安徽省阜阳一中2013届高三上学期第二次模拟数学（文）试题 8页

安徽省阜阳市第一中学 2013 届高三上学期第二次模拟考试 数学（文）试题 一、单选题（每小题 5 分，共 50 分） 1.已知集合  )3(log2  xyxP ，  2 xyyQ ，则下列选项正确的是（ ） A. QP  B. QP  C. P Q D. Q P 2.已知 )(xf 的图像在 ba, 上连续，则“ 0)()(  bfaf ”是“ )(xf 在  ba, 内有零点” 的（ ）条件。 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3. 下列函数中周期为 且在     2,4  上为减函数的是（ ） A. )22sin(  xy B. )22cos(  xy C. )2sin(  xy D. )2cos(  xy 4.设 )(xf 为定义 R 上在的奇函数，当 0x 时， bxxf x  22)( （b 为常数），则  )1(f （ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 5.若非零向量 a ， b 满足 ba  ，且 0)2(  bba ，则向量 a ，b 的夹角为（ ） A.  3 2 B. 6  C. 3  D.  6 5 6. 等差数列 na 中，已知 1203 1581  aaa ，则  1092 aa （ ） A. 8 B. 24 C. 22 D. 20 7.已知 m ，n 是两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若 m ∥ n ， m  ，则 n ∥ ； B.若 m ∥ n ， m  ， n  ，则 ∥  ； C.若 ⊥ ， ⊥  ，则  ∥ ； D. 若 m ∥ n ， m ⊥ ， n ⊥  ，则 ∥  . 8.直线 023cos  yx  的倾斜角的取值范围是（ ） A.     6,0  B.     ,6 5 C.     2,6  D.          ,6 5 6,0  9.已知定义在 R 上的函数 )(xf 满足 1)1( f ，且 )(xf 的导函数 )(' xf 在上 R 恒有 2 1)(' xf ，则不等式 2 1 2)(  xxf 的解集为（ ） A.  ,1 B.  1, C.  1,1 D.     ,11,  10.若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件：①P 和 Q 都在函数 )(xfy  的图像上；② P 和 Q 关于原点对称,则称点对 QP, 是函数 )(xfy  的一对“友好点对”（  QP, 与 PQ, 看作同一对“友好点对”）。已知函数       0,4 0,log )( 2 2 xxx xx xf ，则此函数的“友好点对” 有（ ） A. 0 对 B. 1 对 C.2 对 D. 3 对 二．填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11. 已知 i 是虚数单位， a 为实数,且复数 i iaz   1 2 在复平面内对应的点在虚轴上，则 a =_______. 12. 空间直角坐标系中，已知点 ），，（ 13-2P ，P 点关于 xoy 平面的对称点为 P ，则 PP =_________ 13.设 yx, 满足       22 1 42 yx yx yx ，则 yxz  的最小值为_________ 14. 已知数列 na 满足 311 a ， naa nn 21  ， , Nn 则 n an 的最小值是_________. 15.下列命题中正确命题的序号是：___________ ①两条直线 a ，b 和两条异面直线 m ， n 相交，则直线 a ，b 一定异面； ② R , ，使  coscos)cos(  ； ③ ,0x 都有 01lnln 36  xx ； ④ Rm  ，使 342 )1()(  mmxmxf 是幂函数，且在  ,0 上递减； ⑤ ,R 函数 )2sin(  xy 都不是偶函数。 三．解答题（共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知函数 bxaxxf  )1()( 2 ， （1）若 0)( xf 的解集是  2,5 ，求 a ，b 的值； （2）若 a = b ，解关于 x 的不等式 0)( xf . 17．如图，四棱锥 ABCDP  中, PD ⊥平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 为矩形，E 为 PC 中点， （1）求证： AD ⊥ PC ; （2）在线段 AC 上是否存在一点 M ，使得 PA ∥平面 EDM ，若存在，指出 M 的位置； 若不存在，说明理由。 D B C A E P 18.如图，一艘轮船在 A 处正沿直线返回港口 B，接到气象台的台风预报，台风中心 O 位于 轮船正西 40km 处，受影响的范围是半径为 20km 的圆形区域。已知港口 B 位于台风中心正 北 30km 处。 （1）建立适当的坐标系，写出直线 AB 的方程; (2)如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？(不考虑台风中心的移动) . . . A B O 东西 北 南 19. A，B,C 是△ABC 的内角，a ，b , c 分别是其对边，已知 )3,sin2(  Bm ， Bn 2(cos )12cos2, 2 B ,且 m ∥ n ，B 为锐角， （1）求 B 的大小；（2）如果 3b ，求△ABC 的面积的最大值。 20.已知函数 xxxf 2 3 2 1)( 2  ，数列 na 的前 n 项和为 nS ，点  nSn, ，（  Nn ）都在 函数 )(xfy  的图像上， （1）求 na 的通项公式； （2）令 12  n n n ab ，求 nb 的前 n 项和 nT ； （3）令 n n n n n a a a ac 1 1    ，证明： 2 12......2 21  ncccn n ，  Nn 。 21.已知 Ra  ,函数 xaxxf ln)(  ， x xxg ln)(  ，  ex ，0 ，(其中 e 是自然对数的 底数，为常数), (1)当 1a 时，求 )(xf 的单调区间与极值； （2）在（1）的条件下，求证： 2 1)()(  xgxf ； （3）是否存在实数 a ，使得 )(xf 的最小值为 3. 若存在，求出 a 的值，若不存在，说明理 由。 阜阳一中高三第二次月考数学答案（文科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，每小题只有一个正确答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 B A B A C B C C B B 二、填空题：(共 5 小题，每小题 5 分) 11 3 12. 32 13. 2 14. ),( 2 1  15. ),1[  三、解答题： 16 、 （ 12 分 ） (1) 1)2sin(2cos2cossin2)( 4 2  xxxxxf 的 增 区 间 是 ],[ 88 3   kk ZK  （2） )cos,cossin2( xxxba  )1,2(c cba //)(  xxx cos2cossin2  2 1tan  x 由于 x 为第二象限角 所以 5 5sin x 5 52cos x 6 55cos3)cossin2(2)(  xxxcba 17、（12 分）函数 )(xf 为奇函数，且在 ]1,1[ 上为增函数， 1)1( f 1)1(  f )(0)0( xff  在 ]1,1[ 上的最大值为 )1(f .若 12)( 2  attxf 021)1(12 2 max 2  attfatt . 令 22 )2(2)( tatattx  看成一条直线 ]1,1[a 上恒成立， 0)1(  且 0)1(  2t 或 t=0 或 2t 故 t 的范围 ),2[}0{]2,  （ 18、（12 分）（1）连 1BC 在 11BCA 中,M、N 分别为线段 111 CABA 、 的中点 1// BCMN 1BC 平面 11CCBB 故 MN//平面 11BBCC (2)  111 CBAABC 为 直 三 棱 柱 ， ABCBB 面 1 BABABCAABCCCBB 11111 面又面面面  方法一： 取 1ABA 面上一点 P 作 ABPR  BAPQ 1 . 11 AABBPR 面 又 平面 BCA1  面 11ABBA 且交线为 AB BCPRABCPR  面 同理 BCPQ  BC  平面 BBAA 11 方法二：过 C 作 BACS 1 BBAAABCABCT 11面面   ABBBAAABC  11面面 BBAACT 11面 同理 BBAACS 11面 CTCS // CS 与 CT 重合为 CBBC  平面 BBAA 11 方法三：在面 ABC 内，作 ABa  ,在面 BAbBCA 11 中作 BBAAABC 11面面  ABBBAAABC  11面面 BBAAa 11面 同理 BBAAb 11面 ba // ABCbABCa 面面 // BCAb 1面 BCBCAABC 1面面  BBAAbBCb 11// 面 BC  平面 BBAA 11 19、（12 分）证法一 22222 )()(22 babaabba  2 22 )(22 baba   4 252 2 52 2 21 2 )2()1( )()( 22   baba 4 25 2 21   ba  3ba 2 25 2 19 ba 证法二：令 xa 1 yb  2 21 xa  22 yb  ),( yxP 满足 0x 的区域， 0y 5 yx 目标函数 Z= 322  yxba ，由线性规划可求 22 yx  的最小值为 2 25 2 19 2 25 3 Z 20、（13 分）（1） 1 ' 2)(   x axxxg 令 02  axx 041  a 0)(' xg 两根为 2121 xxxx 且与 2 411 1 ax  2 411 2 ax  0,10 21  xxa 时 递减上递增，在（，在（时当 ),)1-)(0 22  xxxga （2）原命题等价于证明 n n n 21 3 1 2 1 1 1 )1ln()ln(11ln()1ln(  ） 方法一用数学归纳法证明 方法二由（1）知 2 12 2 1 2ln2)1ln(2  xx )2(ln)1ln( 4 12 4 1  xx 令 nx 1 得 4 11 4 11 2ln)1ln( 2  nn nn )2(ln)1)1ln()ln(11ln()1ln( 4 1 n 1 4 1 3 1 2 1 4 11 3 1 2 1 1 1 2222  （） n)2(ln)1 4 1 n1-n 1 43 1 32 1 21 1 4 1   ）（（ nnn )2(ln)2ln2( 4 1 2 1 4 11 4 1  （） 只需证 2 1 4 12ln  即可，即 4 32ln  44 4 16ln2ln2ln  44 34 3 4 3 68.19ln7.2lnlnln 4 3  ee 4 32ln  2 2 2 1 4 1 2 1 )2(ln   nnn  n n n 21 3 1 2 1 1 1 )1ln()ln(11ln()1ln(  ）  2 2 )1)....(1)(1)(1 n 1 3 1 2 1 1 1   n e（ 21、（14 分）（1）证明： ccaa nn  11 )1(11  nn aca 等比数列时， 1}-{1 naa  。 111  aa 1 1 )1(    n n caa 1)1( 1  n n caa （2）由（1）的 1(1)( 2 11 2 1 2 1   nn na ） n n nb )(2 1 由错位相减法得 n n nS 2 22  （3） 1)4( 54  nnC nn n n n nn n nd 16 25 )16( 1625 416316( 1625 )416)(116( 1625 2n2       ） 3 5 16 1 3 5 1 ))(1(25 16 1 16 1 16 1 16 1 21n )1()(25 16 1 16 1 16 1 32    n n nndddT