- 103.00 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
大题考法专训(七) 导数与函数的单调性、极值、最值
A级——中档题保分练
1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=asin x+bcos x(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为y=x-.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=在上的最小值.
解:(1)由切线方程知,当x=时,y=0,
∴f=a+b=0.
∵f′(x)=acos x-bsin x,
∴由切线方程知,f′=a-b=1.
∴a=,b=-.
(2)由(1)知,f(x)=sin x-cos x=sin.
∴g(x)=,g′(x)=.
设u(x)=xcos x-sin x,
则u′(x)=-xsin x<0,故u(x)在上单调递减.∴u(x)<u(0)=0,∴g(x)在上单调递减.
∴g(x)在上的最小值为g=.
2.已知函数f(x)=xex-a(a∈R).
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
解:(1)当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,
所以切线的斜率k=f′(1)=2e.
又f(1)=e,
- 6 -
所以y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0.
(2)f′(x)=(x+1)(ex-a),
令f′(x)=0,得x=-1或x=ln a.
①当a=时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.
②当0<a<时,ln a<-1,由f′(x)>0,得x<ln a或x>-1;由f′(x)<0,得ln a<x<-1,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1).
③当a>时,ln a>-1,由f′(x)>0,得x<-1或x>ln a;由f′(x)<0,得-1<x<ln a,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a).
综上所述,当a=时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1);
当a>时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a).
3.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1,a∈R.
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值;
(2)求a的取值范围,使得f(x)≥1恒成立.
解:(1)f′(x)=x-(a+1)+(x>0).
∵x=3是f(x)的极值点,
∴f′(3)=3-(a+1)+=0,解得a=3.
当a=3时,f′(x)==.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化见下表:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
- 6 -
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)的极大值为f(1)=-.
(2)要使f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2-(a+1)x+aln x≥0恒成立.
设g(x)=x2-(a+1)x+aln x,
则g′(x)=x-(a+1)+=.
①当a≤0时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(0,1),
由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(1,+∞),
∴g(x)min=g(1)=-a-≥0,解得a≤-.
②当0<a<1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(a,1),
由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞),
此时g(1)=-a-<0,不合题意.
③当a=1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,不合题意.
④当a>1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(1,a),
由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,不合题意.
综上所述,若满足f(x)≥1恒成立,a的取值范围为.
B级——拔高题满分练
1.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.
解:(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),
则h′(x)=-ax-2.
由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
知当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,
- 6 -
即a>-有解.
设G(x)=-,则只要a>G(x)min即可,
而G(x)=2-1,
所以G(x)min=-1,
所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).
(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.
设G(x)=-,则a≥G(x)max,
而G(x)=2-1.
又x∈[1,4],所以∈,
所以G(x)max=-(此时x=4),
所以a≥-,
即实数a的取值范围为.
2.(2019·银川模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
解:(1)∵f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,
∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f′(x)=-2ax+(a-2)=.
∵f(x)在x=1处取得极值,
即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,∴a=-1.
当a=-1时,在内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.
∴a=-1.
(2)∵a2<a,∴0<a<1.f′(x)=-2ax+(a-2)=,
- 6 -
∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,
∴当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上单调递增,
∴f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a.
②当即<a<时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)max=f=-ln 2-+=-1-ln 2.
③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,
∴f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2.
综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是ln a-a3+a2-2a;
当<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln 2;
当≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2ln a-a5+a3-2a2.
3.已知函数f(x)=ex(cos x-sin x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)令g(x)=f(x)+ex(2x-2)-a(x2+2cos x),讨论g(x)的单调性并判断有无极值,若有,求出极值.
解:(1)∵f′(x)=ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=-2exsin x,∴f′(0)=0.
又f(0)=1,∴切线方程为y=1.
(2)依题意得g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),
∴g′(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2(x-sin x)(ex-a).
令u(x)=x-sin x,则u′(x)=1-cos x≥0,
∴函数u(x)在R上单调递增.
∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.
当a≤0时,ex-a>0,则x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;x<0时,g′(x)<0,函数g(x)在(-∞,0)上单调递减.∴x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-2a-1,无极大值.
- 6 -
当a>0时,g′(x)=2(x-sin x)(ex-a)=2(x-sin x)·(ex-eln a),
令g′(x)=0,得x1=ln a,x2=0.
①若0<a<1,
x∈(-∞,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
∴当x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-2a-1;
当x=ln a时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].
②若a=1,ln a=0,x∈R时,g′(x)≥0,
∴函数g(x)在R上单调递增,无极值.
③若a>1,ln a>0,
x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴当x=0时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(0)=-2a-1;当x=ln a时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].
综上所述,当a≤0时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,g(x)的极小值为-2a-1,无极大值;
当0<a<1时,函数g(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,g(x)的极小值为-2a-1,极大值为-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2];
当a=1时,函数g(x)在R上单调递增,无极值;
当a>1时,函数g(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,g(x)的极大值为-2a-1,极小值为-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].
- 6 -