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- 2021-06-10 发布
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核心素养测评三十六 数列与函数、不等式的综合问题
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ( )
A.a1<0,01
C.a1>0,00,q>1
【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,
则-an>-an+1>0,则q=∈(0,1),
所以a1<0,00”是“S4 + S6>2S5”
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件.
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件.
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7π,则tan 的值是( )
A.1 B. C.- D.-
【解析】选D.因为是等比数列,
所以a2·a6·a10==3,所以a6=.
因为{bn}是等差数列,
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所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=,
所以tan=tan =tan
=-tan =-tan =-.
4.(多选)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3).若a1>1,
则 ( )
A.a1a4 D.a1>a3
【解析】选BD.设f(x)=ln x-x(x>0),则f′(x)=-1=,
令f′(x)>0,得01,
所以f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,
所以f(x)≤f(1)=-1,即有ln x≤x-1.
从而a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,所以a4<0,又a1>1,所以公比q<0.
若q=-1,则a1+a2+a3+a4=0,ln (a1+a2+a3)=ln a1>0,矛盾.
若q<-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)<0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)>0,所以ln (a1+a2+a3)>ln a1>0,
也矛盾.所以-10,所以a1>a3.
同理,因为=q2<1,a2<0,所以a4>a2.
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5.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围
为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.数列{an}满足
a1+a2+a3+…+an=n2+n, ①
当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1
=(n-1)2+(n-1),②
①-②得an=2n,故an=2n2,
数列满足:bn==
=
则:Tn=1-+-+…+-=,
由于Tn<λ(n∈N*)恒成立,
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故:<λ,整理得λ>,
因为y==在n∈N*上单调递减,故当n=1时,=,
所以λ>.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2 010=a2 012,则a20+a11的值是________.
【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,
a5==,a7==,
a9==,a11==,又a2 010=a2 012,
即a2 010=⇒+a2 010-1=0,
所以a2 010=.
又a2 010==,
所以1+a2 008==,
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即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=,
故a20+a11=+=.
答案:
7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)数列{an}的通项公式为________.
(2)数列的前n项和为________.
【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.
又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n-2)×=n+1.
(2)设数列的前n项和为Sn,
Sn=+++…++,①
Sn=+++…++,②
①-②得Sn=+++…+-=+++…+-
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=+-,
所以Sn=+-=2-.
答案:(1)an=n+1 (2)2-
8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为________.
【解析】因为a4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,
令λ=f(d)=-2,因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=-2,
当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求++…+.
【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则
a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,所以d=ln 2,
所以{an}的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(n∈N*).
(2)由(1)及已知,=enln 2=(eln 2)n=2n,
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所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*).
10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:++…+=n2+n,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.
【解析】(1)因为++…+=n2+n,
n=1时,可得a1=4,
n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1.
与++…+=n2+n.
两式相减可得=(2n-1)+1=2n.
所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).
(2)bn===,
所以Sn=1-+-+…+-=.
又Sn>,可得n>9,所以最小正整数n为10.
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