高二数学人教A版选修4-5教案：3-1二维形式的柯西不等式x 5页

‎3.1二维形式的柯西不等式 一、教学目标 ‎1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．‎ ‎2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．‎ 四、教学难点 通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 复习基本不等式。‎ ‎（二）讲授新课 教材整理　二维形式的柯西不等式 内容 等号成立的条件 代数形式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥‎ 当且仅当 时，等号成立 向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|‎ 当且仅当 ，或，等号成立 三角形式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥‎ 当且仅当时，等号成立 ‎（三）重难点精讲 题型一、二维柯西不等式的向量形式及应 例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.‎ ‎【精彩点拨】　为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．‎ ‎【自主解答】　设m＝p，q，n＝(p，q)，则 p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n|‎ ‎＝·＝.‎ 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，‎ ‎∴≤p2＋q2≤，‎ ‎∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．‎ 又p＋q>0，‎ ‎∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.‎ 规律总结：‎ 使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？‎ ‎【解】　设m＝(p，q)，n＝(1,1)，‎ 则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·.‎ 又p2＋q2＝2.‎ ‎∴p＋q≤·＝2.‎ 故仍有结论p＋q≤2成立.‎ 题型二、运用柯西不等式求最值 例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．‎ ‎【精彩点拨】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．‎ ‎【自主解答】　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.‎ ‎∴4x2＋9y2≥，‎ 当且仅当2x×1＝3y×1，‎ 即x＝，y＝时取等号．‎ ‎∴4x2＋9y2的最小值为.‎ 规律总结：‎ ‎1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．‎ ‎2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.‎ ‎【解】　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.‎ 所以x2＋y2≥，‎ 当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组∴ 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.‎ 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.‎ ‎【精彩点拨】　探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．‎ ‎【自主解答】　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥.‎ 又因为|3x＋4y|＝5，‎ 所以＝1，‎ 即x2＋y2≥1.‎ 规律总结：‎ ‎1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．‎ ‎2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.‎ ‎【证明】　根据柯西不等式，有 ‎[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]＋ ‎≥＝(a＋b)2＝4.‎ ‎∴＋≥＝2，‎ 当且仅当·＝·，‎ 即a＝b＝1时等号成立．‎ ‎∴＋≥2.‎ ‎（四）归纳小结 二维柯西不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　)‎ A. B．169 C．13 D.0‎ ‎【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，‎ ‎∴x2＋y2≥13.‎ ‎【答案】　C ‎2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)‎ A．2 B. C．6 D.12‎ ‎【解析】　(＋)2‎ ‎＝(1×＋1×)2‎ ‎≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]‎ ‎＝2×(4×1＋2)＝12，‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝b＝时等号成立．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.‎ ‎【解析】　|a|＝＝5，且 |b|＝1，‎ ‎∴a·b＝|a|·|b|，‎ 因此，b与a共线，且方向相同，‎ ‎∴b＝.‎ ‎【答案】　 六、板书设计 ‎3.1二维形式的柯西不等式 教材整理　二维形式的柯西不等式 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：3.1二维形式的柯西不等式 八、教学反思