2020年高三最新信息卷数学（八） 9页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎（新高考）2020年高三最新信息卷 数 学（八）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．向量，，若，则 B．向量，，，若，则 C．向量，，则 D．向量，，则在方向上的投影为 ‎4．在中，，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在中，角，，的对应边分别为，，，且的面积，且，，则边的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中含的项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若正三棱柱的所有棱长都为，则其外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）‎ A．这五年，2015年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019年进口增速最快 ‎10．若正三棱柱的所有棱长都为，外接球的球心为，则下列四个结论正确的是（ ）‎ A．其外接球的表面积为 B．直线与直线所成角为 C． D．三棱锥的体积为 ‎11．已知函数，，，，且都有，满足的实数有且只有个，给出下列四个结论正确的是（ ）‎ A．满足题目条件的实数，有且只有个 B．满足题目条件的实数，有且只有个 C．在上单调递增 D．的取值范围是 ‎12．已知是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，为原点，若，则下列结论正确的是（ ）‎ A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线为 C．的面积为 D．点到该双曲线左焦点的距离是 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．二项式的展开式中常数项为________．所有项的系数和为________．‎ ‎14．若，，则________．‎ ‎15．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量 为 ．（取）‎ ‎16．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为直角三角形，则的坐标为 ．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）的内角，，的对边分別为，，，且，．‎ ‎（1）求的外接圆的面积；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形，且，点时的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．‎ ‎19．（12分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为分），从中随机抽取一个容量为的样本，发现所有数据均在内，现将这些分数分成以下组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，回答下列问题．‎ ‎（1）算出第三组的频数，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代表）．‎ ‎20．（12分）设向量，，定义一种向量积．已知，，点在的图象上运动，是函数图象上的点，且（为坐标原点）．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的单调递减区间．‎ ‎21．（12分）已知曲线的焦点是，，是曲线上不同两点，且存在实数使得，曲线在点，处的两条切线相交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）点在轴上，以为直径的圆与的另一交点恰好是的中点，当时，求四边形的面积．‎ ‎22．（12分）已知数，其中，为自然对数底数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，函数对任意的都成立，求的最大值．‎ 绝密 ★ 启用前 ‎（新高考）2020年高三最新信息卷 数学（八）答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由，得，由，得，再得或，‎ 所以．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】若，则，得A错误；‎ ‎，若，则，，B正确；‎ ‎，，可判断C错误；‎ 在方向上的投影为，D错误，故选B．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∴．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】不妨设，则，‎ 又，解得，，‎ 则是的最小内角为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 化简得，解得．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意得，三角形的面积，‎ 所以，所以，‎ 由余弦定理得，所以．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】展开合并同类项后，含的项是．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】球心到下底面的距离，，‎ 所以其外接球的，‎ 所以其外接球的表面积为．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】ABD ‎【解析】对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确；‎ 对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，‎ 但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，‎ 故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；‎ 对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；‎ 对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确．‎ ‎10．【答案】ACD ‎【解析】球心到下底面的距离，，‎ 所以其外接球的，所以其外接球的表面积为，‎ A正确；‎ 直线与直线所成角即直线与直线所成角，‎ 在中，，故B错误；‎ 面，得，为的重心，则，‎ 故面，即，故，C正确；‎ 根据体积公式可得，D正确．‎ ‎11．【答案】ACD ‎【解析】，，‎ 设进行替换，作的图象，‎ 在上满足的实数有且只有个，‎ 即函数在上有且只有个零点，‎ 由图象可知，，结论D正确；‎ 由图象知在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，‎ 结论A正确，结论B错误；‎ 时，，‎ 由知，所以在上递增，‎ 则在上单调递增，结论C正确，‎ 综上，正确的是ACD．‎ ‎12．【答案】BD ‎【解析】由已知得，，，，‎ 双曲线的渐近线为，‎ 取线段的中点，则，‎ 所以，得，‎ 故的面积为．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】，‎ ‎【解析】展开式的通项为，‎ 令，解得，所以展开式中的常数项为，‎ 令，得到所有项的系数和为，得到结果．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，‎ 则，，‎ 所以，制作该模型所需材料质量约为．‎ ‎16．【答案】或 ‎【解析】，，∴，，‎ 当为直角顶点时，轴，‎ 设，在椭圆上，则，解得，‎ 当为直角顶点时，点在以为直径的圆周上，此圆周的方程是，‎ 与联立解得，，‎ ‎∵在第一象限，则，‎ 综上，放入坐标为或．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 由正弦定理知：，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ 而在中，，∴．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意底面是正方形，‎ 底面，，平面，∴，‎ ‎∵，，∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ 又，点是的中点，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（2）过引直线，使，则，‎ ‎∴在平面内，在平面内，‎ ‎∴就是平面与平面所成二面角的棱，‎ 由条件知，，，‎ 已知，则平面，‎ 由作法知，，则平面，所以，，‎ ‎∴就是平面与平面所成锐二面角的平面角，‎ 在中，，‎ ‎∴在平面与平面所成锐二面角的大小等于．‎ ‎19．【答案】（1）18人，频率分布直方图见解析；（2）众数为分，中位数为分，平均数为分．‎ ‎【解析】（1）因为各组的频率之和等于，‎ 所以分数在内的频率为，‎ 所以第三组的频数为人，‎ 完整的频率分布直方图如图：‎ ‎（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，‎ 从图中可看出众数的估计值为分；‎ ‎，，‎ 设样本中位数为，则，，解得；‎ 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为 分，‎ 所以样本的众数为分，中位数为分，平均数为分．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设，，‎ 由新的运算可得，‎ ‎∵，∴，代入，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ 由题意，只需求函数的单调递增区间，‎ 由，，，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，，‎ ‎∴函数在上的单调递减区间为．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为，‎ 存在实数使得，则，，三点共线，‎ 当直线斜率不存在时，不符合题意；‎ 当直线斜率存在时，‎ 设直线的方程为，与联立消去，‎ 整理得，判别式，‎ 设，，则，就是方程的两实根，‎ ‎，‎ ‎，切线斜率，‎ 则曲线在点处的切线方程是，即①，‎ 同理得曲线在点处的切线方程是②，‎ 联立①②即可求解两切线交点的坐标，‎ ‎①②，已知，，‎ 所以，上式化简为（表示水平之嫌，不必求），‎ 所以，两切线交点的轨迹方程是．‎ ‎（2）已知，在（1）的解答的基础上，‎ ‎，‎ ‎，，代入中，解得，‎ 注意到对称性，求四边形面积，只需取即可，‎ ‎，‎ 设中点为，则，，‎ 已知点在以为直径的圆周上，则，‎ 设，由，得，解得，则，‎ 将直线的方程化为，‎ 则点到的距离，‎ 所以，‎ 在（1）的解答种，联立①②消去解得，‎ 则两切线交点坐标为，时，，‎ 此时，点的坐标为，‎ 到的距离，‎ 所以，‎ 又已知，在两侧，所以．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎①当时，，在上单调递增；‎ ‎②当时，由，得．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎（2）由题意对任意的都成立，则在都成立，‎ 在上任取一点，‎ ‎∵，‎ ‎∴在点处的切线方程为，‎ 若令，由在都成立，只需成立，‎ 即成立．‎ 令，，‎ 令，解得，‎ ‎∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 则，∴，∴最大值为．‎