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- 2021-06-10 发布
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一、选择题
1.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( )
A.=
B.=
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
[答案] C
2.直线+=1在y轴上的截距是( )
A.|b| B.-b2
C.b2 D.±b
[答案] C
3.直线+=1过一、二、三象限,则( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
[答案] C
4.(2012-2013·邯郸高一检测)下列说法正确的是( )
A.=k是过点(x1,y1)且斜率为k的直线
B.在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为+=1
C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b
D.不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式
[答案] D
5.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则中位线MN所在直线方程为( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
[答案] A
[解析] 点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得=,即2x+y-8=0.
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A.- B.-
C. D.2
[答案] A
[解析] 直线方程为=,
化为截距式为+=1,则在x轴上的截距为-.
7.已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是( )
A.2x-3y=4 B.2x-3y=0
C.3x-2y=4 D.3x-2y=0
[答案] A
[解析] ∵(x1,y1)满足方程2x1-3y1=4,则(x1,y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2,y2)也在直线2x-3y
=4上.由两点决定一条直线,故过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是2x-3y=4.
[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时,需要考虑截距是否为零.
8.过P(4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
[答案] B
[解析] 解法一:设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).
令y=0得x=,令x=0得y=-4k-3.
由题意,=-4k-3,解得k=-或k=-1.
因而所求直线有两条,∴应选B.
解法二:当直线过原点时显然符合条件,当直线不过原点时,设直线在坐标轴上截距为(a,0),(0,a),a≠0,则直线方程为+=1,把点P(4,-3)的坐标代入方程得a=1.
∴所求直线有两条,∴应选B.
二、填空题
9.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为________.
[答案] -1
[解析] 直线-=1在x轴上截距为4,在y轴上截距为-5,因此在两坐标轴上截距之和为-1.
10.过点(0,1)和(-2,4)的直线的两点式方程是________.
[答案] =(或=)
11.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.
[答案] 3x+2y-6=0
[解析] 设直线方程为+=1,则
解得a=2,b=3,则直线方程为+=1,
即3x+2y-6=0.
12.直线l过点P(-1,2),分别与x,y轴交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为________.
[答案] 2x-y+4=0
[解析] 设A(x,0),B(0,y).
由P(-1,2)为AB的中点,
∴ ∴
由截距式得l的方程为
+=1,即2x-y+4=0.
三、解答题
13.求过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.
[解析] 设直线方程的截距式为+=1.
则+=1,解得a=2或a=1,
则直线方程是+=1或+=1,
即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.
14.已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4,-2)、C(-6,3),求经过每两边中点的三条直线的方程.
[解析] 设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F,根据中点坐标公式得D(6,)、E(-1,)、F(1,4).由两点式得DE的直线方程为=.整理得2x-14y+9=0,这就是直线DE的方程.
由两点式得=,
整理得7x-4y+9=0,这就是直线EF的方程.
由两点式得=
整理得x+2y-9=0
这就是直线DF的方程.
15.△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边的中垂线所在直线的方程;
(4)求AC边上的高所在直线的方程;
(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程.
[解析] (1)由A(0,4),C(-8,0)可得直线AC的截距式方程为+=1,即x-2y+8=0.
由A(0,4),B(-2,6)可得直线AB的两点式方程为=,即x+y-4=0.
(2)设AC边的中点为D(x,y),由中点坐标公式可得x=-4,y=2,所以直线BD的两点式方程为=,即2x-y+10=0.
(3)由直线AC的斜率为kAC==,故AC边的中垂线的斜率为k=-2.又AC的中点D(-4,2),
所以AC边的中垂线方程为y-2=-2(x+4),
即2x+y+6=0.
(4)AC边上的高线的斜率为-2,且过点B(-2,6),所以其点斜式方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.
(5)AB的中点M(-1,5),AC的中点D(-4,2),
∴直线DM方程为=,
即x-y+6=0.
16.求分别满足下列条件的直线l的方程:
(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点A(1,0),B(m,1);
(3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
[分析]欲求直线的方程,关键是根据已知条件选择一种最合适的形式.
[解析](1)设直线l的方程为y=x+b.
令y=0,得x=-b,
∴|b·(-b)|=6,b=±3.
∴直线l的方程为y=x±3
(2)当m≠1时,直线l的方程是
=,即y=(x-1)
当m=1时,直线l的方程是x=1.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0,b≠0时,l的方程为+=1;
∵直线过P(4,-3),∴-=1.
又∵|a|=|b|,
∴解得或
当a=b=0时,直线过原点且过(4,-3),
∴l的方程为y=-x.
综上所述,直线l的方程为x+y=1或+=1或y=x.
[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件,如(2)中m的分类,再如(3)中,直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况.