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  • 2021-06-10 发布

专题5-1+平面向量的概念及线性运算(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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第01节 平面向量的概念及线性运算 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.平面向量的实际背景及基本概念 理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。‎ ‎2013·浙江理7;‎ ‎2014•浙江文22; ‎ ‎2015•浙江理15; ‎ ‎2016•浙江文理15;‎ ‎1.以考查向量的线性运算、共线为主,且主要是在理解它们含义的基础上,进一步解题,如利用向量的线性运算求参数等; ‎ ‎2.考查单位向量较多.‎ ‎3.备考重点:‎ ‎ (1) 理解相关概念是基础,掌握线性运算的方法是关键;‎ ‎(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题,注意运用数形结合的思想方法.‎ ‎2. 向量的线性运算 掌握向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义。‎ ‎2013·浙江7;‎ ‎2015•浙江文13, 理.15;‎ ‎2016•浙江文理15;‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.向量的概念 ‎1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.‎ ‎2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的.‎ ‎3.单位向量:长度等于1个单位的向量.‎ ‎4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.‎ ‎5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.‎ ‎6.相反向量:长度相等且方向相反的向量.‎ 对点练习:‎ 给出下列命题:‎ ‎①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.‎ ‎②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.‎ ‎③ (为实数),则必为零.‎ 其中错误的命题的个数为(  )‎ ‎ A.1 B.2‎ ‎ C.3 D.0‎ ‎【答案】‎ 故选.‎ ‎2.平面向量的线性运算 一.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律:;‎ 三角形法则 平行四边形法则 ‎(2)结合律:‎ 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 二.向量的数乘运算及其几何意义 ‎1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:‎ ‎①|λa|=|λ||a|;‎ ‎②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.‎ ‎2.运算律:设λ,μ是两个实数,则:‎ ‎①;②;③.‎ 对点练习:‎ ‎【2015高考新课标1】设为所在平面内一点,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=‎ ‎,故选A. ‎ ‎3.共线向量 共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.‎ 对点练习:‎ 设两个非零向量a与b不共线,‎ ‎(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),‎ 求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)k=1.‎ ‎ ‎ 又∵λ>0,∴k=1. ‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ ‎ ‎ 平面向量的概念及线性运算,往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查共线等问题;也易同解析几何知识相结合,以工具的形式出现.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 向量的有关概念 ‎【1-1】给出下列命题:‎ ‎①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;‎ ‎②若是不共线的四点,则=是四边形为平行四边形的充要条件;‎ ‎③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;‎ ‎④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.‎ 其中假命题的个数为(  )‎ A.1            B.2‎ C.3 D.4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线.‎ ‎②正确.∵=,∴||=||且∥.‎ 又∵是不共线的四点,‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ 反之,若四边形是平行四边形,则且与方向相同,因此=.‎ ‎③不正确.两向量不能比较大小.‎ ‎④不正确.当时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.‎ 选.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点.‎ ‎(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定..‎ ‎(3)几个重要结论 ‎①向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;‎ ‎②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】给出下列命题:‎ ‎①的充要条件是且;‎ ‎②若向量与同向,且,则;‎ ‎③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;‎ ‎④若向量与向量平行,则向量与的方向相同或相反;‎ ‎⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;‎ ‎⑥任一向量与它的相反向量不相等.‎ 其中真命题的序号是________.‎ ‎【答案】⑤‎ 考点2 平面向量的线性运算 ‎【2-1】如图,正方形中,点是的中点,点 是的一个三等分点,那么等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ,故选D. ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.‎ ‎2.找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C,=,=,=a,=b,用a、b表示、、.‎ ‎【答案】=a+b, a+b,=a-b.‎ ‎【解析】=a-b,==a-b,‎ ‎=a+b,=a+b,‎ ‎=+‎ ‎==a+b,‎ ‎=a-b.‎ 考点3 共线向量 ‎【3-1】在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=,=+λ,则λ等于(  )‎ A. B. C.- D.-‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵=+,=+,‎ ‎∴=+++.‎ ‎【领悟技法】‎ 共线向量定理应用时的注意点 ‎(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.‎ ‎(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知是△ABC所在平面内的一点,若,其中λ∈R,则点一定在(  )‎ ‎ A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 ‎ C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,∴.则为共线向量,又有一个公共点三点共线,即点在直线上.故选. ‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例: 下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则a与b同向或反向;④若a=0,则-a=0.其中正确命题的序号为________.‎ 易错分析:概念理解不清致误. ‎ 答案:④‎ 温馨提醒:(1)易忽略与0的区别,把零向量误写成0而致误.‎ ‎(2)易将向量与数量混淆而致误,如|a|=|b|误推出a=±b等.‎ ‎(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】【2017安徽马鞍山二模】已知P、Q为中不同的两点,且0, 0,则 为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 因此, ,故选A. ‎ ‎ ‎

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