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  • 2021-06-10 发布

数学文卷·2018届黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学东北三省三校高三第二次模拟考试(2018

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东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)‎ ‎2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设集合,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知平面向量,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设,则使成立的必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.等比数列中,,,则( )‎ A. B.4 C. D. ‎ ‎6.过抛物线:的焦点的直线交抛物线于、两点,且,则弦的长为( )‎ A. B.4 C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,则输出的( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎8.如图所示,一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为( )‎ A.3 B.4 C.6 D.8‎ ‎9.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.矩形中,,,沿将三角形折起,当平面平面时,四面体的外接球的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.双曲线:的左顶点为,右焦点为,过点作一条直线与双曲线的右支交于点,连接分别与直线:交于点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义域为的函数的导函数为,且满足,则下列正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.函数的值域为 .‎ ‎14.设实数满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎15.写出下列命题中所有真命题的序号 . ‎ ‎①两个随机变量线性相关性越强,相关系数越接近1;②回归直线一定经过样本点的中心;③线性回归方程,则当样本数据中时,必有相应的;④回归分析中,相关指数的值越大说明残差平方和越小.‎ ‎16.数列中,,,设数列的前项和为,则 . ‎ 三、解答题 (本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.中的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)求的最大值,并求出取得最大值时角的值.‎ ‎18.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为100分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:‎ ‎(1)写出的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)现从成绩在内的学生中任选出两名同学,从成绩在内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若同学的数学成绩为43分,同学的数学成绩为分,求两同学恰好都被选出的概率.‎ ‎19.如图,在直三棱柱中,,,分别是棱、的中点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎20.在平面直角坐标系中,动点总满足关系式.‎ ‎(1)点的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程; ‎ ‎(2)坐标原点到直线:的距离为,直线与的轨迹交于不同的两点,若,求的面积.‎ ‎21.已知定义域为的函数(常数).‎ ‎(1)若,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的最大整数值.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线:.以为极点,轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程; ‎ ‎(2)射线()与曲线的异于极点的交点为,与曲线的交点为,求.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)设的解集为集合,求集合; ‎ ‎(2)已知为集合中的最大自然数,且(其中为正实数),设.求证:.‎ 文科数学答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B D B A C C B A C C A 二、填空题 ‎13. 14. 18 15. (2)(4) 16. ‎ 三、解答题 ‎17.(1),‎ 整理得,‎ 即,‎ 因为,则.‎ ‎(2)由(1)知,则,‎ 于是,‎ 由,则,‎ 故当时,的最大值为2,此时.‎ ‎18. (1)‎ 估计本次考试全年级学生的数学平均分为 ‎.‎ ‎(2)设数学成绩在内的四名同学分别为,‎ 成绩在内的两名同学为,‎ 则选出的三名同学可以为:‎ ‎、、、、、、、、、、、,共有12种情况.‎ 两名同学恰好都被选出的有、、,共有3种情况,‎ 所以两名同学恰好都被选出的概率为.‎ ‎19.(1)证明:连接,由直三棱柱知,‎ ‎∵又有,‎ ‎∴平面 ‎∵分别为的中点,则,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ 所以,,‎ 平面,‎ ‎∴.‎ ‎(2)设点到平面的距离为,‎ ‎∵,‎ ‎∴平面 由知,,‎ 即,解得.‎ 点到平面的距离为.‎ ‎20.(1)由化简,得,‎ 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,‎ 它的标准方程为.‎ ‎(2)由点到直线:的距离为1,得,即,‎ 设,‎ 消去,得 ‎,‎ ‎.‎ ‎∵,∴,‎ 解得,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎21. (1)当时,(),∴,‎ 令,有,∴在上为增函数,‎ 令,有,∴在上为减函数,‎ 综上,在上为减函数,在上为增函数.‎ ‎(2)∵对于恒成立,‎ 即对于恒成立,‎ 由(1)知 ‎①当时,在上为增函数,∴,‎ ‎∴恒成立 ‎∴‎ ‎②当时,在上为减函数,在上为增函数.‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ 设,‎ ‎∴,‎ ‎∴在上递增,而 ‎,‎ ‎∴在上存在唯一使得,且,‎ ‎∵,∴最大整数值为2,使,即最大整数值为2,‎ 有对于恒成立.‎ ‎22. (1)曲线的参数方程(为参数)‎ 可化为普通方程,‎ 由,可得曲线的极坐标方程为,‎ 曲线的极坐标方程为.‎ ‎(2)射线()与曲线的交点的极径为,‎ 射线()与曲线的交点的极径满足,解得 ‎,‎ 所以.‎ ‎23.(1)即 当时,不等式化为,∴;‎ 当时,不等式化为,不等式恒成立;‎ 当时,不等式化为,∴.‎ 综上,集合.‎ ‎(2)由(1)知,则.‎ 则,同理,则 ‎,即.‎

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