专题06+三角恒等变换与解三角形（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 15页

专题06 三角恒等变换与解三角形（高考押题）‎ ‎2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 ‎1．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－　 B．－　 　‎ C.　 D. ‎【答案】A　‎ ‎2．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)‎ A．－　　　 B．－　　　 C.　　　 D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D. ‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的图象关于点对称 C．由函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象 D．函数f(x)在上单调递增 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin2x－＋＝sin 2x的图象，故选C. ‎ ‎4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图16所示，则f(0)＋f的值为(　　)‎ 图16‎ A．2－ B．2＋ C．1－ D．1＋ ‎【答案】A　‎ ‎5．设α，β∈0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)‎ A．－1,1] B．－1，]‎ C．－，1] D．1，]‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈0，π]，得α－β＝，β＝α－∈0，π]⇒α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin∈－1,1]，故选A. ‎ ‎6．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin 2α的值为(　　)‎ A.　　 B．－　　　‎ C.　　　 D．－ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】根据已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝，cos α＝，所以sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝2－2××＝－. ‎ ‎7．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A. B． C．－ D．－ ‎【答案】D　‎ ‎8．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是(　　)‎ A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题意可知f′＝0，‎ 即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，‎ ‎∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝asin.‎ ‎∴f＝asin＝acos x.‎ 易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B. ‎ ‎9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f(α)＝1，α∈‎ ，则cos＝(　　)‎ 图19‎ A．± B． C．－ D. ‎ ‎【答案】C　‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　)‎ A．－　　　　　　 B. C．－ D. ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0，故三角形ABC为钝角三角形，反之不一定成立．故选A. ‎ ‎16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　)‎ A．4∶3∶2　　　　 B．5∶6∶7‎ C．5∶4∶3 D．6∶5∶4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.‎ 又∵a，b，c为连续的三个正整数，‎ ‎∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．‎ ‎∵3b＝20acos A，∴＝cos A，‎ ‎∴＝，‎ ＝，‎ 即＝，‎ 化简得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0，‎ ‎∴n＝5.‎ 又∵＝＝，‎ ‎∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.‎ 故选D ‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是(　　)‎ A．1 B． C．3 D. ‎【答案】D　‎ ‎18．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝__________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，‎ ‎∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得 sin B＝sin A，‎ 又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝. ‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC面积的最大值为__________. ‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，则2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，则△ABC的面积为S ‎＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，当且仅当a2＝时取等号，则△ABC的面积的最大值为.‎ 法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即为7a2＋2c2＝4，则△ABC面积为a ＝≤×＝，所以最大值为. ‎ ‎20．如图23，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________．‎ 图23‎ ‎【答案】(6,4]　‎ ‎21．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)．由题意，函数f(x)在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．‎ 由4k＋＜2k＋，解得k＜.‎ 由ω＞0，可知k≥0，‎ 因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为. ‎ ‎22．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ ‎【答案】π　‎ ‎【解析】∵f(x)在上具有单调性，‎ ‎∴≥－，∴T≥.‎ ‎∵f＝f，‎ ‎∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.‎ 又∵f＝－f，‎ ‎∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，‎ ‎∴T＝－＝，∴T＝π. ‎ ‎23．已知tan α＝2，则sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________. ‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵tan α＝2，‎ ‎∴sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)‎ ‎＝cos2α＋sin αcos α ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝. ‎ ‎24．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG(点G在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.‎ 图17‎ ‎【答案】－　‎ ‎25．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．‎ ‎【解析】(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin＋1＋a，2分 则f(x)的最小正周期T＝＝π，3分 且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以(k∈Z)为f(x)的单调递增区间.5分 ‎(2)当x∈时⇒≤2x＋≤，7分 当2x＋＝，即x＝时，sin＝1.‎ 所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.10分 由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.12分 ‎26．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图18所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.‎ 图18‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2)时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．‎ ‎ ‎ ‎(2)由题意可得g(x)＝2sin＝2sin x.7分 ‎∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin x ‎＝2sin2x＋2sin x·cos x ‎＝1－cos x＋sin x＝1＋2sin.9分 当x∈(－1,2)时，x－∈，10分 ‎∴sin∈(－1,1)，‎ 即1＋2sin∈(－1,3)，于是函数h(x)的值域为(－1,3).12分 ‎27．已知函数f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)在上的最值；‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象．已知g(α)＝－，α∈，求cos的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin .7分 由g(α)＝2sin＝－，得sin ‎＝－.8分 ‎∵＜α＜，∴π＜α－＜，‎ ‎∴cos＝－.10分 ‎∵＜－＜，11分 ‎∴cos＝－＝－ ‎＝－.12分 ‎28．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b sin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.‎ 由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，1分 化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，2分 ‎∴cos B＝＝＝－.4分 ‎∵0.①8分 ‎∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分 由①②得b的取值范围是(，3).12分 ‎30．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足＝，函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎(1)证明：b＋c＝2a；‎ ‎(2)若f＝cos A，证明：△ABC为等边三角形．‎ 证明]　(1)∵ ‎＝，‎ ‎∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A，2分 ‎∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A，4分 sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A，‎ sin C＋sin B＝2sin A，‎ ‎∴b＋c＝2a.6分 ‎31．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝3，求△ABC周长的最大值．‎ ‎【解析】(1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，‎ 得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分 ‎∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B．‎ ‎∵B∈(0，π)，∴sin B≠0.‎ ‎∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分