2013版《6年高考4年模拟》：第八章 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 80页

‎【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》‎ 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分 六年高考荟萃 ‎2012年高考题 ‎1.[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(0，)C．(1，) D．(1，)‎ 答案：A　[解析] 如图所示，设AB＝a，CD＝，BC＝BD＝AC＝AD＝1，则∠ACD＝∠BCD＝45°，要构造一个四面体，则平面ACD与平面BCD不能重合，当△BCD与△ACD重合时，a＝0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝45°＋45°＝90°，AB＝＝，所以a的取值范围是(0，)．‎ ‎2. [2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图所示．则该几何体的表面积为________．‎ 答案：38　[解析] 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法．解题的突破口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成．由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积S＝长方体表面积＋圆柱的侧面积－圆柱的上下底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高为4、3、1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以S＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2×π×12＝38.‎ ‎3.[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．28＋6 B．30＋‎6‎ C．56＋12 D．60＋12 答案：B　[解析] 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面＝×5×4＝10，‎ S后＝×5×4＝10，S左＝×6×2＝6，S右＝×4×5＝10，所以S表＝10×3＋6＝30＋6.‎ ‎4.[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，该几何体的表面积是________．‎ 图1－3‎ 答案：92　[解析] 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积．‎ 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为 S＝××4×2＋4×2＋5×4＋4×4＋5×4＝92.‎ ‎5. [2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 答案：18＋9π　[解析] 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力，容易题．由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V＝6×3×1＋2×π×3＝18＋9π.‎ ‎6.[2012·福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱 答案：D　[解析] 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球的三视图大小、形状相同．三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同．‎ ‎7. [2012·广东卷] 某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　)‎ A．12π B．45πC．57π D．81π 答案：C　[解析] 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的半径R＝3，圆锥的高h＝4，圆柱的高为5，所以V组合体＝V圆柱＋V圆锥＝π×32×5＋×π×32×4＝57π，所以选择C.‎ ‎8. [2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B．3πC. D．6π 答案：B　[解析] 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以V＝2π＋×2π＝3π.故选B.‎ ‎9.[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)‎ 答案：D　[解析] 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握．是基础题型. 选项A，B，C，都有可能，选项D的正视图应该有看不见的虚线，故D项是不可能的．‎ ‎[易错点] 本题由于对三视图的不了解，易错选C，三视图中看不见的棱应该用虚线标出．‎ ‎10. [2012·课标全国卷] 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)‎ A．6 B．‎9 C．12 D．18‎ 答案：B　[解析] 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为3，故该几何体的体积是V＝××6×3×3＝9，故选B.‎ ‎11.[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.‎ 答案：1　[解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 ‎ 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则V＝Sh＝××1×3×2＝1.‎ ‎[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等．‎ ‎2011年高考题 ‎1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：‎ ‎①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 ‎(A)3 (B)2 (C)1 (D)0‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.‎ ‎2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ‎4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ ‎ ‎ （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.‎ ‎【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故 ‎【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。‎ ‎5.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ 第6题图 答案：D 解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.‎ 点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。‎ ‎10.(2011年高考广东卷理科7)如图．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，‎ ‎。所以选B ‎11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ‎ ‎ （A）（B） ‎ ‎（C）（D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，‎ 立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，‎ ‎15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ (A) (B) (c) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】：由圆的面积为得，‎ ‎，在 ‎ 故选D ‎ ‎16．(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 ‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎【答案】C ‎1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.‎ ‎2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ ‎3．(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为__________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为‎3m,宽为‎2m,‎ 高为‎1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.‎ ‎4. (2011年高考四川卷理科15)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . ‎ 答案：‎ 解析：时，，则 ‎6．(2011年高考福建卷理科12)三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。‎ ‎【答案】‎ ‎7．(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。‎ ‎【答案】；‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.‎ ‎（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;‎ ‎（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．‎ ‎【解析】（Ⅰ)连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，‎ EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证∽,‎ 所以,即,即,又M为AD 的中点,所以,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故GM∥FA,又因为ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010全国卷2理）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ‎（A）1 （B） （C）2 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.‎ ‎【解析】设底面边长为a，则高所以体积，‎ 设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.‎ ‎2.（2010陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]‎ ‎ （A）2 （B）1 ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】 B 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 ‎3.（2010辽宁文）（11）已知是球表面上的点，，，‎ ‎，，则球的表面积等于 ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】选A.由已知，球的直径为，表面积为 ‎4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 ‎（A）372 （B）360 ‎ ‎（C）292 （D）280‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ‎（A）只有1个 （B）恰有3个 ‎（C）恰有4个 （D）有无穷多个 ‎【答案】 D ‎【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、‎ HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， ‎ 所以排除A、B、C，选D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等 ‎6.（2010浙江文）‎ ‎（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ‎（A）cm3 ‎ ‎（B）cm3‎ ‎（C）cm3 ‎ ‎（D）cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 ‎7.（2010北京文）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点 P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，‎ 则三棱锥P-EFQ的体积：‎ ‎（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；‎ ‎（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；‎ ‎【答案】 C ‎8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为：‎ ‎ ‎ 答案：C ‎9.（2010北京理）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 ‎　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 ‎　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 ‎　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 ‎【答案】D ‎10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 C ‎11.（2010广东理）6.如图1，△ ABC为三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是 ‎【答案】D ‎12.（2010广东文）‎ ‎13.（2010福建文）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )‎ A． B．‎2 ‎ ‎ C． D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，选D．‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ ‎14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故 二、填空题 ‎1.（2010上海文）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。‎ ‎【答案】96‎ ‎【解析】考查棱锥体积公式 ‎2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为‎20cm2的几何体的三视图，则h= cm ‎【答案】4 ‎ ‎3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.‎ 解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 ‎4.（2010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 .‎ 解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，‎ 所以最长的一条棱的长为 ‎5.（2010辽宁理）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。‎ ‎【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 ‎6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。‎ 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 ‎【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。‎ ‎7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。‎ 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ = ‎ ‎【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。‎ 三、解答题 ‎1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2‎ 小题满分7分.‎ 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用‎9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到‎0.01平方米）;‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为‎0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. ‎ 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0