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- 2021-06-10 发布
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§11.4 随机事件的概率
考纲展示►
1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
考点1 随机事件的关系
1.事件的分类
答案:一定会 一定不会 可能发生也可能不
2.频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的________nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的________稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
答案:(1)次数 (2)频率fn(A)
3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含
关系
如果事件A发生,则事件B________,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
________
(或A⊆B)
相等
关系
若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件
A∪B
(和事件)
若某事件发生当且仅当__________________,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
(或A+B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
________
(或AB)
续表
定义
符号表示
互斥
事件
若A∩B为________事件,那么称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立
事件
若A∩B为________事件,A∪B为________事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅
且A∪B
=U
答案:一定发生 B⊇A 事件A发生或事件B发生 事件A发生且事件B发生 A∩B
不可能 不可能 必然
[教材习题改编]从6名男生、2名女生中任选3人,则下列事件:①3人都是男生;②至少有1名男生;③3人都是女生;④至少有1名女生.其中是必然事件的序号有__________.
答案:②
解析:因为只有2名女生,所以任选3人,至少有1人是男生.
概率的基本概念:事件的概念;频率与概率的关系.
(1)抛掷骰子一次,出现的点数可能是1,2,3,4,5,6,设事件A表示出现的点数是偶数或不小于5,则A=__________.
答案:{2,4,5,6}
解析:出现偶数有2,4,6,不小于5有5,6,所以事件A={2,4,5,6}.
(2)某射手在同一条件下进行射击,结果如下:
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次,击中靶心的概率约是__________.
答案:0.90
解析:击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易知击中靶心的频率在0.90附近摆动,故P(A)≈0.90.
[典题1] (1)[2017·湖北十市联考]从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
[答案] D
[解析] A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.
(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示“向上的一面出现奇数点”,事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”,事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”,则( )
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
[答案] D
[解析] 根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=∅,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.
[点石成金] 判别互斥事件与对立事件的两种方法
(1)定义法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合,彼此的交集为空集,则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
考点2 随机事件的概率
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:________.
(2)必然事件的概率P(E)=________.
(3)不可能事件的概率P(F)=________.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=________.
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=________,P(A)=________.
答案:(1)[0,1] (2)1 (3)0
(4)P(A)+P(B) 1 1-P(B)
(1)[2017·贵州贵阳一中适应性考试]某校新生分班,现有A,B,C三个不同的班,甲和乙同学将被分到这三个班,每个同学分到各班的可能性相同,则这两名同学被分到同一个班的概率为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:甲,乙两名同学分班有以下情况:(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9种,其中符合条件的有3种,所以这两名同学被分到同一个班的概率为=,故选A.
(2)[教材习题改编]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.
答案:
解析:
根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.
[典题2] 某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
[解] (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
=0.3.
(3)与(1)同理可得,顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.
所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
[题点发散1] 在本例条件下,估计顾客购买乙或丙的概率.
解:解法一:顾客购买乙而不购买丙的概率为=0.315,
顾客购买丙而不购买乙的概率为=0.4,
顾客既购买乙又购买丙的概率为=0.2.
故顾客购买乙或丙的概率为0.315+0.4+0.2=0.915.
解法二:顾客既不购买乙也不购买丙的概率为=0.085.
故顾客购买乙或丙的概率为1-0.085=0.915.
[题点发散2] 在本例条件下,估计顾客至少购买两件商品的概率是多少?
解:顾客只购买一件商品的概率为=0.183.
故顾客至少购买两件商品的概率是1-0.183=0.817.
[点石成金] 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
解:(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为=.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.
考点3 互斥事件与对立事件的概率
(1)[教材习题改编]若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)=__________.
答案:0.3
解析:∵A,B为互斥事件,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)
=0.4+P(B)=0.7,
∴P(B)=0.7-0.4=0.3.
(2)[教材习题改编]经统计,在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有2人排队的概率为__________.
答案:0.74
解析:依题意,“至少有2人排队”记为事件A,则其对立事件为至多有1人排队,
所以P(A)=1-(0.1+0.16)=0.74.
互斥事件:不同时发生;加法公式.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,设A={恰有1名男生},B={恰有2名男生},C={至少有1名男生},D={至少有1名女生},其中彼此互斥的事件是__________,互为对立事件的是__________.
答案:A与B,B与D B与D
解析:设I
为从3名男生和2名女生中,任选2名同学去参加演讲比赛所发生的所有情况.
因为A∩B=∅,B∩D=∅,
所以A与B,B与D为互斥事件.
因为B∩D=∅,B∪D=I,
所以B与D互为对立事件.
[典题3] [2017·河南洛阳模拟]经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
[解] 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则
G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)解法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则
H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
解法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
[点石成金] 求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便.
[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和(或差).
某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解:(1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.
故事件A,B,C的概率分别为,,.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.
设“1张奖券中奖”这个事件为M,
则M=A∪B∪C.
∵A,B,C两两互斥,
∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
∴P(N)=1-P(A∪B)
=1-=.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[方法技巧] 1.从集合角度理解互斥事件和对立事件
从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
真题演练集训
1.[2014·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24=16(种),其中仅在周六(周日)参加的各有1种,
∴所求概率为1-=.
2.[2015·江苏卷]袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
答案:
解析:由古典概型概率公式,得
所求事件的概率为P==.
3.[2016·北京卷]A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
解:(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×=40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.
由题意可知,P(Ai)=,i=1,2,…,5;
P(Cj)=,j=1,2,…,8.
P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=×=,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,
E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)
=15×=.
(3)μ1<μ0.
课外拓展阅读
方程思想在概率问题中的运用探讨
[典例] 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
[思路分析] 本题可利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解,也可逐个求各色球的个数再求其概率.
[解] 解法一:从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,
则有P(A)=,
P(B∪C)=P(B)+P(C)=,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=,
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=,
联立解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.
解法二:设红球有n个,则=,
所以n=4,即红球有4个.
又得到黑球或黄球的概率是,
所以黑球和黄球共5个.
又总球数是12,
所以绿球有12-4-5=3(个).
又得到黄球或绿球的概率也是,
所以黄球和绿球共5个,
而绿球有3个,
所以黄球有5-3=2(个).
所以黑球有12-4-3-2 =3(个).
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是=,=,=.