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  • 2021-06-10 发布

天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题(Word版附答案)

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高三数学 第 1 页 (共 11 页) 天津市 2020~2021 学年度第一学期期中八校联考 高三数学 一、选择题(本题共 9 小题,每题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的) 1.已知集合 }0log|{ 2  xxA ,  2 1xB x  ,则( ) A.  1A B x x   B. A B R C.  1A B x x   D. A B   2.已知向量 ( 1,2), (2,1)a x b   ,则 a b  的充要条件是( ) A. 1 2x   B. 1x   C. 5x  D. 0x  3.在 ABC 中, M 是 BC 的中点.若 AB = a ,CA =b ,则 AM =( ) A. 1 ( )2 a b  B. 1 ( )2 a b  C. 1 2 a b  D. 1 2a b  4.已知 3log 5a  , 0.23b  , 1.23c  ,则( ) A. b c a  B.b a c  C. a c b  D. a b c  5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的表面积为 6 ,则这个正四 棱柱的体积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 高三数学 第 2 页 (共 11 页) 6.已知 0x  , 0y  ,若 22 8 2y x m mx y    恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A. 4m≥ 或 2m   B. 2m  或 4m   C. 4 2m   D. 2 4m   7.设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数,当 0x  时, 1)1(log)( 2 2  aaxxxf ( a 为 常数),则不等式 2)53( xf 的解集为( ) A. ( , 1)  B. ( 1, )  C. ( , 2)  D. ( 2, )  8.将函数 ( ) sinf x x 的图像先向右平移 3  个单位,再把所得函数图像横坐标变为原来 的 1 ( 0)  ,纵坐标不变,得到函数  g x 的图像,若函数  g x 在 3,2 2       上没有 零点,则 的取值范围是( ) A. (0,1] B. 20, 9      C. 2 2 80, ,9 3 9           D. 2 80, ,19 9           9.已知定义在 R 上的函数       1, 1,ln )( 2 xxx xx xf ,若函数    k x f x ax  恰有 2 个零 点,则实数 a 的取值范围是( ) A.  1 ,11,0 e      B.  1, 1 ,1e       C.   1, 1 ,1 0e        D.    11,0 0 ,1e       高三数学 第 3 页 (共 11 页) 二、填空题(本题 6 小题,每题 5 分,共 30 分,双空题答对一个空得 3 分) 10.设函数 1 2 2 , 1 1 log , 1 x xf x x x      ( ) ,则  4f f( ) ______. 11.设曲线  ln 1y ax x   在点 0,0 处的切线方程为 03  yx ,则 a ________. 12.底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为____________. 13.设 ABC 的内角 CBA ,, 所对的边分别为 ,,, cba 若 CBA sincossin2  ,则 ABC 的 形状为________. 14.已知 ba, 均为正实数,且 1a b  ,则 ab a 18 2  的最小值为__________,此时 a 的值 为__________. 15.如图,在平面四边形 ABCD 中, AB BC , AD CD , 120BAD   , AB=AD 1 .若点 E 为 DC 上的动点,则 AE BE  的最小值为______. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 14 分) 已知  f x a b     ,其中  2cos , 3sin 2a x x    ,  cos ,1b x   , xR . (1)求  f x 的单调递增区间; (2)在 ABC△ 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,   1f A   , 7a  , 且向量  3,sinm B   与  2,sinn C   共线,求边长b 和 c 的值. 高三数学 第 4 页 (共 11 页) 17.(本小题满分 14 分) 设数列 na 的前 n 项和为 22nS n= , nb 为等比数列,且 1 1a b= , 2 2 1 1( )b a a b- = . (1)求数列 na 和 nb 的通项公式; (2)设 n n n ac b  ,求数列 nc 的前 n 项和 nT . 18.(本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA  平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,其中 //AD BC , AB AD , 1 22AB AD BC   , 4PA  , E 为棱 BC 上的点,且 1 4BE BC . (1)求证: DE  平面 PAC ; (2)求二面角 A PC D  的余弦值; (3)设Q 为棱CP 上的点(不与C , P 重合), 且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值 为 5 5 ,求 CQ CP 的值. 高三数学 第 5 页 (共 11 页) 19.(本小题满分 16 分) 已知数列 na 的前 n 项和为 nS , * 1 12 8 8n nS a n n N a    ,, ,设 2n nb a  . (1)证明: nb 是等比数列; (2)设     11 2 1 2 1 n n n n n ac     ,求 nc 的前 n 项和 nT ,若对于任意 * nn N T , ≥ 恒成立,求  的取值范围. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 ( ) ln 1f x x x ax   , a R . (1)当 0x  ,若关于 x 的不等式 ( ) 0f x  恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 (1, )x  时,证明: ( 1) lnx e x xe   2x x  . 2020~2021 学年度第一学期期中八校联考 高三数学参考答案 1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.C 10.4 11.4 12. 544  13.等腰三角形 14. 8 4 1 15. 16 21 高三数学 第 6 页 (共 11 页) 16.(1) , ( )6 3k k k Z        ;(2) 3, 2b c  . 解:(1)   22cos 3sin 2 1 cos2 3sin 2x xf x xx      1 2cos 2 3x       , cosy x 在  2 ,2k k k Z    上单调递增,令 2 2 2 ( )3k x k k Z       , 得 2 ( )3 6k x k k Z       ,  f x 的单调递增区间  2 ,3 6k k k Z        .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6 分 (2)   132cos21       AAf cos 2 13A        ,又 723 3 3A     , 2 3A     ,即 3A  . 7a ,由余弦定理得  22 2 2 2 cos 3a b c bc A b c bc      . 因为向量  3,sinm B   与  2,sinn C   共线,所以 2sin 3sinB C , 由正弦定理得 2 3b c , 3, 2b c   . ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 14 分 17.(1) 4 2na n  , 1 2 4n nb  ;(2) 2 5 5) 43 9 9 n nT n   =( 解:(1)当 2n  时, 2 2 1 2 2 1 4 2( )n n na S S n n n    -- ,当 1n  时, 1 1 2a S  满足上式,故 na 的通项式为 4 2na n  .设 nb 的公比为 q, 高三数学 第 7 页 (共 11 页) 由已知条件 2 2 1 1( )b a a b  知, 1 2b  , 1 2 2 1 1 2 bb a a   ,所以 2 1 1 4 aq a   , 1 1 1 12 4 n n nb b q      ,即 1 2 4n nb  .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6 分 (2)   1 1 4 2 2 1 42 4 nn n n n a nc nb       , 1 2 1 1 2 1 3 4 5 4 2( ) ]1[ 4n n nT c c c n     -= + + + = + + + + - 2 2 1[ ( ) ( )4 1 4 3 4 5 4 2 ]3 4 2 1 4n n nT n n    -= + + + + - + - 两式相减得: 1 2 3 1( ) 5 53 1 2 4 4 4 4 2 1 4( 4 3) 2 )3 n n n nT n n   -=- - + + + + + - =( 2 5 5) 43 9 9 n nT n   =( ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 14 分 18.(1)见解析;(2) 2 5 5 ;(3) 2 3 CQ CP  解:(1)因为 PA  平面 ABCD , AB Ì平面 ABCD , AD 平面 ABCD 所以 PA AB , PA AD 因为 AB AD ,则以 A 为坐标原点,建立如图所示的空 间直角坐标系. 高三数学 第 8 页 (共 11 页) 由已知可得  0,0,0A ,  2,0,0B ,  2,4,0C ,  0,2,0D ,  0,0,4P ,  2,1,0E . 所以  2, 1,0DE   ,  2,4,0AC  ,  0,0,4AP  . 因为 2 2 1 4 0 0DE AC        , 0DE AP   .所以 DE AC , DE AP 又 AP AC A  ,AP  平面 PAC ,AC  平面 PAC .所以 DE  平面 PAC .・・・ 4 分 (2)设平面 PAC 的法向量 m  ,由(1)可知,  2, 1,0m DE    设平面 PCD的法向量  , ,n x y z ,因为  0,2, 4PD   ,  2,4, 4PC   . 所以 0 0 n PD n PC         ,即 2 4 0 2 4 4 0 y z x y z       不妨设 1z  ,得  2,2,1n   r .        2 22 2 2 2 1 2 0 2 5cos , 52 1 2 2 1 m nm n m n                      所以二面角 A PC D  的余弦值为 2 5 5 . ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9 分 高三数学 第 9 页 (共 11 页) (3)设  0 1CQ CP     ,即  2 , 4 ,4CQ CP        . 所以  2 2 ,4 4 ,4Q      ,即  2 ,4 3, 4QE      . 因为直线QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 5 5 所以          2 2 2 22 2 2 4 3 0 5cos , 52 1 2 4 3 4 QE m QE m QE m                            即 236 24 9 3    解得 2 3   ,即 2 3 CQ CP  . ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 15 分 (几何法同样给分) 19.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) 2 9  ≥ . 解:(Ⅰ)当 1n  时, 2 14a  , 当 *2n n N , 时, 1 12 8 2 10n n n nS a n S a n      , ,所以 1 2 2n na a   , 即  1 2 2 2n na a    ,即  1 2 2n n b nb    , 又∵ 2 2 1 1 2 22 b a b a   ,∴ nb 是首项 1 6b  ,公比为 2 的等比数列.・・・・・・・・・ 6 分 (2)由(1)知 12 6 2n na    ,即 3 2 2n na    , 所以 高三数学 第 10 页 (共 11 页)             11 1 3 2 2 1 11 1 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 n n n nn n n nn n n n ac                     2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n nT                                         ∴   1 1 113 2 1 n n nT      当 n 为偶数时,∴   1 1 113 2 1 n n nT      是递减的,此时当 2n  时,∴ nT 取最大 值 2 9  ,则 2 9    . 当 n 为奇数时,∴   1 1 113 2 1 n n nT      是递增的,此时 1 3nT   ,则 1 3    . 综上,  的取值范围是 2 9    .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16 分 20.(1)[ 1, )  ;(2)见解析 解:(1)由   0f x  ,得 ln 1 0x x ax   ( 0)x  .整理,得 1lna x x    恒成立, 即 min 1lna x x       . 令   1lnF x x x   .则   2 2 1 1 1' xF x x x x    .∴函数  F x 在 0,1 上单调递减, 在 1, 上单调递增. ∴函数   1lnF x x x   的最小值为  1 1F  .∴ 1a  ,即 1a   .∴ a 的取值范 围是 1,  .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6 分 高三数学 第 11 页 (共 11 页) (2)由(1),当 1a   时,有 ln 1x x x  ,即 1ln xx x  . 要证  1 lnx e x xe   ,可证  1 1 x e x x e x   , 1x  ,即证 1 x e e x  , 1x  . 构造函数    1xG x e ex x   .则  ' xG x e e  . ∵当 1x  时,  ' 0G x  .∴  G x 在 1, 上单调递增. ∴    1 0G x G  在 1, 上成立,即 xe ex ,证得 1 x e e x  . ∴当  1,x  时,  1 lnx e x xe   成立. 构造函数    2ln 1H x x x x x    . 则   1' 2 1H x xx     22 1x x x       2 1 1x x x    . ∵当 1x  时,  ' 0H x  ,∴  H x 在 1, 上单调递减. ∴    1 0H x H  ,即 2ln 0( 1)x x x x    . ∴当  1,x  时, 2lnx x x  成立. 综上,当  1,x  时,有   21 lnx e x x x xe     .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16 分 (其余方法同样给分)

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