数学理·湖北省荆州市五县市区2017届高三上学期期末数学试卷（理科）+Word版含解析 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省荆州市五县市区高三（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若集合A={x|1≤2x≤16}，B={x|log3（x2﹣2x）＞1}，则A∩B等于（　　）‎ A．（3，4] B．[3，4] C．（﹣∞，0）∪（0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，4]‎ ‎2．计算sin46°•cos16°﹣cos314°•sin16°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知tan（α﹣）=，则的值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．﹣2‎ ‎4．设命题p：∃x0∈（0，+∞），，则命题p的否定为（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），3x＜x3 B．∀x∈（0，+∞），3x＞x3‎ C．∀x∈（0，+∞），3x≥x3 D．∃x∈（0，+∞），3x≥x3‎ ‎5．已知实数x，y满足，其中a=（x2﹣1）dx，则实数的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设向量，若与不共线，且，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（　　）‎ A．函数g（x）是奇函数 B．函数g（x）在区间[π，2π]上是增函数 C．函数g（x）的最小正周期是4π D．函数g（x）的图象关于直线x=π对称 ‎8．在一球面上有A，B，C三点，如果AB=4，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．100π D．144π ‎9．如图程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n，an，x分别为5，1，﹣2，且a4=5，a3=10，a2=10，a1=5，a0=1，则输出的v=（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎10．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知O，F分别为双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数是f'（x），且x4f'（x）+3x3f（x）=ex，，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值，又无极小值 D．既有极大值，又有极小值 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，且，则=　　．‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn=an+1（n∈N*），设bn=log3|an|，则数列{bn}的通项公式为　　．‎ ‎15．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，则该三棱锥的外接球的面积为　　．‎ ‎16．若函数f（x）=（ex+ae﹣x）sinx为奇函数，则a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎（Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=5S2+18，a3n=3an，数列{bn}满足b1•b2•…•bn=4Sn．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=log2bn，且数列的前n项和为Tn，求T2016．‎ ‎19．在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=3，AA1=3，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．‎ ‎20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求的取值范围．‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数m使得恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；‎ ‎（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省荆州市五县市区高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若集合A={x|1≤2x≤16}，B={x|log3（x2﹣2x）＞1}，则A∩B等于（　　）‎ A．（3，4] B．[3，4] C．（﹣∞，0）∪（0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，4]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|1≤2x≤16}={x|0≤x≤4}，‎ B={x|log3（x2﹣2x）＞1}={x|x＜﹣1或x＞3}，‎ ‎∴A∩B={x|3＜x≤4}=（3，4]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．计算sin46°•cos16°﹣cos314°•sin16°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值．‎ ‎【解答】解：sin46°•cos16°﹣cos314°•sin16°=sin46°•cos16°﹣cos46°•sin16°‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知tan（α﹣）=，则的值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由tan（α﹣）=，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除以cosα，然后代入即可求出表达式的值．‎ ‎【解答】解：由tan（α﹣）==，‎ 得tanα=3．‎ 则=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．设命题p：∃x0∈（0，+∞），，则命题p的否定为（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），3x＜x3 B．∀x∈（0，+∞），3x＞x3‎ C．∀x∈（0，+∞），3x≥x3 D．∃x∈（0，+∞），3x≥x3‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】利用命题p的否定等腰即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），，‎ 则命题p的否定为：∀x∈（0，+∞），3x≥x3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知实数x，y满足，其中a=（x2﹣1）dx，则实数的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划；定积分．‎ ‎【分析】根据函数的积分公式求出a的值，然后作出不等式组对应的平面区域，根据直线斜率的公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：a=（x2﹣1）dx=（x3﹣x）|=33﹣3=9﹣3=6，‎ 则不等式组等价为，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，‎ 由图象知AD的斜率最小，‎ 由得，即A（2，4），‎ 此时AD的斜率k==，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设向量，若与不共线，且，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，得出结论．‎ ‎【解答】解：向量，若与不共线，且，‎ 则=﹣=+=•（﹣）+=+，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（　　）‎ A．函数g（x）是奇函数 B．函数g（x）在区间[π，2π]上是增函数 C．函数g（x）的最小正周期是4π D．函数g（x）的图象关于直线x=π对称 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】求出平移变换后的函数的解析式，然后根据函数图象的性质进行解答．‎ ‎【解答】解：把函数的图象向右平移个单位长度，‎ 得函数g（x）=sin[（x﹣）+]=﹣cos．‎ A、数g（x）是偶函数，故本选项错误；‎ B、当x∈[π，2π]时，∈[，]，则函数g（x）=﹣cos单调递增，即函数g（x）在区间[π，2π]上增函数，故本选项正确；‎ C、函数g（x）的最小正周期为==8π，故本选项错误；‎ D、函数g（x）的图象关于直线x=4kπ（k∈Z）对称，故本选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在一球面上有A，B，C三点，如果AB=4，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．100π D．144π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=4，利用球心O到平面ABC的距离为3，可得答案．‎ ‎【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴2r==8，‎ ‎∴r=4，‎ ‎∵球心O到平面ABC的距离为3，‎ ‎∴半径R==5，‎ ‎∴球O的表面积为4π•52=100π，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．如图程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n，an，x分别为5，1，﹣2，且a4=5，a3=10，a2=10，a1=5，a0=1，则输出的v=（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法 anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0=（（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0求值；‎ 代入数据计算v的值即可．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法 anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0=（（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0求值；‎ ‎∵n=5，a5=1，x=﹣2，a4=5，a3=10，a2=10，a1=5，a0=1，‎ ‎∴输出v=（（（（1×（﹣2）+5）×（﹣2）+10）×（﹣2））+10）×（﹣2）+5）×（﹣2）+1=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10‎ ‎．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，即可德川家康．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，‎ 棱锥最长的棱长等于=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知O，F分别为双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M（m，n），则G（，n），利用FG⊥OG，求出n，可得m，利用|OM|=|OF|，求出E的离心率．‎ ‎【解答】解：设M（m，n），则G（，n），‎ ‎∵FG⊥OG，∴，∴n=，‎ ‎∴=1，∴m2=，‎ ‎∵|OM|=|OF|，∴+=c2，‎ ‎∴2a2=c2，∴e==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数是f'（x），且x4f'（x）+3x3f（x）=ex，，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值，又无极小值 D．既有极大值，又有极小值 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 设h（x）=ex﹣3f（x）x3，‎ 则h'（x）=ex﹣3[f'（x）x3+3f（x）x2]‎ ‎=‎ ‎=，‎ 所以h（x）≥h（3）=e3﹣81f（3）=0，‎ 即f'（x）≥0，因此f（x）在（0，+∞）递增，既无极大值，又无极小值，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，且，则=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先根据正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，得到正△ABC的边长为2，再根据向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算求出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，‎ ‎∴正△ABC的边长为2，‎ ‎∴=（﹣）•=（﹣）=﹣=﹣2×2×=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn=an+1（n∈N*），设bn=log3|an|，则数列{bn}的通项公式为　bn=﹣n．　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式可得an．‎ ‎【解答】解：∵4Sn=an+1（n∈N*），∴4a1=a1+1，解得a1=．‎ n≥2时，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）=an﹣an﹣1，可得，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为﹣．‎ ‎∴an=．‎ ‎∴bn=log3|an|==﹣n，‎ 故答案为：bn=﹣n．‎ ‎　‎ ‎15．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，则该三棱锥的外接球的面积为　60π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的面积．‎ ‎【解答】解：取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，‎ 由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，‎ ‎∴EF=AD=，‎ 易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，‎ 连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，‎ ‎∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，‎ ‎∴R=‎ ‎∴三棱锥的外接球的面积为4πR2=60π．‎ 故答案为60π ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=（ex+ae﹣x）sinx为奇函数，则a=　1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由题意得（ex+ae﹣x）sinx=﹣sin（﹣x）（e﹣x+aex），从而化简求得．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=（ex+ae﹣x）sinx为奇函数，‎ ‎∴（ex+ae﹣x）sinx=﹣sin（﹣x）（e﹣x+aex），‎ ‎∴ex+ae﹣x=e﹣x+aex，‎ 故a=1．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎（Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．‎ ‎（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．‎ 由余弦定理可得：cosA===，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A=．‎ ‎（II）f（x）==sinx+=+，‎ 在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，‎ ‎∴∈，‎ ‎∴f（B）的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=5S2+18，a3n=3an，数列{bn}满足b1•b2•…•bn=4Sn．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=log2bn，且数列的前n项和为Tn，求T2016．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式可得an，利用递推关系可得bn．‎ ‎（II）cn=log2bn=6n， ==，利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，‎ 则 由（1）得2a1﹣5d+9=0，‎ 由（2）得a1=d，联立得a1=d=3，‎ 所以an=3n．‎ 易知b1=64，‎ 当n≥2时，又，‎ 两式相除得，b1=64满足上式，所以．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，‎ 因此．‎ ‎　‎ ‎19．在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=3，AA1=3，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意求得∠ABD=∠AB1B，且∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，则AB1⊥BD．再由CO⊥侧面ABB1A1，得AB1⊥CO．结合线面垂直的判定可得AB1⊥平面CBD，进一步得到BC⊥AB1； ‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出相应点的坐标，再求得平面ABC及平面A1AC的法向量，由两个法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣AC﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意tan∠ABD==，tan∠AB1B==，‎ ‎∵0＜∠ABD＜，0＜∠AB1B＜，∴∠ABD=∠AB1B，‎ ‎∴∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，则AB1⊥BD．‎ 又CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊥CO．‎ 又BD与CO交于点O，AB1⊥平面CBD，‎ 又BC⊂平面CBD，BC⊥AB1； ‎ ‎（Ⅱ）解：如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，‎ 则，B（，0，0），C（0，0，），B1（），‎ ‎∴，，．‎ 设平面ABC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令x=1，可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量．‎ 设平面A1AC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令x=2，可得=（2，﹣，）是平面A1AC的一个法向量．‎ 设二面角A1﹣AC﹣B的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=||==．‎ 二面角A1﹣AC﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B，即可求抛物线E和圆D的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），则=2，即k2+6kb+b2=8，联立y=kx+b与抛物线，利用韦达定理及向量数量积公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，，‎ 由p2=4得p=2，圆D半径R=2，‎ 所以抛物线E：y2=4x，圆（x﹣3）2+y2=8．‎ ‎（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），‎ 则=2，即k2+6kb+b2=8，①‎ 联立y=kx+b与抛物线得ky2﹣4y+4b=0，△=16﹣16kb，‎ 由①知kb≤1，即△≥0‎ 所以方程ky2﹣4y+4b=0有两个实数根y1，y2，且y1+y2=，y1y2=‎ ‎= [（y1y2）2﹣4（y1+y2）2+24y1y2+16]= =‎ 因为|k|≥1，所以的取值范围是（0，4]．‎ ‎　‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数m使得恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，由即可求得a值，把a值代入函数解析式，得到当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况表，由图表可得f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）等价于，或，令g ‎（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），求其二阶导数，然后对m分类讨论得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点为（x0，0），则f′（x）=，‎ 依题意，即，‎ 解得．‎ ‎∴f（x）=ln（x+1）﹣x，f′（x）=．‎ 当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎ （﹣1，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）存在m=，理由如下：‎ 等价于，或．‎ 令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），‎ 则g′（x）=，g″（x）=，‎ ‎①若m=，‎ 当﹣1＜x＜0时，﹣＜﹣1，m（x+2）ex＜1，∴g″（x）＜0；‎ 当x＞0时，﹣＞﹣1，m（x+2）ex＞1，∴g″（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）在单调递减区间为（﹣1，0），单调递增为（0，+∞），‎ 又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，当且仅当x=0时，g′（x）=0，‎ 从而g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又g（0）=0，‎ ‎∴或，即＞m（1﹣ex）成立．‎ ‎②若m，∵g″（0）=2m﹣1＞0，‎ g″（）=＜﹣4m2+m（）＜0，‎ ‎∴存在x1∈（，0），使得g″（x1）=0，‎ ‎∵g″（x）在（﹣1，0）上单调递增，‎ ‎∴当x∈（x1，0）时，g″（x）＞0，g′（x）在（x1，0）上递增，‎ 又g′（0）=0，∴当x∈（x1，0）时，g′（x）＜0，‎ 从而g（x）在（x1，0）上递减，又g（0）=0，‎ ‎∴当x∈（x1，0）时，g（x）＞0，‎ 此时＞m（1﹣ex）不恒成立；‎ ‎③若m＜，同理可得＞m（1﹣ex）不恒成立．‎ 综上所述，存在实数m=．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．‎ ‎（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．‎ ‎（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．‎ 设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．‎ ‎∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．‎ ‎∴|PQ|=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；‎ ‎（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；‎ ‎（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可；‎ 法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max，求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，‎ 当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈∅；‎ 当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，所以﹣≤x＜1；‎ 当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；‎ 综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；‎ ‎（Ⅱ）f（x）=，‎ 令y=x﹣a，当直线经过点（1，3）时，﹣a=2，‎ 所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；‎ 当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，‎ 所以a≥2+，即a≥4，‎ 综上，a≤﹣2或a≥4．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一，‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，‎ 因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，‎ 所以﹣a≥g（x）max，‎ ‎①当a＞1时，g（x）max=g（a）=﹣2a+4，‎ 所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．‎ ‎②当a≤1时，g（x）max=g（1）=2，‎ 所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，‎ 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2017年3月2日