数学卷·2019届吉林省延边第二中学高二上学期综合测试（2017-12） 9页

延边第二中学2017-2018学年度第一学期 高二年级数学综合测试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1．设是实数，则是的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列说法错误的是（ ）‎ A．命题：“”，则：“”‎ B．命题“若,则”的逆否命题是假命题 C．命题“若，则方程有实数根”的否定是“若，则方程 没有实数根”‎ D.若为假命题，则为假命题 ‎4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ）‎ A. B. C.或 D.‎ ‎5．设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为（ ）‎ A.7 B.8 C.9 D.14‎ ‎6．已知数列为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为则（ ）‎ A．35 B.33 C.31 D.29‎ ‎7．已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B）5 （C） 6 （D）7‎ ‎10．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎12.已知椭圆与双曲线 ‎ 有相同的焦点,点是两曲线的一个公共点,且分别是两曲 ‎ 线的离心率,当取得最小值时，的离心率等于( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎13．设，若非是非的必要而不充分条件，则实数的取值范围为____________．‎ ‎14.已知点是抛物线的焦点，点是其上的动点，若，则点的轨迹方程是 .‎ ‎15．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为 .‎ ‎16、若椭圆和椭圆的焦点相同且．给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④．‎ 其中所有正确结论的序号是____________．‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，22题附加题20分）‎ ‎17．（本小题满分10分）△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC．‎ ‎（1）求A （2）S△ABC=，a=，求b+c.‎ 18． ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）试判断曲线的形状为何种圆锥曲线；‎ ‎（2）已知直线过点且与曲线交于，两点，若直线的倾斜角为，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列 ‎（1）求数列的通项公式：（2）设数列前n项和为，且，求证:对任意的实数和任意的正整数n，总有.‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形， ‎ ‎（1）求证：平面平面;‎ ‎（2）若是的中点, 且二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为是上一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．‎ 附加题（本小题满分20分）‎ ‎22．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；‎ ‎（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.‎ 高二年级数学（理科）试卷答案 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ DADCC CCCBC BC 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎13． 14 、. 15． 16．①③④‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，22题附加题20分）‎ ‎17．解：（1）∵2b=c+2acosC．‎ ‎∴由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，‎ ‎∴可得：sinC=2cosAsinC，‎ ‎∵C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=，A∈（0，π），‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）∵S△ABC=bcsinA=×bc×=，‎ ‎∴解得：bc=4，‎ ‎∵A=，a=，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，‎ ‎∴解得：b+c=5．‎ 18． ‎（本小题满分10分）试题解析：（1）由消去，得，则曲线为椭圆．‎ ‎（2）由直线的倾斜角为，可设直线的方程为（其中为参数），‎ 代入，得，‎ 所以，从而．‎ 考点：1、参数方程化为普通方程；2、直线参数方程的应用.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（1）由已知，对于任意 ，总有   ①成立 所以  ②………… ①-②得，     均为正数，   数列 是公差为1的等差数列………… 又 时， ，解得   ……… （2）证明： 对任意实数 是常数， 和任意正整数 ，总有   ，………   ‎ ‎ …………‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎1．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由 平面 再由平面平面平面；（2）建立空间直角坐标系,设, 再求出面的法向量、面的法向量 .设直线与平面所成角为,则.‎ 试题解析：（1）证明: 平面,平面,,.又面面平面平面平面平面.‎ ‎（2）以为原点, 建立空间直角坐标系如图所示, 则,‎ 设,则,‎ 取,则为面的法向量, 设为面的法向量, 则,即,取,则 ‎,依题意,, 则,于是.设直线与平面所成角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为.‎ 考点：1、面面垂直的判定；2、二面角；3、线面角.‎ ‎21.(本小题满分12分）试题解析：（1）因为离心率为，所以，‎ 从而的方程为：‎ 代入解得：，‎ 因此．‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）由题设知的坐标分别为，‎ 因此直线的斜率为，‎ 设直线的方程为：，‎ 由得：，‎ 当时，不妨设，‎ 于是，‎ 分别设直线的斜率为，‎ 则，‎ 则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形，‎ 只需证，‎ 而 所以直线与轴转成的三角形是等腰三角形 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题．‎ 附加题（本小题满分20分）‎ ‎22．【解析】‎ 试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为 ‎ 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动 圆与圆只能内切 ‎ ‎ 圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，‎ 故圆心的轨迹： ‎ ‎（2）设，直线，则直线 由可得：， ‎ ‎ ‎ 由可得：‎ ‎ ‎ 和的比值为一个常数，这个常数为 分 ‎（3），的面积的面积，‎ 到直线的距离 ‎ 分 令，则 ‎（当且仅当，即，亦即时取等号）‎ 当时，取最大值 ‎ 考点：圆与圆的位置关系，椭圆的定义、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，基本不等式的应用.‎