高一数学同步辅导教材(第4讲) 12页

高一数学同步辅导教材（第 4 讲） 一、本讲教学进度 1．5（P23-24） 二、本讲内容 1．一元二次不等式 > 和 < 的解法. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式. 3．二次函数在给定范围内的最值. 三、重点、难点选讲 1．一元二次不等式 > 和 < 的解法. ⑴因一元二次方程 的两个根是 ，故有 一元二次不等式 > ，( < )的解集为 < ，或 > . 一元二次不等式 < ，( < )的解集为 < < . ⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中 的系数为 1 的条件. 例 1 解不等式： ⑴ ≤ ； ⑵ > ； ⑶ ≤ . 解：⑴原不等式即 ≤ ， 整理得 ≥ ， ≥ . ∴不等式的解集为 ≤ ，或 ≥ . ⑵∵ ≥ , ∴由 ，得 不是原不等式的解. 当 ，得 > ， 即 < ， < < . ∴原不等式的解集为 < < ，且 . ⑶∵ > , ∴原不等式与 ≤ 同解， ∴原不等式的解集为 ≤ ≤ . 评析 第⑵题中，因 ≥ ，故只需考虑 是否满足不等式，就可以在原不等式中将 除去. 例 2 解关于 的不等式： > （ , R）. 解：原不等式可化为 < . . ⑴ > 时， > ，∴不等式的解集是 < < . ⑵当 时， ，∴不等式的解集是 . ⑶当 < < 时， < ，∴不等式的解集是 . ⑷当 < < 时， > ，∴不等式的解集是 ⑸当 时， ，∴不等式的解集是 . ⑹当 < 时， < ，∴不等式的解集是. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式 ⑴ 不等式 > 与 二 次 不 等 式 > 同解；不等式 < 与 二 次 不 等 式 < 同解. ⑵不等式 ≥ 的解集是不等式 > 的解集与集合 的并集；不等式 ≤ 的解集是不等式 < 的解集与集合 的并集. 例 3 解不等式： ⑴ ≥ ； ⑵ ≥ . 解：(1)原不等式等价于 ≤ . ∴不等式的解集是 = (2)原不等式等价于 . ∴不等式的解集是 评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就 得到所求解集. 例 4：求不等式 的解集. 解：不等式与不等式组 ① 等价. , ② 由①， , ∴ 由②， ， ∴ . ∴原不等式的解集是 评析：（1）解 时，因不能确定 的符号，所以不能把不等式两边同乘以 而去分母， 只能采用移项、通分的方法求解. （2）本题也可以分两种情况考虑，①若 >0，则-1< 恒成立，由 2， .②若 <0， 则 2 恒成立.∵- >0，∴将-1< 两边同乘以- .得 <-1，由①、②可得原不等式的解集是 < ,或 ≥ . 例 5 已 知 集 合 ， ， 且, .求实数 a,b 的值. 解：由已知，得 , . 由 A ， 从 数 轴 可 得 集 合 B 又 和 2 是 的实数根. 3. 二次函数在给定范围内的最值 由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无 最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值. 如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有 最大值，又有最小值 例 6 已知函数 , (1) 当 时，求 的最大值、最小值 ； (2) 当 时，求 的最大值、最小值 ； (3) 当 时，求 的最大值、最小值 ； 解：函数即 ,抛物线的对称轴为直线 . (1)当 时， 由图象知， 当 时， 当 时， (2)当 时， 由图象知, 当 时， 当 时， (3)当 时， 由图象知, 当 时， 当 时， 评析 (1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解. (2)一般情况下,需要说明当 x 取什么值时, 函数取大或最小值. 例 7 已知函数 求: (1) 当 时， 函数的最值; (2) 当 时， 函数的最值; 解：函数即 抛物线和对称轴为直线 (1) 当 时， 由图象知, 当 时， 函数无最大值. (2) 当 时， 由图象知, 当 时， 函数无最大值. 评析 （1）最大值、最小值统称最值. （2）根据题设条件画图象时，要注意表示 x 范围 的不等式中 是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空 圈. 例 8 求函数 的最小值。 解：由题设，知 令 则 由图象知， 当 即 时， 例 9 关于 的方程 有两个实根 （1） 求 k 的取值范围； （2） 设 求 关于 k 的函数解析式，以及这个函数的最大值和最小 值。 解：（1）由题意得 整理得 （2）由韦达定理， ∴ 由图像可知，当 时， ， 当 时， . 例 10 已知函数 ，在 内有最大值-5，求实数 值. 解：函数变形为 .下面根据 的不同情况进行讨论. （1）当 即 时，由图(1)知， 当 时, 取最大值 令 得 (2) 当 即 时，由图(2)知， 当 时, 取最大值 令 (3) 当 即 时，由图(3)知， 当 时, 取最大值 令 (舍去)， ∴由上知， 或 评析 对 分情况讨论的根据是 与 的关系。 练 习 ; 一、 选择题 1．不等式 的解集是（ ） A． C． D 2．不等式（x-4）(x+2) 的解集是 （ ） A． B. C. D 3. 不等式 的解集是（ ） A． B C． D 4．不等式 的解集是 （ ） A． B C． D 5．当 时，若函数 的最大值为 M，最小值为 N，则（ ） A．M=7，N=6 B.M=6,N=-2 C. M=7,N=-2 D.M=-6,N=-7 6.已知函数 则下列结论中不正确的是 （ ） A．当 时， 有最大值 3 B. 当 时， 有最小值-15 C. 当 时， 无最大值也无最小值 D. 当 时，函数有最小值-5 二、填空题 7．不等式 的解集是____________________________. 8.不等式 的解集是____________________________. 9．设集合 A= 则实数 的取值范 围是_____________. 10．10．当 时，函 数有最小值-2，则 t= ______________. 三、解答题 11．解不等式： 12．设集合 A= 若 实数 a 的取值范围。 13．关于 x 的不等式 对一切 x 恒成立，求 k 的取值范围. 14．关于 x 的方程 的两个实数 ，满足 求: （1） 实数 q 关于 p 的函数表达式； （2） 这个函数的最大值和最小值. 答案与提示 【答案】 一、 1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．D 二、 7． 8． 9． 10． 三、11．解集为 ，或 ≥ 12． ≤ ≤ 13． 14．⑴ ≤ ≤ ⑵当 ， ；当 ， 【提示】 一、4． 5． ，当 ， ；当 ， 6． 二、7． ， ， 8． ≤ ， ，且 ≤ ，解集是 ≤ ≤ ，且 9． ，由数轴及 可知 10． ≤ ≤ ，抛物线的对称轴为直线 . ⑴当 ≤ ≤ 时， 的最小值 ∴ . ⑵当 ，由图像知， 时， （不合）. ∴ 三、11． ≥ ， ≥ ，∴解集是 ，或 ≥ 12． ， ，∴ . 当 .当 ，当 . 由 知， ≤ ≤ . 13．原不等式即- . ∵ ， ∴原不等式等价于 不等式组 即 , ① . ② 由①对 R 恒成立， ， ， . 由②对 R 恒成立， ， ， . ∴ 的取值范围是 . 14． . （1）由韦达定理， ， ∵ ，∴ ， .∵ 、 为实根，∴ ≥ ， 即 ≥ ， ≤2， ≤ ≤ ， ∴ ≤ ≤ . （2）当 时， ；当 时，