数学卷·2018届江西省宜春三中高二上学期第二次月考数学试卷 （解析版） 19页

‎2016-2017学年江西省宜春三中高二（上）第二次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎2．已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（　　）‎ A．100 B．210 C．380 D．400‎ ‎3．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（　　）‎ A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|‎ ‎4．若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则ab的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎5．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，2]‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（　　）‎ A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15°‎ ‎7．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则的值为（　　）‎ A． B．4 C． D．±4‎ ‎8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（　　）km．‎ A．5（+） B．5（﹣） C．10（﹣） D．10（+）‎ ‎9．若x、y满足，则z=x+2y的最大值为（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎10．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎11．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知等差数列{an}中，a1=142，d=﹣2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是（　　）‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎　‎ 一、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13．正实数x，y满足： +=1，则x2+y2﹣10xy的最小值为　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4‎ 成等比数列，数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎15．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为　　．‎ ‎16．如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为　　米．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|}‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）解不关于x的不等式ax2+（ac+2）x+2c≥0．‎ ‎18．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．‎ ‎20．某种商品第一天上市售价42元，以后每天提价2元，并且在开始销售的前10天内每天的销售量与上市天数的关系是g（x）=150﹣5x（其中x表示天数）‎ ‎（1）写出上市10天内商品销售价y与天数x的关系式；‎ ‎（2）求该商品在上市10天内，哪一天的销售金额最大？并求出最大金额．‎ ‎21．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．‎ ‎（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；‎ ‎（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．‎ ‎22．数列{an}的前n项和为An=n2+bn，数列{bn}是等比数列，公比q＞0，且满足a1=b1=2，b2，a3，b3成等差数列；‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{cn}满足cn=bn+，求cn的前n项和．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春三中高二（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．‎ ‎【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，‎ ‎∴解得：b=3或﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（　　）‎ A．100 B．210 C．380 D．400‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．‎ ‎【解答】解：d=，a1=3，‎ ‎∴S10=‎ ‎=210，‎ 故选B ‎　‎ ‎3．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（　　）‎ A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】根据x＞y＞z和x+y+z=0，有3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，从而得到x＞0，z＜0．再不等式的基本性质，可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵x＞y＞z ‎∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，‎ ‎∴x＞0，z＜0．‎ 由 得：xy＞xz．‎ 故选C ‎　‎ ‎4．若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则ab的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再计算ab的值．‎ ‎【解答】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），‎ 所以方程x2+ax+b=0的实数根为﹣1和2，‎ 所以，解得a=﹣1，b=﹣2，‎ 所以ab=﹣1×（﹣2）=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，2]‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由复合函数和分段函数分类讨论可化不等式为几个不等式组，解不等式组可得．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ 当x＞0时，f（x）=﹣x2＜0，∴f（f（x））=（﹣x2）2+2（﹣x2）=x4﹣2x2，‎ 不等式f（f（x））≤3可化为，解得0＜x≤；‎ 当x=0时，f（x）=0，∴f（f（x））=0，不等式f（f（x））≤3可化为0≤3，可得x=0；‎ 当﹣2＜x＜0时，f（x）=x2+2x＜0，∴f（f（x））=（x2+2x）2+2（x2+2x），‎ 不等式f（f（x））≤3可化为（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，结合﹣2＜x＜0可得﹣2＜x＜0；‎ 当x≤﹣2时，f（x）=x2+2x≥0，∴f（f（x））=﹣（x2+2x）2，‎ 不等式f（f（x））≤3可化为﹣（x2+2x）2≤3，结合x≤﹣2可得x≤﹣2；‎ 综上可得不等式f（f（x））≤3解集为：（﹣∞，]‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（　　）‎ A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先根据正弦定理求得sinC的值，则C可求，最后根据三角形内角和求得B．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴sinC=•sinA=×=，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴∠C=45°或135°，‎ ‎∴B=105°或15°，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则的值为（　　）‎ A． B．4 C． D．±4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，‎ ‎∴a3=2，a15=4；或a3=4，a15=2．‎ 可知a1q2=2，a1＞0．‎ ‎∴=．‎ 则==a9=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（　　）km．‎ A．5（+） B．5（﹣） C．10（﹣） D．10（+）‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理求出BC的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°‎ 所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，‎ 即BC==10（﹣）km，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．若x、y满足，则z=x+2y的最大值为（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过可行域内的点A时，从而得到z=x+2y的最大值即可．‎ ‎【解答】解：在直角坐标系内，‎ 画出可行域为图中阴影部分（O为原点），‎ A （3，2），‎ 由图可知，最优解为A （3，2），‎ 故Zmax=7．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．关于x的不等式ax2+bx+2＞‎ ‎0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），‎ ‎∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根 ‎∴‎ ‎∴a=﹣1，b=1‎ ‎∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，‎ ‎∴x＜﹣2或x＞1‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可 ‎【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行 ‎∵kAC=，‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ 则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，‎ 由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，‎ 其取得最大值，最大值是=‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知等差数列{an}中，a1=142，d=﹣2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是（　　）‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得新的数列也是等差数列，求出公差和通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=142，d=﹣2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，‎ ‎∴新的数列{bn}是以a1=142为首项，a4﹣a1=3d=﹣6为公差的等差数列，‎ ‎∴bn=142+（n﹣1）×（﹣6）=148﹣6n．‎ 令148﹣6n≥0，解得，‎ ‎∴数列{bn}的前24项都为正数，从第25项开始为负数，‎ 因此此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值为24．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 一、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13．正实数x，y满足： +=1，则x2+y2﹣10xy的最小值为　﹣36　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由+=1得x+y=xy，则x2+y2﹣10xy=（xy﹣6）2﹣36，根据二次函数的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：由+=1得x+y=xy，‎ 平方得x2+y2+2xy=（xy）2，‎ 即x2+y2=﹣2xy+（xy）2，‎ 则x2+y2﹣10xy=（xy）2﹣2xy﹣10xy=（xy）2﹣12xy=（xy﹣6）2﹣36，‎ 当xy=6时，有最小值，即最小值为﹣36，‎ 故答案为：﹣36．‎ ‎　‎ ‎14．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，数列{an}的通项公式an=　2n﹣1　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的首项为a1，由已知列式求得a1，代入等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，且公差为2，‎ 由S1，S2，S4成等比数列，得，‎ 解得：a1=1．‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为　2　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．‎ ‎【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．‎ ‎∴S△ABC=bcsinA==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为　600　米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】求出BC，AC的值，由余弦定理再求AB，即可得结论．‎ ‎【解答】解：航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC=60°，∠PAC=30°．‎ 航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB=30°，∠CPB=45°．‎ 故有BC=PC=600，AC===600．‎ 所以，由余弦定理知AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB=360000+360000×3﹣2×=360000．‎ 可求得AB=600．‎ 故答案为：600．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|}‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）解不关于x的不等式ax2+（ac+2）x+2c≥0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；‎ ‎（2）由a、c的值代入化简不等式ax2+（ac+2）x+2c≥0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为 和，‎ 由根与系数的关系，得 ‎，‎ 解得a=﹣6，c=﹣1；‎ ‎（2）由a=﹣6，c=﹣1知不等式ax2+（ac+2）x+2c≥0可化为 ‎﹣6x2+8x﹣2≥0，‎ 即3x2﹣4x+1≤0，‎ 解得≤x≤1，‎ 所以不等式的解集为[，1]．‎ ‎　‎ ‎18．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式an．‎ ‎（2）由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16，‎ ‎∴2q3=16，解得q=2，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 解得b1=2，d=2，‎ ‎∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．‎ Sn==n2+n．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+ab，即b2+c2﹣a2=﹣bc，‎ ‎∴cosA==﹣，‎ 则A=；‎ ‎（Ⅱ）∵a=，sinA=，‎ ‎∴由正弦定理==得：b=，csinA=asinC，‎ ‎∴S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，‎ ‎∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），‎ 当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取得最大值为3．‎ ‎　‎ ‎20．某种商品第一天上市售价42元，以后每天提价2元，并且在开始销售的前10天内每天的销售量与上市天数的关系是g（x）=150﹣5x（其中x表示天数）‎ ‎（1）写出上市10天内商品销售价y与天数x的关系式；‎ ‎（2）求该商品在上市10天内，哪一天的销售金额最大？并求出最大金额．‎ ‎【考点】一元二次不等式与二次函数．‎ ‎【分析】（1）根据等差数列的通项公式得出y关于x的关系式；‎ ‎（2）求出销售金额关于x的函数解析式，利用二次函数的性质求出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）y=42+2（x﹣1）=2x+40．（x∈N，1≤x≤10）‎ ‎（2）设商品的销售额为z，则z=（2x+40）=﹣10x2+100x+6000=﹣10（x﹣5）2+6250．‎ ‎∴当x=5时，z取得最大值6250．‎ ‎∴上市第5天销售金额最大，最大金额为6250元．‎ ‎　‎ ‎21．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．‎ ‎（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；‎ ‎（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．‎ ‎【考点】解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．‎ ‎【分析】（1）由可得，从而可求tanx，而 ‎（2）由正弦定理得， 可求A=代入可得，结合已知x可求函数的值域 ‎【解答】解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），‎ 所以A=‎ ‎∵∴‎ 所以 ‎　‎ ‎22．数列{an}的前n项和为An=n2+bn，数列{bn}是等比数列，公比q＞0，且满足a1=b1=2，b2，a3，b3成等差数列；‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{cn}满足cn=bn+，求cn的前n项和．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】（1）令n=1得出b，于是an=An﹣An﹣1，根据b2，a3，b3成等差数列求出q，从而得出bn；‎ ‎（2）使用分项求和与列项求和计算cn的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）∵An=n2+bn，‎ ‎∴当n=1时，a1=1+b=2，∴b=1．‎ ‎∴当n≥2时，an=An﹣An﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n．‎ 显然当n=1时，上式仍成立．‎ ‎∴an=2n．‎ ‎∵数列{bn}是等比数列，公比为q，b1=2．‎ ‎∴b2=2q，b3=2q2．又a3=6，b2，a3，b3成等差数列，‎ ‎∴2q+2q2=12．解得q=2或q=﹣3（舍）．‎ ‎∴bn=2•2n﹣1=2n．‎ ‎（2）cn=2n+=2n+﹣．‎ 设{cn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn=2+22+23+…+2n+（1﹣）+（）+（）+…+（）‎ ‎=+（1﹣）‎ ‎=2n+1﹣﹣1．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日