广东省潮州市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学（理）试题 18页

潮州市2018 -2019 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷 数学(理科)‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数(为虚数单位)等于（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的乘法运算法则求解.‎ ‎【详解】故选．‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.‎ ‎2.一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）‎ A. 身高在左右 B. 身高一定是 C. 身高在以上 D. 身高在以下 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线性回归方程的意义得解.‎ ‎【详解】将代入线性回归方程求得 由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.‎ ‎3.“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ）‎ A. 正方形都是对角线相等的四边形 B. 矩形都是对角线相等的四边形 C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形 D. 矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，‎ ‎∵由四边形是矩形，得到四边形对角线相等的结论，‎ ‎∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.‎ ‎4.已知数列是等比数列，若则的值为（ ）‎ A. 4 B. 4或-4 C. 2 D. 2或-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设数列{an}的公比为q，由等比数列通项公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，计算可得．‎ ‎【详解】因 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题．‎ ‎5.在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为,则在内取值的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到正态分布图象的对称轴为，根据在内取值的概率为0.3，利用在对称轴为右侧的概率为0.5，即可得出答案．‎ ‎【详解】∵测量结果，∴正态分布图象的对称轴为，‎ ‎∵在内取值的概率为0.3，‎ ‎∴随机变量在上取值的概率为，故选B．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎6.在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线所围成的图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦函数图象的对称性可得，求出积分值即可得结果.‎ ‎【详解】根据余弦函数图象的对称性可得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．‎ ‎7.欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.‎ ‎【详解】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，‎ ‎∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．‎ ‎∵2∈，‎ ‎∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，‎ ‎∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.‎ ‎8.函数的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 令得；当时，，即函数在内单调递减，‎ 可排除B,D；又时，，排除C，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.‎ ‎9.某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．‎ ‎【详解】由题意可得，，求得，∴，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎10.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，由题意可得恒成立，转化求解函数的最值即可．‎ ‎【详解】由函数，得，‎ 故据题意可得问题等价于时，恒成立，‎ 即恒成立，函数单调递减，故而，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题.‎ ‎11.不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数(　　)‎ A. 成等比数列而非等差数列 B. 成等差数列而非等比数列 C. 既成等差数列又成等比数列 D. 既非等差数列又非等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知条件，可得 由②③得 代入①，得＝2b，‎ 即x2＋y2＝2b2.‎ 故x2、b2、y2成等差数列，‎ 故选B.‎ ‎12.当时，函数，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 由于时，，函数在上单调递增，‎ 由于，故，所以，‎ 而，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数的性质可直接得出答案.‎ ‎【详解】根据二项式系数的性质，由于只有第项的二项式系数最大，故答案为10.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，解决二项式系数的最值问题常利用结论：二项展开式中中间项的二项式系数最大，属于基础题.‎ ‎14.函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，然后判断单调性，再求出最小值即可．‎ ‎【详解】∵，∴（），‎ 令，解得，令，解得 即原函数在递减，在递增，‎ 故时取得最小值3，故答案3.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，正确求导是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15.从字母中选出个字母排成一排，其中一定 要选出和，并且它们必须相邻(在前面)，共有排列方法__________种.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体进行排列，根据分步计数原理求得结果．‎ ‎【详解】由于已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，‎ 再将这2个字母和整体进行排列，方法有种，‎ 根据分步计数原理求得所有的排列方法共有种，故答案为36.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．‎ ‎16.已知为上的连续可导函数，当时，，则函数的零点有__________个．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得，即，然后利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．‎ ‎【详解】令，得，‎ 即，即零点满足此等式 不妨设，则．‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴当时，，‎ 即当时，，即，此时函数单调递增，‎ 当时，，即，此时函数单调递减，‎ ‎∴当时，函数取得极小值，同时也是最小值，‎ ‎∴当时，，∴无解，即无解，‎ 即函数的零点个数为0个，故答案为0．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答要写出证明过程或解题步骤） ‎ ‎17.在二项式的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.‎ ‎(1) 求的值，并求所有项的二项式系数的和;‎ ‎(2) 求展开式中的常数项.‎ ‎【答案】(1)8，256；(2)1792.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出的值，可得所有项的二项式系数的和；（2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．‎ ‎【详解】(1) ∵ 二项式的展开式的通项公式为，‎ 由已知得，即，解得，‎ 所有二项式系数的和为；‎ ‎(2)展开式中的通项公式， ‎ 若它为常数项时.‎ 所以常数项是 ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎18.某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中天的日销售量(单位：千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据，如下表所示:‎ 求关于的线性回归方程；（精确到）‎ 判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为，请用中的回归方程预测该超市当日的销售量.‎ 参考公式：，‎ 参考数据：，‎ ‎【答案】（1）（2）与负相关，预测该超市当日的销售量为千克 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线性回归直线的求解方法求解；‎ ‎（2）根据（1）问中的正负，判断是正相关还是负相关,再代入其值可得解.‎ ‎【详解】由题目条件可得，‎ ‎，‎ 故关于线性回归方程为 由可知与负相关 将代入得 据此预测该超市当日的销售量为千克 ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，属于基础题.‎ ‎19.在各项均为正数的数列中，且.‎ ‎(1)当时，求的值；‎ ‎(2)求证:当时，.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，解得，从而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】(1) ∵，∴，∴，解得，‎ 同理解得 即； ‎ ‎(2) 要证 时，，‎ 只需证，只需证，只需证，‎ 只需证，只需证， ‎ 根据基本不等式得，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利、损失、不赔不赚，且这三种情况发生概率分别为；项目:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利、亏损，且这两种情况发生的概率分别为.经测算，当投入两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若将万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) ，，；(2) 从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据概率和为1列方程求得的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得、的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．‎ ‎【详解】（1）依题意，，，‎ 设投入到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则和的分布列分别为 由分布列得 ‎，‎ ‎，‎ 因为所以，即，‎ 又，解得，；，，‎ ‎（2）当投入万元资金时，由（1）知，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，说明虽然项目和项目的平均收益相等，但项目更稳妥，‎ 所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.‎ ‎【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．‎ ‎21.已知函数 (为自然对数的底数).‎ ‎(1)若,求函数的单调区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数中，求出导函数大于零求出递增区间，导函数小于零求出递减区间；（2）分为和和三种情况分别判断在上的单调性，然后求出最大值和最小值．‎ ‎【详解】（1）若，则，求导得． ‎ 因为，令，即，‎ 解得或 令，即，解得 ‎ ‎∴函数在和上递增，在上递减．‎ 即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为 ‎（2）①当时，∵在上递减，‎ ‎∴在区间上的最大值为，‎ 在区间上的最小值为． ‎ ‎②当时，‎ ‎∵在上递减，在上递增，且，‎ ‎∴在上的最大值为，‎ 在区间上的最小值为．‎ ‎③当时，‎ ‎∵在上递减，在上递增，且，‎ ‎∴在上的最大值为，‎ 在区间上的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，直线交曲线于,两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到.‎ ‎【详解】（1）由消去参数，得直线的普通方程为 又由得，‎ 由得曲线的直角坐标方程为，‎ 即；‎ ‎（2）其代入得，‎ 则 所以.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围得到关于的不等式组，解出即可； ‎ ‎（2）根据题意，原问题可以等价函数和函数图象在区间上有交点，结合二次函数的性质分析函数的值域，即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）可化为，‎ 故，或，或；‎ 解得：，或，或；‎ 不等式的解集为；‎ ‎（2）由题意：，．‎ 故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点 当时，‎ 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．‎ ‎ ‎