2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲（讲）（解析版） 17页

专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲 ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎【答案】(1)；的直角坐标方程为；(2)．‎ ‎【解析】(1)因为，且，‎ 所以C的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)．‎ C上的点到的距离为．‎ 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．‎ ‎【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题．‎ ‎2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．‎ ‎【答案】(1)；(2)2．‎ ‎【解析】(1)设极点为O．在△OAB中，A(3，)，B(，)，‎ 由余弦定理，得AB=．‎ ‎(2)因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．‎ 又，所以点B到直线l的距离为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎(1)；(2)．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析．‎ ‎【解析】(1)因为，又，故有 ‎．所以．‎ ‎(2)因为为正数且，故有 ‎=24．所以．‎ ‎【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．‎ ‎(1)当时，求及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ ‎【答案】(1)，l的极坐标方程为；(2)．‎ ‎【解析】(1)因为在C上，当时，．由已知得．‎ 设为l上除P的任意一点．在中，，经检验，点 在曲线上．所以，l的极坐标方程为．‎ ‎(2)设，在中， 即．因为P在线段OM上，且 ‎，故的取值范围是．所以，P点轨迹的极坐标方程为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．‎ ‎5. 【2018年理数全国卷II】设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】(1)当时，可得的解集为．‎ ‎(2)等价于．而，且当时等号成立．‎ 故等价于．由可得或，‎ 所以的取值范围是．‎ 一、考向分析： ‎ 坐标系与参数方程 坐标系 参数方程 直角坐标系 圆的参数方程 椭圆的参 数方程 极坐标系 直线的参 数方程 不等式选讲 绝对值不等式 不等式证明的基本方法 绝对值不等 式的解法 比较法 综合法 分析法 绝对值三 角不等式 柯西不 等式 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 极坐标与 参数方程 ‎(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．‎ ‎(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．‎ ‎(5)已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)。‎ a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝。‎ b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝。‎ c．若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0。‎ 提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义。‎ 不等式证明 的基本方法 ‎1.绝对值不等式的求解方法 ‎(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,‎ ‎|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.‎ ‎(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. ‎ a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；‎ b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；‎ c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.‎ ‎2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:‎ ‎(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;‎ ‎(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围. 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：‎ ‎(1)a2≥0；(2)|a|≥0；‎ ‎(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；‎ ‎(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，‎ ＋≤－2(ab<0)等．‎ ‎5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．‎ ‎6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：‎ ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．‎ ‎7、当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．‎ 考查绝对值不等式的证明：‎ ‎【例】已知，，，‎ 证明：(1)；(2)．‎ ‎【解析】(1)‎ ‎(2)∵，‎ 所以，因此．‎ ‎【例】已知，，，为实数，且，，证明：．‎ ‎【解析】证明：由柯西不等式可得：，‎ 因为所以，因此.‎ ‎【例】设均为正数，且，证明：‎ ‎(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)得 由题设得，即．‎ 所以，即 ‎(Ⅱ)∵， ∴‎ 即，∴‎ 考查绝对值不等式的解法：‎ ‎【例】设，解不等式．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；‎ 当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；‎ 当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．‎ 考查不等式恒成立问题：‎ ‎【例】已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|。‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集。‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围。‎ ‎【解析】 (1)f(x)＝ 当x<－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2，‎ 当x>2时，由f(x)≥1解得x>2。‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}。‎ ‎(2)法一：原不等式等价于存在x∈R，使f(x)－x2＋x≥m成立，即[f(x)－x2＋x]max≥m，‎ 设g(x)＝f(x)－x2＋x，由(1)知g(x)＝ 当x<－1时，g(x)＝－x2＋x－3开口向下，对称轴为x＝－＝>－1。‎ 所以g(x)2时，g(x)＝－x2＋x＋3，开口向下，对称轴为x＝－＝<2，所以g(x)时，原不等式转化为4x≤6⇒