2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章　1 第1讲　函数及其表示 17页

知识点 最新考纲 函数及其表示 ‎ 了解函数、映射的概念．‎ ‎ 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．‎ ‎ 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.‎ 函数的基本性质 ‎ 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．‎ ‎ 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.‎ 指数函数 ‎ 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．‎ ‎ 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.‎ 对数函数 ‎ 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．‎ ‎ 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.‎ 幂函数 ‎ 了解幂函数的概念．‎ ‎ 掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.‎ 函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.‎ 函数模型及其应用 ‎ 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．‎ ‎ 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.‎ 第1讲　函数及其表示 ‎1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A、B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A)‎ 对应f：A→B是一个映射 ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．‎ ‎(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．‎ ‎(4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．‎ ‎3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)‎ ‎(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)‎ ‎(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)‎ A．y＝()2　　　　 B．y＝＋1‎ C．y＝＋1 D．y＝＋1‎ 解析：选B.对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同 ‎，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.‎ ‎2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．‎ 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]‎ ‎3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝·的定义域是________．‎ 解析：⇒x≥2.‎ 答案：[2，＋∞)‎ ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)对函数概念理解不透彻；‎ ‎(2)换元法求解析式，反解忽视范围．‎ ‎1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)‎ ‎①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.‎ 解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．‎ 答案：③‎ ‎2．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．‎ 解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．‎ 答案：x2－1(x≥0)‎ ‎　　　　　　函数的定义域 ‎　(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝的定义域为________．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．‎ ‎(3)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．‎ ‎【解析】　(1)要使函数f(x)有意义，必须使 解得x<－.‎ 所以函数f(x)的定义域为.‎ ‎(2)由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．‎ ‎(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.‎ ‎【答案】　(1)　(2)[0，1)　(3)[－1，0]‎ ‎ (变条件)若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？‎ 解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，‎ 得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，‎ 令得≤x≤且x≠1.‎ 所以g(x)的定义域为∪.‎ 函数定义域的求解策略 ‎(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．‎ ‎(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．‎ ‎(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．‎ ‎[提醒]　(1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；‎ ‎(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．　 ‎ ‎1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝＋lg(－3x2＋5x＋2)的定义域是(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. 解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有 ，解得－0得x<1，‎ 所以B＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x≤1}．‎ 故选C.‎ ‎3．若函数f(x)＝的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．‎ 当m＝0时，1≥0恒成立；‎ 当m≠0时，则 解得00}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.‎ ‎4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)‎ A．3 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 解析：选B.因为函数f(x)＝x3＋cos＋1，‎ 所以f(x)＝x3＋sin x＋1，‎ 因为f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，‎ 所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.‎ ‎5．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D.由已知可得M＝N，‎ 故⇒ 所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.‎ ‎6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)‎ A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|‎ 解析：选D.取特殊值法．‎ 取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项A错误；‎ 取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项B错误；‎ 取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项C错误；‎ 取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．‎ ‎7．已知f＝，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝－ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 解析：选C.令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.‎ ‎8．设函数f(x)＝ 则(a≠b)的值为(　　)‎ A．a B．b C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数 解析：选C.若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，‎ 则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；‎ 若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，‎ 则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C.‎ ‎9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.‎ ‎10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)‎ A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)‎ C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)‎ 解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.‎ ‎11.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，‎ 则此函数的解析式为________．　‎ 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ ‎12．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．‎ 解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①‎ 令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②‎ 联立①②得f(1)＝2.‎ 答案：2‎ ‎13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ g(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．‎ 解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.‎ 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．‎ 当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 答案：1　2‎ ‎14．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．‎ 解析：f(x)≥1等价于或 由得x≤－2或0≤x＜1.‎ 由得1≤x≤10.‎ 综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.‎ 答案：(－∞，－2]∪[0，10]‎ ‎15．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ 解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋‎ a)－2a＝－1－3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.‎ 不合题意，舍去．‎ 当a<0时，1－a>1，1＋a<1，‎ 此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，‎ f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.‎ 综上可知，a的值为－.‎ 答案：－ ‎16．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．‎ 解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4，‎ 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－；‎ 因为当x≤1时，f(x)＝x2，‎ 由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；‎ 当x>1时，f(x)＝x＋－6，‎ 由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6‎ ‎＝2－6，‎ 当且仅当x＝即x＝时取到等号，即此时函数取最小值2－6；‎ 因为2－6<0，所以f(x)的最小值为2－6.‎ 答案：－　2－6‎ ‎17．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)‎ A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|‎ C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.‎ ‎2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．‎ 解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．‎ 答案：①④‎ ‎3．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)画出f(x)的图象．‎ 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，‎ 所以f(x)＝ ‎(2)f(x)的图象如图：‎ ‎4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ ‎(1)求f(g(2))与g(f(2))；‎ ‎(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．‎ 解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.‎ ‎(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；‎ 当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.‎ 所以f(g(x))＝ 同理可得g(f(x))＝ ‎5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积 y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．‎ 解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，‎ 即0