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角ABDC的大小为60°的四面体，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17-21题必答题，每小题12分；22、23题为选做题，任选一题作答，每小题10分，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎ （1）求函数的对称中心；‎ ‎ （2）已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的外接圆半径为，求周长的最大值。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故[]‎ 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图四棱锥中，是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且。‎ ‎ （1）若MN∥平面PAD；‎ ‎ （2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。‎ ‎[来源]‎ ‎20. （本小题满分12分） 如图，已知椭圆：， 其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （1）若函数上恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎ （2）设函数，若函数的图象与轴交于点A(,0),B(,0)两点，且是函数的极值点，试比较的大小.‎ 选做题，从22、23题任选一题作答，两题都答以第一题作答为准记分。‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 ‎（1）求曲线C1与C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）若m=2时，解不等式 ‎ （2）若关于的不等式上有解，求实数m的取值范围。‎ 江西省重点中学协作体2018届高三第一次联考 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1[]‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B C D B C D B A D B A 二，填空题 ‎13. 60 14. 15. 16. 156‎ 提示：一，选择题 ‎8．几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，其中C为该棱的中点。则三角形PAB面积最大。是边长为2的等边三角形，其面积为2‎ ‎.‎ ‎9.模拟程序框图的运行过程，如下；‎ a=6402，b=2046，‎ 执行循环体，r=264，a=2046，b=264，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0‎ 满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为66.故选A.‎ ‎10.距离之和的最小值即为抛物线的焦点到的距离。‎ ‎11.由题可知，‎ ‎，。恰有4个零点，即函数与函数的图像恰有4个交点。，画出图像可知。故选B。 ‎12. 由题可知，，‎ 则 ，，，，，，累加得。故。=‎ ‎===。所以。故选A。‎ 二、填空题 ‎13. 60‎ ‎14. ‎ ‎15.因为是锐角，故与的数量积为正数。经计算可得。所以。故。‎ ‎16.设BD的中点为E，连接AE，CE。则平面ACE垂直于平面BCD。设G为的重心，过G作平面BCD的垂线GO，则GO在平面ACE内，在平面ACE内作EO垂直于AC交GO于点O，即O为该四面体外接球的球心。角OEG为，EG=3，故OG=，故R=OC=，故球O的表面积为。‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）‎ ‎17．解：由 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………………2分 ‎ （1）令 ‎ 所以函数……………5分 ‎ （2）由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又因为 ‎ 由…………8分 ‎ 又 ‎ 由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当周长的最大值为9………………12分 ‎18．解：（1）由题意可知的可能取值为，，，a，，.‎ 由统计数据可知：‎ 所以的分布列为：‎ X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P 所以……6分 ‎（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 ‎………………9分 ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-4000,8000.‎ 所以的分布列为：‎ ‎-4000‎ ‎8000‎ 所以.‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元. ………………12分 ‎19．（1）证明：若，‎ ‎ 连接EN，DE，‎ ‎ EN∥AB，且 ‎ M为CD的中点，CD=2，‎ ‎ 又AB∥CD，ENDM ‎ 四边形DMNE是平行四边形，MN∥DE，‎ ‎ 又平面PAD，MN平面PAD，‎ ‎ MN∥平面PAD…………………………………………………6分 ‎ （2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD，‎ ‎ 则以D为坐标原点建立空间直角坐标D-yz，‎ ‎ 点D（0，0，0），M（0，1，0），‎ ‎ C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0），‎ ‎ P（0，0，4），=（2，0，0），=（0，-2，4），‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 该平面PBC的法向量为，则 ‎ 令z=1，y=2，x=0，[]‎ ‎ 该直线AN与平面PBC所成的角为，则 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 设直线AD与直线CN所成角为，‎ ‎ 则 ‎ 所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为………………12分 ‎20.解. （1）因为、、构成等差数列，‎ 所以，所以， ‎ 又因为，所以，‎ 所以椭圆的方程为．………………4分 ‎（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与， 轴垂直．‎ 设方程为，‎ 将其代入，整理得，………………5分 设， ，所以， ‎ 故点的横坐标为，所以．………………7分 设,因为，所以，‎ 解得，即．　………………8分 ‎∵和相似，且，则，………9分 ‎∴‎ 整理得，因此，‎ 所以存在直线 . ………………12分 ‎21.解（1），令，则 ‎ 当单调递增，‎ ‎ 当1<<2时，，单调递减.‎ ‎ ‎ ‎ …………①‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ …………………………………………5分 ‎（2）则，不妨取 ‎ 又令，则 ‎ 上单调递增. …………………………………6分 ‎ 又，‎ ‎ 由①式可知 ‎ 所以…………………………………8分 ‎ 又 ‎ 由①式知，取 ‎ ‎ ‎ 又是的极值点，‎ ‎ ‎ ‎ 又上单调递增 ………………………12分 ‎22．解（1）曲线C1的参数方程为 ‎ 曲线C1的普通方程为：‎ ‎ 曲线C2的极坐标方程为 ‎ 曲线C2的直角坐标方程为………………………………5分 ‎ （2）曲线C1的普通方程为：‎ ‎ 为半圆弧，由曲线C2与C1有两个公共点，则当C2与C1相切时，‎ ‎ 得 ‎ （舍去）‎ ‎ 当C2过点（4，3）时，4-3＋t=0‎ ‎ ，……………………………10分 ‎23.解（1）若m=2时，‎ ‎ 当时，原不等式可化为，所以 ‎ 当时，原不等式可化为，所以 ‎ 当时，原不等式可化为，所以 ‎ 综上述：不等式的解集为…………………………………5分 ‎ （2）当时，由得 ‎ 即 ‎ 故 ‎ 又由题意知：（‎ ‎ 即…………………………………10分