数学卷·2018届山西省晋城市陵川一中高二上学期期中数学试卷 （解析版） 18页

‎2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．一个红色的棱长是3cm的正方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则三面涂色的小正方体有（　　）‎ A．6个 B．8个 C．16个 D．27个 ‎2．过两点A（2，1）和B（3，m）直线的斜率为1，则实数m的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．两两相交的三条直线可确定一个平面 B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 ‎4．直线y=2x﹣2被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=25所截得的弦长为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎5．一平面过半径为R的球O的半径OA的中点，且垂直于该半径OA，则该平面截球的截面面积为（　　）‎ A． B． C．πR2 D．‎ ‎6．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则线段D1E的长度为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．若E，F，G分别为正三角形ABC的边AB，BC，CA的中点，以△EFG为底面，把△AEG，△BEF，△CFG折起使A，B，C重合为一点P，则下列关于线段PE与FG的论述不正确的为（　　）‎ A．垂直 B．长度相等 C．异面 D．夹角为60°‎ ‎8．圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上点到直线4x﹣3y﹣2=0的最小距离为1，则r=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，则该四棱锥的外接球的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．点A（1，2，2）关于原点O的对称点A'，则AA'的距离为　　．‎ ‎12．圆x2+y2=m2（m＞0）内切于圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0，则m=　　．‎ ‎13．直线l1：x+（1﹣a）y﹣3=0与l2：（a﹣1）x+ay+3=0互相垂直，则实数a=　　．‎ ‎14．直线（m2+1）x﹣2my=1的倾斜角的取值范围为　　．‎ ‎15．给定下列四个命题：‎ ‎①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；‎ ‎②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；‎ ‎③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；‎ ‎④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥．‎ 其中正确的命题为　　．（只填正确命题的序号）‎ ‎16．直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为　　．‎ ‎17．已知圆C的面积被直线y=x平分，且圆C过点（2，0），则该圆面积最小时的圆方程为　　．‎ ‎18．直线l过坐标原点和点（﹣1，2）关于直线y=x﹣1的对称点，则直线l的方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．如图，某粮仓是由圆柱和圆锥构成（粮仓的底部位于地面上），圆柱的底面直径与高都等于h米，圆锥的高为h米．‎ ‎（1）求这个粮仓的容积；‎ ‎（2）求制作这样一个粮仓的用料面积．‎ ‎20．已知E（2，0），F（2，2）分别为正方形ABCD的边AB与CD的中点．‎ ‎（1）求正方形ABCD外接圆的方程；‎ ‎（2）求对角线AC与BD所在直线的方程．‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（2）若PA=AB=2，求三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD交于点O，E为线段PC上的点，且AC⊥BE．‎ ‎（1）求证：AC⊥DE；‎ ‎（2）若BC∥AD，PA=6，BC=，AB=CD，求异面直线DE与PA所成的角．‎ ‎23．已知圆B：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，过原点O作两条不同的直线l1，l2与圆B都相交．‎ ‎（1）从B分别作l1，l2的垂线，垂足分别为A，C，若，，求直线AC的方程；‎ ‎（2）若l1⊥l2，且l1，l2与圆B分别相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省晋城市陵川一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．一个红色的棱长是3cm的正方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则三面涂色的小正方体有（　　）‎ A．6个 B．8个 C．16个 D．27个 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】一个红色的棱长是3cm的正方体，纵向平均切三次，横向平均切三次，侧向平均切三次，能得到27个小正方体，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：一个红色的棱长是3cm的正方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，‎ 纵向平均切三次，横向平均切三次，侧向平均切三次，‎ 一共能得到27个这样的小正方体，‎ 在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，即8个顶点位置．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．过两点A（2，1）和B（3，m）直线的斜率为1，则实数m的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】利用直线的斜率公式可得=1，解方程求得m的值．‎ ‎【解答】解：由于过点A（2，1）和B（3，m）直线的斜率为1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴m=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．两两相交的三条直线可确定一个平面 B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．‎ ‎【解答】解：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；‎ 对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；‎ 对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；‎ 对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．直线y=2x﹣2被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=25所截得的弦长为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用圆心（2，2）在直线y=2x﹣2上，求出弦长．‎ ‎【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=25，得到圆心坐标为（2，2），半径r=5，‎ ‎∴圆心（2，2）在直线y=2x﹣2上，‎ 则直线被圆截得的弦长为10．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．一平面过半径为R的球O的半径OA的中点，且垂直于该半径OA，则该平面截球的截面面积为（　　）‎ A． B． C．πR2 D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设出圆M的半径，球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求截面面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，截面半径为R 由图可知，R2=R2+r2，∴r2=R2．‎ ‎∴S=πr2=πR2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则线段D1E的长度为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由题意，D1E⊥C1E，D1C1=2，C1E==，利用勾股定理可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，D1E⊥C1E，D1C1=2，C1E==，‎ ‎∴D1E==3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．若E，F，G分别为正三角形ABC的边AB，BC，CA的中点，以△EFG为底面，把△AEG，△BEF，△CFG折起使A，B，C重合为一点P，则下列关于线段PE与FG的论述不正确的为（　　）‎ A．垂直 B．长度相等 C．异面 D．夹角为60°‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】由题意三棱锥P﹣EFG为正四棱锥，则线段PE与FG长度相等且异面垂直，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意三棱锥P﹣EFG为正四棱锥，则线段PE与FG长度相等且异面垂直，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上点到直线4x﹣3y﹣2=0的最小距离为1，则r=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得，圆心（3，﹣5）到直线的距离等于r+1，利用点到直线的距离公式求得r的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，圆心（3，﹣5）到直线的距离等于r+1，‎ 即=r+1，求得 r=4，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，则该四棱锥的外接球的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．利用勾股定理即可得出．‎ ‎【解答】解：把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．‎ ‎∴（2R）2=22+22+22=12，‎ ‎∴R=．‎ 故选：A ‎　‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得几何体是一个棱长为2的正方体，切去一个四棱锥所得的组合体，画出其直观图，数形结合，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个棱长为2的正方体，切去一个四棱锥所得的组合体，‎ 其直观图如下图所示：‎ 故体积V=2×2×2﹣×2×2×2=，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．点A（1，2，2）关于原点O的对称点A'，则AA'的距离为　6　．‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】由题意，|AO|==3，利用点A（1，2，2）关于原点O的对称点A'，求出AA'的距离．‎ ‎【解答】解：由题意，|AO|==3，‎ ‎∵点A（1，2，2）关于原点O的对称点A'，‎ ‎∴AA'的距离为6．‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎12．圆x2+y2=m2（m＞0）内切于圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0，则m=　1　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差，求得m的值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0 即 （x+3）2+（y﹣4）2=36，表示以（﹣3，4）为圆心，半径等于6的圆．‎ 再根据圆x2+y2=m2（m＞0）内切于圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0，两圆的圆心距等于半径之差，‎ 可得=6﹣m，‎ 解得m=1，‎ 故答案为1‎ ‎　‎ ‎13．直线l1：x+（1﹣a）y﹣3=0与l2：（a﹣1）x+ay+3=0互相垂直，则实数a=　1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由已知得（a﹣1）a+a（1﹣a）=0，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵l1：x+（1﹣a）y﹣3=0与l2：（a﹣1）x+ay+3=0互相垂直，‎ ‎∴（a﹣1）+a（1﹣a）=0，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．直线（m2+1）x﹣2my=1的倾斜角的取值范围为　　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①当m=0时，斜率不存在，即倾斜角为；‎ ‎②当m≠0时，直线的斜率|k|=||=（|m|+）≥1‎ ‎∴k≥1，或k≤﹣1，‎ 即直线的倾斜角的取值范围为[，）∪（，]‎ 综上，直线的倾斜角的取值范围为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．给定下列四个命题：‎ ‎①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；‎ ‎②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；‎ ‎③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；‎ ‎④‎ 底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥．‎ 其中正确的命题为　④　．（只填正确命题的序号）‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】利用圆锥的形成，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，不正确；‎ ‎②圆锥是由三角形绕其一直角边上的高旋转所形成曲面围成的几何体，不正确；‎ ‎③角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体，不是封闭曲线，不正确；‎ ‎④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥，正确．‎ 故答案为④‎ ‎　‎ ‎16．直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为　y=x±2　．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】设出直线方程x﹣y+a=0，根据坐标原点到直线l的距离是，求出a的值，从而求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，‎ 设直线l的方程是：x﹣y+a=0，‎ ‎∵坐标原点到直线l的距离为，‎ ‎∴d==，解得：a=±2，‎ 故直线方程是：y=x±2，‎ 故答案为：y=x±2．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆C的面积被直线y=x平分，且圆C过点（2，0），则该圆面积最小时的圆方程为　（x﹣1）2+（y﹣1）2=2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，（2，0）到直线y=x的距离为圆的半径，即 ‎=2，此时圆心坐标为y=x与直线y=﹣x+2的交点，即（1，1），可得该圆面积最小时的圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意，（2，0）到直线y=x的距离为圆的半径，即=，‎ 此时圆心坐标为y=x与直线y=﹣x+2的交点，即（1，1），‎ ‎∴该圆面积最小时的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ 故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎　‎ ‎18．直线l过坐标原点和点（﹣1，2）关于直线y=x﹣1的对称点，则直线l的方程为　2x+3y=0　．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】求出点（﹣1，2）关于直线y=x﹣1的对称点，从而求出直线l的方程即可．‎ ‎【解答】解：设点M（﹣1，2）关于直线l：y=x﹣1对称的点N的坐标（x，y） ‎ 则MN中点的坐标为（，），‎ 利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，‎ 解得：x=2，y=﹣1，‎ ‎∴点N的坐标（2，﹣1），‎ 故直线l的方程是：2x+3y=0，‎ 故答案为：2x+3y=0．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．如图，某粮仓是由圆柱和圆锥构成（粮仓的底部位于地面上），圆柱的底面直径与高都等于h米，圆锥的高为h米．‎ ‎（1）求这个粮仓的容积；‎ ‎（2）求制作这样一个粮仓的用料面积．‎ ‎【考点】组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】（1）求出圆锥的母线长，即可求这个粮仓的容积；‎ ‎（2）求出几何体的表面积，即可求制作这样一个粮仓的用料面积．‎ ‎【解答】解：（1）圆锥的母线长为，‎ ‎∴．‎ ‎（2）（m2）．‎ ‎　‎ ‎20．已知E（2，0），F（2，2）分别为正方形ABCD的边AB与CD的中点．‎ ‎（1）求正方形ABCD外接圆的方程；‎ ‎（2）求对角线AC与BD所在直线的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程；圆的一般方程．‎ ‎【分析】根据点E、F的坐标易得线段EF的中点G的坐标为（2，1）；‎ ‎（1）根据正方形ABCD的性质得到正方形ABCD外接圆的半径，结合该外接圆的圆心是（2，1）书写圆的标准方程即可；‎ ‎（2）需要分类讨论：ABCD为逆时针排列和顺时针排列两种情况，由点斜式写出直线方程．‎ ‎【解答】解：EF的中点为G（2，1），由平面几何知识知AB在x轴上，‎ ‎（1）外接圆的半径为，所以外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2；‎ ‎（2）①若ABCD为逆时针排列，则直线AC的斜率为1，‎ 直线AC：y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0．‎ 直线BD的斜率为﹣1，‎ 所以直线BD：y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；‎ ‎②若ABCD为顺时针排列，直线AC：x+y﹣3=0．‎ 直线BD：x﹣y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（2）若PA=AB=2，求三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取PB的中点为G，连接AG，FG，推导出EF∥AG，由此能证明EF∥平面PAB．‎ ‎（2）由VP﹣AEF=VF﹣PAE，能求出三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）取PB的中点为G，连接AG，FG，‎ ‎∵E，F分别为AD，PC的中点，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，‎ ‎∴GFAE，∴AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，‎ ‎∵EF⊄平面PAB，AG⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB．‎ 解：（2）∵PA=AB=2，PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD交于点O，E为线段PC上的点，且AC⊥BE．‎ ‎（1）求证：AC⊥DE；‎ ‎（2）若BC∥AD，PA=6，BC=，AB=CD，求异面直线DE与PA所成的角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．‎ ‎（2）连接OE，则OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．．∴∠OED（或其补角）就是异面直线ED与PA所成的角．‎ 解△OED即可求异面直线ED与PA所成的角．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=E，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．‎ ‎（2）连接OE，则OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．∴∠‎ OED（或其补角）就是异面直线ED与PA所成的角．‎ 在等腰梯形ABCD中，计算可得CO=1，OA=2，∴OE=2，又OD=2，且△OED为直角三角形，∴异面直线ED与PA所成的角为45°．‎ ‎　‎ ‎23．已知圆B：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，过原点O作两条不同的直线l1，l2与圆B都相交．‎ ‎（1）从B分别作l1，l2的垂线，垂足分别为A，C，若，，求直线AC的方程；‎ ‎（2）若l1⊥l2，且l1，l2与圆B分别相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由平面几何知识可知OABC为正方形，OB中点为，OB斜率为1，即可求直线AC的方程；‎ ‎（2）若l1⊥l2，且l1，l2与圆B分别相交于P，Q两点，△OPQ的面积，即可求△OPQ面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由平面几何知识可知OABC为正方形，OB中点为，OB斜率为1，‎ ‎∴AC：x+y﹣1=0．‎ ‎（2）∵OP⊥OQ，∴PQ为圆B的直径，且，设∠OPQ=θ，‎ 则，，‎ ‎∴△OPQ的面积，‎ 当且仅当时，S取得最大值2．‎ ‎　‎