2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的性质可得： ，解得且，故的定义域为： ，故选D.‎ ‎2．设集合，若，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D.‎ ‎3．若，，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：函数是减函数，所以有，故选B.‎ ‎【考点】对数函数的性质.‎ ‎4．若函数对于一切实数都有，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得二次函数的对称轴为直线x=2,所以当a>0时，，当a<0时，，故选择A.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以二次函数的对称轴为直线x=2,‎ 所以当a>0时，，‎ 当a<0时，，故选择A.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎5．设，则是的( )‎ A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，，故是的充分不必要条件.‎ ‎【考点】对数不等式；指数不等式；充要条件.‎ ‎6．下列说法正确的是（ ）‎ A． 命题“”的否定是“”‎ B． “在上恒成立”“在上恒成立”‎ C． 命题“已知，若，则或”是真命题 D． 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用命题的否定判断A的正误；恒成立问题判断B的正误；直接判断逆否命题的真假推出C的正误；逆命题的真假判断D的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于A，命题“∀x∈R．ex＞0”的否定是“∃x∈R，ex＞0”，不满足命题的否定形式，所以A 不正确；‎ 对于B，“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“对于x∈[1，2]有,所以B不正确；‎ 对于C，命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题，它的逆否命题是：x=2且y=1则x+y=3，显然，逆否命题是真命题，所以C正确．‎ 对于D，命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是假命题，因为a=0时，也只有一个零点，所以D不正确.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查全称命题的否定，考查不等式的恒成立问题，考查逆否命题和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.‎ ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：函数为奇函数，不选A,C；当时为单调增函数，选B.‎ ‎【考点】函数图像与性质 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ ‎8．已知，则的值为（ ）‎ A． B． 4 C． 1 D． 4或1‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ，由，得， ， ， 或， 不合题意舍去， ，故选B.‎ ‎9．已知函数，若有，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ， ，故选C.‎ ‎10．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时，是上的单调减函数，，，，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.‎ 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.‎ ‎11．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则　　‎ A． B． C． D． 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算前几项，利用归纳推理，可得的函数值以为周期，利用周期计算可得其和.‎ ‎【详解】‎ 定义域为的奇函数，可得，‎ 当时，满足，‎ 可得时，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理、函数的奇偶性、周期性的应用，属于难题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎12．设， 分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由分别是函数和的零点， ‎ ‎ 所以，即，因为，所以，则，‎ 所以，即，所以，且 ‎ 所以，则，‎ 即的取值范围是，故选D.‎ 二、填空题 ‎13．若函数，且的图像恒过点P，则点P为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x-1=0,得x=1,再把x=1代入函数解析式即得定点P的坐标.‎ ‎【详解】‎ 令x-1=0,得x=1,再把x=1代入得 y=1-2=-1,所以图像恒过定点（1，-1）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查指数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)指数函数的图像过定点（0,1）.‎ ‎14．函数对于任意实数满足条件若则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 由 ,得 ， ，‎ 又由 ，得，所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题的关键是发现已知条件 可求出 ，用不同的角度看该条件又可求出 ，最终可求出.‎ ‎15．已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由基本不等式得到xy的最大值，再化简log2x＋log2y得到它的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为x＋2y＝4，‎ 所以xy的最大值为2，‎ 所以log2x＋log2y，‎ 所以log2x＋log2y的最大值为1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查基本不等式和对数的运算，考查对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.‎ ‎16．已知实数满足等式，给出下列五个关系式：‎ ‎①；②；③；④；⑤．其中可能关系式是_______．‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】‎ 设，则；当时，在上为减函数，则；当时，在上为增函数，则；当时，则；故选②④⑤．‎ ‎【考点】幂函数的单调性．‎ 三、解答题 ‎17．在极坐标系中，已知点，，曲线C的极坐标方程为 Ⅰ求直线AB的直角坐标方程；‎ Ⅱ求曲线C的直角坐标方程．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ先把点A,B的坐标化成直角坐标，再求出直线AB的斜率，再利用直线的斜截式方程写出直线AB的直角坐标方程.Ⅱ直接代极坐标公式得到曲线C的直角坐标方程.‎ ‎【详解】‎ Ⅰ因为点，，‎ 所以直角坐标为，，‎ 所以 ‎ 直线AB的直角坐标方程为；‎ Ⅱ由题得 所以曲线C的直角坐标方程为 .‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查直线的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到： （求点的直角坐标的公式），（求点的极坐标的公式）.‎ ‎18．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在表中，如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润，最大利润是多少？ ‎ ‎【答案】当托运甲4箱，乙1箱时利润最大，最大利润为9000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，列出约束条件和目标函数，再利用线性规划数形结合分析得解.‎ ‎【详解】‎ 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则 ‎ - ‎ 目标函数， ‎ 画出可行域如图．‎ 由得．- ‎ 易知当直线平移经过点时，z取得最大值且百元即9000元 ‎ 答：当托运甲4箱，乙1箱时利润最大，最大利润为9000元．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 线性规划问题解题步骤如下：①根据题意，设出变量；②列出线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平行直线系；⑥观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.‎ ‎19．已知命题关于的方程有两个不相等的负实数根，命题关于的不等式的解集为，若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：利用真值表判断、的真假性，分别解、为真时的解集，为假时取为真时的补集。‎ 详解：或为真，且为假，由这句话可知、命题为一真一假． ‎ ‎①当真假时， ，得 ‎ ‎②当假真时，，得 ‎ 综上所述 的范围是 点睛：利用真值表判断、的真假性，再解、为真时的解集，不要受题目的干扰，为假时取为真时的补集。‎ ‎20．选修4-4：坐标系与参数方程 已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）：，C：．（Ⅱ）或1．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数可得，由，得，可得的直角坐标方程；（Ⅱ）把（为参数），代入，根据参数的几何意义，结合韦达定理得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），消去参数可得.‎ 由，得，可得的直角坐标方程：.‎ ‎（Ⅱ）把（为参数），代入，得.‎ 由，解得，，，，‎ 解得或1.又满足，实数或1.‎ ‎【考点】参数方程与普通方程的互化；极坐标方程化为直角坐标；‎ ‎21．某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量（件）与单价（元）之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元.‎ ‎（1）根据周销售量图写出（件）与单价（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）写出利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润.‎ ‎【答案】（1）， （2）当该商品的销售价格为元时，周利润最大为元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在这两个区间上，函数图像都是线段，故利用斜截式，列方程组，可求得其函数表达式；（2）利润是销售量乘以每件的利润，再减去固定成本，结合（1）求得的表达式，可求得关于的关系式，并利用二次函数配方法可求得最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）①设当时， ，代入点，‎ 得，‎ ‎②设当时， ，代入点， ‎ 得， ‎ 故周销量（件）与单价（元）之间的函数关系式 为 ‎ ‎（2），‎ ‎①当时， ，所以时， ；‎ ‎②当时， ，‎ 可知在单调递减，所以， ‎ 由①②可知，当时， ，‎ 故当该商品的销售价格为元时，周利润最大为元. ‎ 点睛：本题主要考查函数实际应用问题.本题分成两个步骤，第一个步骤是先根据题目所给函数的图像，求出销售量的表达式，这个过程中由于函数图像分成两个线段，故采用设出线段所在直线的斜截式方程，代入点的坐标即可求得函数的解析式.第二问要算利润，即是销售利润减去固定成本，写出利润表达式后利用配方法求最值.‎ ‎22．设是定义在上的奇函数，且对任意的，‎ 当时，都有．‎ ‎(1)若，试比较与的大小；‎ ‎(2)解不等式；‎ ‎(3)如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ；2；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用函数单调性的定义证明函数f(x)在在上是增函数，再利用单调性得到与的大小.(2)利用函数的单调性得到不等式组，解不等式组得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，由奇函数的定义和题设条件，得 ‎ ‎ 在上是增函数。‎ 又，，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）∵在上是增函数，不等式等价于 ‎ 解得 ‎∴原不等式的解集是 .‎ ‎（3）设函数g(x),h(x)的定义域分别是P和Q，‎ 则，‎ ‎．‎ 于是等价于或．‎ 解得c范围是.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)‎ 本题主要考查函数单调性的证明和单调性的运用，考查函数的定义域的求法和集合的运算的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.‎