数学文卷·2018届湖北省鄂南高中 、华师一附中、黄冈中学等八校高三上学期第一次联考（2017 13页

‎ 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 ‎ 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 ‎2018届高三第一次联考 数学试题（文） ‎ 命题学校：黄冈中学 命题人：郭 旭 肖海东 审题人：詹 辉 ‎ 审定学校：孝感高中 审定人：詹辉 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第4题图 ‎4． ‎2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚‎8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题 ‎② 命题“设，若，则或”是一个真命题 ‎③“”的否定是“”‎ ‎④ 是的一个必要不充分条件 A． B． C． D．‎ ‎6．如图，已知椭圆的中心为原点,为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则 ‎（　　） ‎ A． B． C． D．‎ 第8题图 ‎4‎ ‎2‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎8．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 输入n,x 开始 v=1‎ i≥0？‎ 输出v 结束 v=vx+i i=i-1‎ i=n-1‎ 否 是 第9题图 ‎10．已知为圆周率，为自然对数的底数，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（　　）‎ (1) ‎ B． C． D．‎ ‎12．已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知平面向量,的夹角为，且,，若，则_____．‎ ‎14．已知满足约束条件，且的最小值为，则常数_______．‎ ‎15．已知函数，若，，则函数的值域为_________．‎ ‎16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在中，角,,的对边分别为,,．‎ ‎（1）若，且为锐角三角形，,，求的值；‎ ‎（2）若,，求的取值范围．‎ 第18题图 A D B C E ‎18．（12分）‎ 如图，直三棱柱中，,，, ‎ 分别为和上的点，且．‎ ‎（1）当为中点时，求证：；‎ ‎（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值． ‎ ‎19．（12分）‎ 为研究患肺癌与是否吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，‎ 但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总 人数的；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为．‎ ‎（1）若吸烟不患肺癌的有人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；‎ ‎（2）若研究得到在犯错误概率不超过的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？‎ 附：，其中．‎ ‎20．（12分）‎ 已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；‎ ‎（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数（）．‎ ‎　　（1）若函数是单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，都有．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）‎ 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）A,B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求的值．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） ‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（1）若,，解不等式；（2）若的最小值为，求的最小值．‎ 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 ‎ 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 ‎2018届高三第一次联考 文科数学参考答案 ‎1．答案：C 解析：∵，又，∴集合的个数为个，故选C．‎ ‎2．答案：D 解析：∵，∴‎ 解得，故选D．‎ ‎3．答案：D 解析：∵，∴，，，‎ 故选D．‎ ‎4．答案：B 解析：设军旗的面积为，则有，解得，故选B．‎ ‎5．答案：C 解析：对于①，原命题的逆命题为：若中至少有一个不小于，则，而满足中至少有一个不小于，但此时，故①是假命题；对于②，‎ 此命题的逆否命题为“设，若且，则”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“”的否定是“”，故③是假命题；对于④，由可推得，故④是真命题，故选C．‎ ‎6．答案：C 解析：由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得，‎ 由椭圆定义，得，从而，得，‎ 于是，所以椭圆的方程为，故选C．‎ ‎7．答案：D 解析：∵，∴，故，又，∴，‎ ‎∴，，，故选D．‎ ‎8．答案：A 解析：由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：，故选A．‎ ‎9．答案：B 解析：∵输入的，，故，，满足进行循环的条件；‎ ‎，，满足进行循环的条件；，，满足进行循环的条件；‎ ‎，，不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选B ‎10．答案：B 解析：函数是上的增函数，A错；‎ ‎，B对； ‎ ‎，而函数是上的减函数，C错； ‎ ‎，而函数是上的增函数，‎ D错，‎ 故选B．‎ ‎11．答案：A 解析：定义域为，‎ ‎①当时，，，‎ 令，解得，‎ 由，得，由，得，‎ ‎∴当时，．‎ 又是偶函数，∴图象关于轴对称，，‎ ‎∵只有个公共点，∴最大值为1．‎ 则最长周期为，即，即，‎ 则，∴，‎ 解得，故周期最大的，故选A．‎ ‎12．答案：B 解析：由（），可得此数列为：‎ ‎，‎ 的整数项为,∴数列的各项依次为：‎ ‎，末位数字分别是，‎ ‎∵，故的末位数字为2，故选B．‎ ‎13．答案：‎ 解析：∵，‎ ‎∴，解得．‎ ‎14．答案：‎ 解析：联立方程解得两直线的交点为，‎ 由得直线方程，结合图象可知当直线过点时，最小，，‎ 解得．‎ ‎15．答案：‎ 解析：由题意可得，解得，‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，则函数的值域为．‎ ‎16．答案：‎ 解析：由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为．‎ ‎17．解：（1）∵，∴，又∵为锐角，，而，即，解得（舍负），∴．...............................5分 ‎（2）方法一：（正弦定理）‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵，∴，∴，∴．..............................10分 方法二：（余弦定理）‎ 由余弦定理可得，即，‎ ‎∴，又由两边之和大于第三边可得，∴．...........................10分 ‎18．解：（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，‎ ‎∴平行四边形为正方形，∴， ‎ ‎∵，为的中点，∴，‎ ‎∵三棱柱为直三棱柱，‎ ‎∴平面，又平面，∴， ‎ 又，∴平面，‎ ‎∵平面，∴． ...............................6分 ‎ ‎（2）设，则 由已知可得到平面的距离即为的边所对的高， ‎ ‎∴‎ ‎∴当，即为的中点时，有最小值18． ...............................12分 ‎ 19． 解：（1）设吸烟人数为，依题意有，所以吸烟的人有人，故有吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共 种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为． ...............................6分 ‎ ‎（2）方法一：设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：‎ 患肺癌 不患肺癌 合计 吸烟 不吸烟 总计 由表得，，由题意，∴，‎ ‎∵为整数，∴的最小值为．则，即吸烟人数至少为人．‎ 方法二：设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：‎ 患肺癌 不患肺癌 合计 吸烟 不吸烟 总计 由表得，，由题意，∴，∵为整数且为的倍数，∴的最小值为即吸烟人数至少为人． ...............................12分 19． 解析：（1）∵点，∴，解得，‎ 故抛物线的方程为：，当时，，‎ ‎∴的方程为，联立可得，，‎ 又∵，，∴． ...............................5分 ‎（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，‎ 设 ，则，，①‎ 由得：，‎ 整理得，②‎ 将①代入②解得，∴直线，‎ ‎∵圆心到直线的距离，∴，‎ 显然当时，，的长为定值． ...............................12分 ‎21．解：（1）函数的定义域为，∵，∴，‎ ‎∵函数是单调函数，∴或在上恒成立，‎ ‎①∵，∴，即，，‎ 令，则，当时，；当时，．‎ 则在上递减，上递增，∴，∴；‎ ‎②∵，∴，即，，‎ 由①得在上递减，上递增，又，时，∴；‎ 综上①②可知，或； ...............................6分 ‎（2）由（1）可知，当时，在上递减，∵，‎ ‎∴，即，∴，‎ 要证，只需证，即证，‎ 令，，则证，令，则，‎ ‎∴在上递减，又，∴，即，得证． ...............................12分 ‎22．解：（1）由得，‎ 将，代入得到曲线C的普通方程是． ...............................5分 ‎（2）因为，所以，‎ 由OA⊥OB，设，则B点的坐标可设为，‎ 所以． ...............................10分 ‎23．解：（1），左式可看作数轴上，点到－2和1两点的距离之和，‎ 当或2时，距离之和恰为5，故；解集为． ...............................5分 ‎（2），∴，‎ 由柯西不等式得，∴，‎ 当且仅当时等号成立，∴的最小值为3． ...............................10分