高中数学：一《平行线等分线段定理》教案2（新人教A版选修4-1） 5页

平行线等分线段定理 ‎【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；‎ ‎ 2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；‎ ‎ 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。‎ ‎【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 ‎【教学难点】平行线等分线段定理的证明 ‎【教学方法】引导·探究·发现法 ‎【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等 ‎【教学设计】‎ 一、实际问题，导入新课 ‎ 1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？‎ A B C D N M B C D N P E G F ‎2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折，‎ ‎ 得折痕MN（如图1）；‎ ‎ ·再把B点叠在折痕MN上，‎ ‎ 得到Rt△BEP（如图2）；‎ ‎ ·最后沿EP折叠，便可得到 ‎ （如图1） 等边△BEF（如图2）。 （如图2）‎ ‎3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。‎ 二、复习引导，发现定理 ‎ 1．复习提问 ‎ （1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？‎ ‎ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？‎ ‎ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。‎ ‎ 2．操作实验 请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：‎ ‎（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？‎ ‎（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。‎ ‎3．引导猜想 引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？‎ ‎ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。‎ ‎ 4．验证猜想 ‎ 教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。‎ 三、归纳探究，证明定理 ‎（图1）‎ ‎ 1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？‎ ‎ 已知：直线a // b // c，AB = BC（如图1）‎ ‎ 求证：A'B' = B'C'。‎ ‎2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？‎ ‎ （2）四边形ACC'A' 是什么四边形？‎ ‎ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？‎ ‎（图2）‎ D E ‎3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。‎ ‎ 证法一：（略）参见课本P176的证法。‎ 证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c 平行线等分线段定理：‎ ‎ 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。‎ ‎ 于D、E（如图2）。（以下证明略）‎ 〖注1〗 结论与直线A'C' 的位置无关；‎ 〖注2〗 对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。‎ ‎ 4．定理：‎ ‎ 推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴A'B' = B'C'。‎ 四、图形变式，引出推论 ‎ 1．隐线变式，得推论1‎ 在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？‎ 条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。‎ 推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。‎ ‎ （图3） （图4） （图5） （图6）‎ ‎ 2．运动变式，得推论2‎ 既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C'‎ ‎ 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？‎ 条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。‎ 推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。‎ ‎3．变换图形，深化理解 如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？‎ 五、运用新知，解决问题 ‎ 1．应用定理，等分线段 ‎ （1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7）‎ ‎ 已知：线段AB（如图7）。‎ ‎ 求作：线段AB的三等分点。‎ ‎ 作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程）‎ ‎ 〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。‎ ‎ （2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8）‎ ‎ 2．应用推论，分解图形 例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，‎ ‎ CM、AM分别交BD于E、F。‎ ‎ 求证：BE = EF = FD。‎ ‎ 分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）‎ ‎ （2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？‎ ‎ 证明：（略。过程由学生自己完成）‎ 例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，‎ ‎ 过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足 ‎ 分别为A'、B'、C'、D'、O'。‎ ‎ 求证：A'D' = B'C'。 ‎ ‎ 分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10）‎ ‎ （2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？‎ ‎ 证明：（略。过程由学生自己完成）‎ ‎ 思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？‎ ‎ 3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？‎ 六、课堂小结，提炼升华 ‎1．理解一个定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，‎ ‎ 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。‎ ‎2．掌握两个推论 推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。‎ 推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。‎ ‎3．了解三种思想 化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；‎ ‎ 两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。‎ ‎ 运动思想——‎ 两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。‎ 辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；‎ ‎ 应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。‎ 七、达标检测，回授效果 ‎ 1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，‎ ‎ EF//BC交AB于F，FG// BD交AD于G。‎ ‎ 求证：AG = DG。 ‎ ‎2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E， （图11）‎ ‎ EF//AB交BC于F。‎ ‎ （1）求证：BF=CF；‎ ‎ （2）图中与DE相等的线段有 ；‎ ‎ （3）图中与EF相等的线段有 ； ‎ ‎（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）‎ 八、课后作业，巩固新知 ‎ 1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。‎ ‎2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，‎ ‎ AE的延长线交AC于F。‎ ‎ 求证：FC = 2AF。‎ ‎ （图13）‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com