专题5-1+平面向量的概念及线性运算（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 12页

第01节 平面向量的概念及线性运算 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.平面向量的实际背景及基本概念 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。‎ ‎2013·浙江理7;‎ ‎2014•浙江文22; ‎ ‎2015•浙江理15; ‎ ‎2016•浙江文理15;‎ ‎1.以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； ‎ ‎2.考查单位向量较多.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；‎ ‎(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.‎ ‎2. 向量的线性运算 掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。‎ ‎2013·浙江7;‎ ‎2015•浙江文13, 理.15;‎ ‎2016•浙江文理15;‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．向量的概念 ‎1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．‎ ‎2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．‎ ‎3．单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ 对点练习：‎ 给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．‎ ‎③ (为实数)，则必为零．‎ 其中错误的命题的个数为(　　)‎ ‎ A．1 B．2‎ ‎ C．3 D．0‎ ‎【答案】‎ 故选.‎ ‎2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：；‎ 三角形法则 平行四边形法则 ‎(2)结合律：‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 ‎1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：‎ ‎①|λa|＝|λ||a|；‎ ‎②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.‎ ‎2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：‎ ‎①；②；③.‎ 对点练习：‎ ‎【2015高考新课标1】设为所在平面内一点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=‎ ‎，故选A. ‎ ‎3．共线向量 共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ 对点练习：‎ 设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）k＝1.‎ ‎ ‎ 又∵λ>0，∴k＝1. ‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ ‎ ‎ 平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 向量的有关概念 ‎【1-1】给出下列命题：‎ ‎①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中假命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥.‎ 又∵是不共线的四点，‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ 反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝.‎ ‎③不正确．两向量不能比较大小．‎ ‎④不正确．当时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ 选.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．‎ ‎(3)几个重要结论 ‎①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；‎ ‎②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】给出下列命题：‎ ‎①的充要条件是且；‎ ‎②若向量与同向，且，则；‎ ‎③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；‎ ‎④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；‎ ‎⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；‎ ‎⑥任一向量与它的相反向量不相等．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【答案】⑤‎ 考点2 平面向量的线性运算 ‎【2-1】如图，正方形中，点是的中点，点 是的一个三等分点，那么等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ,故选D. ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.‎ ‎【答案】=a＋b, a＋b，＝a－b.‎ ‎【解析】＝a－b，＝＝a－b，‎ ‎＝a＋b，＝a＋b，‎ ‎＝＋‎ ‎＝＝a＋b，‎ ‎＝a－b.‎ 考点3 共线向量 ‎【3-1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵＝＋，＝＋，‎ ‎∴＝＋＋＋.‎ ‎【领悟技法】‎ 共线向量定理应用时的注意点 ‎(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在(　　)‎ ‎ A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 ‎ C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．故选. ‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例： 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则a与b同向或反向；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．‎ 易错分析：概念理解不清致误． ‎ 答案：④‎ 温馨提醒：(1)易忽略与0的区别，把零向量误写成0而致误．‎ ‎(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|＝|b|误推出a＝±b等．‎ ‎(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】【2017安徽马鞍山二模】已知P､Q为中不同的两点，且0， 0，则 为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 因此， ，故选A. ‎ ‎ ‎