数学卷·2018届山东省枣庄八中北校高二上学期10月月考数学试卷（解析版） 12页

‎2016-2017学年山东省枣庄八中北校高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，已知a=，b=1，A=130°，则此三角形解的情况为（　　）‎ A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 ‎2．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎5．已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎7．已知数列{an}满足a1=0，an+1=（n∈N*），则a20=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎8．已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（　　）‎ A．1＜a＜5 B．1＜a＜7 C． D．‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎11．已知在△ABC中中， ==，则C的度数为　　．‎ ‎12．设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9=　　．‎ ‎13．△ABC中，BC=8，AC=5，S△ABC=12，则cos2C=　　．‎ ‎14．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是　　．‎ ‎15．在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；‎ ‎②△ABC一定是钝角三角形；‎ ‎③sinA：sinB：sinC=7：5：3；‎ ‎④若b+c=8，则△ABC的面积是．‎ 其中正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．‎ ‎（Ⅰ） 若∥，求证：△ABC为等腰三角形；‎ ‎（Ⅱ） 已知c=2，C=，若⊥，求△ABC的面积S．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=1（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=3+log4an，设Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn．‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．‎ ‎（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎21．设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省枣庄八中北校高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，已知a=，b=1，A=130°，则此三角形解的情况为（　　）‎ A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a=＞b=1，A=130°为钝角，即可判断出解的情况．‎ ‎【解答】解：∵a=＞b=1，A=130°为钝角，‎ ‎∴此三角形只有唯一解．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．‎ ‎【解答】解：S=BC•AC•sinC=×4×3×sinC=3‎ ‎∴sinC=‎ ‎∵三角形为锐角三角形 ‎∴C=60°‎ 故选B ‎　‎ ‎3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，‎ 即2，8，S6﹣10成等差数列，‎ ‎∴2+S6﹣10=8×2，‎ ‎∴S6=24，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，‎ ‎∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，‎ 又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，‎ ‎∴2ab﹣4=﹣ab，‎ ‎∴ab=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】等差数列．‎ ‎【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．‎ ‎【解答】解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，‎ ‎∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；‎ ‎∴a1+4d=6；‎ ‎∴a5=a1+4d=6．‎ 解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，‎ ‎∴2a5=12，‎ ‎∴a5=6，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}满足a1=0，an+1=（n∈N*），则a20=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】经过不完全归纳，得出，…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．‎ ‎【解答】解；由题意知：‎ ‎∵‎ ‎∴…‎ ‎ 故此数列的周期为3．‎ ‎ 所以a20=．‎ ‎ 故选B ‎　‎ ‎8．已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（　　）‎ A．1＜a＜5 B．1＜a＜7 C． D．‎ ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】分两种情况来考虑，当a为最大边时，只要保证a所对的角为锐角就可以了；当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了．‎ ‎【解答】解：分两种情况来考虑：‎ 当a为最大边时，设a所对的角为α，由α锐角，‎ 根据余弦定理可得：cosα=＞0，‎ 可知只要32+42﹣a2＞0即可，可解得：0＜a＜5；‎ 当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，‎ 则有32+a2﹣42＞0，可解得：a＞，‎ 所以综上可知x的取值范围为．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，‎ 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．‎ 所以sinB==．‎ 所以sinC=sin2B=2×=，‎ cosC==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得==，裂项可求和 ‎【解答】解：设等差数列的公差为d 由题意可得，‎ 解方程可得，d=1，a1=1‎ 由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n ‎∴==‎ ‎=1﹣=‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎11．已知在△ABC中中， ==，则C的度数为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．‎ ‎【解答】解：∵==，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ ‎∴b=，c=，‎ 由余弦定理可得cosC===﹣．‎ ‎∴由C∈（0，π），可解得：C=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9=　24　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴a5=8‎ 又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24‎ 故答案是24‎ ‎　‎ ‎13．△ABC中，BC=8，AC=5，S△ABC=12，则cos2C=　﹣　．‎ ‎【考点】正弦定理；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把BC，AC及面积为12代入，求出cosC的值，然后把所求式子利用二倍角的余弦函数公式变形后，把cosC的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵BC=8，AC=5，S△ABC=12，‎ ‎∴S△ABC=BC•AC•cosC=20cosC=12，‎ 解得：cosC=，‎ 则cos2C=2cos2C﹣1=2×（）2﹣1=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；正弦定理．‎ ‎【分析】设出3个角表示出正弦值，再由正弦值成等比数列和同角三角函数的基本关系可求出答案．‎ ‎【解答】解：设直角是C，最小角是A，另一个角是B．‎ ‎∴sinC=1，设sinB=q，则sinA=q2‎ ‎∵A+B=90°，则sinA2+sinB2=1，即q4+q2=1，‎ 解之可得sinA=q2=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；‎ ‎②△ABC一定是钝角三角形；‎ ‎③sinA：sinB：sinC=7：5：3；‎ ‎④若b+c=8，则△ABC的面积是．‎ 其中正确结论的序号是　②③　．‎ ‎【考点】正弦定理；命题的真假判断与应用；余弦定理．‎ ‎【分析】由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分别求出a、b、c的值，即可求出它们的比值，结合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，根据面积公式即可求出三角形ABC的面积，再与题目进行比较即可．‎ ‎【解答】解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），‎ 则a=k，b=k，c=k，‎ ‎∴a：b：c=7：5：3，‎ ‎∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；‎ 同时由于△ABC边长不确定，故①错；‎ 又cosA=‎ ‎=﹣＜0，‎ ‎∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；‎ 若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，‎ 又A=120°，∴S△ABC=bcsinA=，故④错．‎ 故答案：②③‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；‎ ‎（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．‎ 由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，‎ 即b2=32+12﹣2×3×cosB，‎ 可得b=．‎ ‎（Ⅱ）由，可得sinB=，‎ 所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，‎ sin2B=2sinBcosB=，‎ 所以===．‎ ‎　‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．‎ ‎（Ⅰ） 若∥，求证：△ABC为等腰三角形；‎ ‎（Ⅱ） 已知c=2，C=，若⊥，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）给出两向量平行，再利用正弦定理，就可得到两边相等，即可得到是等腰三角形；‎ ‎（Ⅱ）由⊥，可得x1x2+y1y2=0，再利用余弦定理可求ab的值，结合C的值，即可求出△ABC的面积S．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：∵∥，向量=（a，b），=（sinB，sinA），‎ ‎∴asinA=bsinB，…3分 由正弦定理可得：a2=b2，即a=b，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形…5分 ‎（Ⅱ）∵⊥，‎ ‎∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0，可得：a+b=ab①，…7分 又∵c=2，C=，‎ ‎∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：a2+b2﹣ab=4，…9分 ‎∴（a+b）2﹣3ab=4，把①代入可得：（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得：ab=4，或﹣1．（舍去），‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC=．…12分 ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=1（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=3+log4an，设Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由an+Sn=1，得an+1+Sn+1=1，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）确定数列{bn}的通项，可得其正数项，再分类求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由an+Sn=1，得an+1+Sn+1=1，‎ 两式相减，得an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0．‎ ‎∴2an+1=an，即an+1=an．‎ 又n=1时，a1+S1=1，∴a1=．又=，‎ ‎∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴an=a1qn﹣1=•（）n﹣1=（）n．‎ ‎（2）bn=3+log4（）n=3﹣=．‎ 当n≤6时，bn≥0，Tn=b1+b2+…+bn=；‎ 当n＞6时，bn＜0，‎ Tn=b1+b2+…+b6﹣（b7+b8+…+bn）‎ ‎=﹣[（n﹣6）（﹣）+•（﹣）]‎ ‎=．‎ 综上，Tn=．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．‎ ‎（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】等比关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；‎ ‎（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．‎ ‎【解答】解：（1）证b1=a2﹣a1=1，‎ 当n≥2时，‎ 所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）解由（1）知，‎ 当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+‎ ‎==1+ [1﹣（﹣）n﹣1]=，‎ 当n=1时，．‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由a=2csinA及正弦定理得sinA=2sinCsinA，又sinA≠0，可sinC=．又△ABC是锐角三角形，即可求C．‎ ‎（2）由面积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a2+b2﹣ab=7，联立方程即可解得a+b的值的值．‎ ‎【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得sinA=2sinCsinA，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴sinC=．‎ 又∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴C=．‎ ‎（2）∵c=，C=，‎ ‎∴由面积公式，得absin=，即ab=6．①‎ 由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，‎ 即a2+b2﹣ab=7．②‎ 由②变形得（a+b）2=3ab+7．③‎ 将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．‎ ‎　‎ ‎21．设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由bn=nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1‎ ‎=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．‎ 而a1=2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由bn=nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①‎ 从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1②‎ ‎①﹣②得（1﹣22）•Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．‎ 即．‎