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- 2021-06-10 发布
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上海中学2019学年第一学期期中考试数学试卷
一、填空题(每空3分,共36分)
1.已知集合,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据补集定义直接求解可得结果.
【详解】由补集定义可知:
本题正确结果:
【点睛】本题考查集合运算中补集运算,属于基础题.
2.若关于的不等式的解集为,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据解绝对值不等式得;
再由不等式的解集为,对应相等即可求出答案.
【详解】由得
又不等式的解集为,
解得 ,所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题.
3.命题“若,则”逆否命题是________.
【答案】“若,则”
【解析】
【分析】
命题“若,则”的逆否命题为“若,则”即可解答.
【详解】命题“若,则”的逆否命题为“若,则”可得
逆否命题为“若,则”.
故答案为:若,则
【点睛】本题考查四种命题,掌握四种命题间的关系是解决问题的关键,属于基础题.
4.若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A,B为U的子集,且,,则集合A=________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出韦恩图即可得到结论.
【详解】
根据集合关系作出韦恩图(如上图)
,,
由韦恩图得.
故答案为:
【点睛】本题主要考查韦恩图的应用,根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.
5.已知集合,,且
则________.
【答案】或
【解析】
【分析】
首先集合相等转化元素相等,求出 或或
再由集合元素的互异性舍去即可得出答案.
【详解】由,
或解得
或或
由集合元素的互异性可知 (舍去),所以或
故答案为:或
【点睛】本题考查集合之间的相等关系,集合相等转化为元素相等,由于集合元素的无序性,元素相等往往要分情况讨论.
6.若正实数满足:,则的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用基本不等式得出,化简求得即可.
【详解】正实数满足:,
,化简得出,
当且仅当,时等号成立.
故答案为:
【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题,关键是判断、变形得出不等式的条件,属于容易题.
7.已知集合,.若,则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先解出集合,由即可求出.
【详解】由,,
若,所以
故答案为:
【点睛】本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围,属于容易题.
8.已知,定义:表示不小于的最小整数.如
.若,则正实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析:由已知得,即,又因为,又因为x>0,所以,当时,显然不满足条件;当时,,从而得;当时,显然不满足条件.
故正实数 的取值范围是.
考点:新定义创新题.
9.,则的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式结合所求代入公式,即可求解.
【详解】由题意,则,
当且仅当,即时等号成立,
即的最大值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题,关键是判断、变形得出不等式的条件.
10.若使集合中元素个数最少,则实数的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先讨论的取值,解不等式;再由集合的元素个数最少,推出只有满足,
若集合的元素个数最少,由,集合,只需求的最大值即可,再由集合中,只需即可求解.
【详解】由题知集合内不等式为,故
当时,可得;
当时, 可转化为
或,因为,
所以不等式的解集为或,所以或
当时,由,所以不等式的解集为,
所以,此时集合的元素个数为有限个.
综上所述,当时,集合元素个数为无限个,
当时,集合的元素个数为有限个,故当时,集合的元素个数最少,且当
的值越大,集合的元素个数越少,
令(),则,令 解得,所以在内单调递增,在内单调递减,所以,又因为,,所以当,即时,
集合中元素个数最少,故
故答案为:
【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式,综合性比较强.
二、选择题(每题4分,共16分)
11.下列命题中正确的有( )
①很小的实数可以构成集合;②集合与集合是同一个集合;③集合是指第二和第四象限内的点集.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的概念即可判断.
【详解】对于①,集合具有确定性,故①错;
对于②,集合相等必须元素的类型相同,而前者为数,后者为点的集合,故②错;
对于③,坐标轴上的点不属于任何一个象限,故③错;
故选:A
【点睛】本题主要考查集合的概念,属于基础题.
12.设,下列不等式中等号不能成立的有( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解.
【详解】已知
对于A项,,当且仅当时,即时等号成立,故A项正确,不符合题意;
对于B项,,当且仅当时等号成立,故B项正确,不符合题意;
对于C项,,
当且仅当时等号成立,但此时无实数根,所以等号不成立,故C错误,符合题意;
对于D项,,当且仅当,时,
即时,等号成立,故D正确,不符合题意;
故选:C
【点睛】本题主要考查基本不等式,利用基本不等式时,务必验证等号成立的条件.
13.集合,集合,则是的( )条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出集合,结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.
【详解】,且,
即是的充分不必要条件,所以A项正确.
故选:A
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用,同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法,比较基础.
14.使关于的不等式恒成立的实数( )
A. 不存在 B. 有且仅有一个 C. 有不止一个的有限个 D. 无穷多个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质恒成立,只需即可.
【详解】恒成立,则,即
化简整理得,所以,解得
故满足条件的实数有且只有一个.
故选:B
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题,借助一元二次不等式与二次函数的关系,转化为用判别式求解.
三、解答题(本大题共6题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤).
15.设, 比较与的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
首先由化简,,然后由基本不等式得,,两式求和即可得证.
【详解】,
,
根据基本不等式得
①
②
当且仅当时,①②的等号成立,
① ② 得
,即
【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小,此题也可用“作差法”进行比较.
16.解下列不等式:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.
(2)解分式不等式转化为整式不等式,分解因式,利用穿针引线即可求解.
【详解】(1)当时,
当时,
当时,
所以此时无解,
综上所述,故不等式的解集为
(2)
,如图
所以不等式的解集为
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法,解分式不等式式,转化为整式不等式后为一元高次不等式,分解因式利用穿针引线的方法进行求解.
17.据市场分析,某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨(包含10吨和25吨),月生产总成本(万元)可以看成月产量(吨)的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
(1)写出月总成本(万元)关于月产量(吨)的函数解析式;
(2)若,当月产量为多少吨时,每吨平均成本最低?最低平均成本是多少万元?
【答案】(1)
(2)当月产量为吨时,每吨平均成本最低,最低成本为万元.
【解析】
【分析】
(1)设出函数解析式,代入,可得函数解析式.
(2)求出每吨平均成本,利用基本不等式可求最值.
【详解】(1)由题意,设,
将代入上式得,解得
.
(2)
当且仅当,即时等号成立,
故当月产量为吨时,每吨平均成本最低,最低成本为万元.
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定函数解析式是解此题的关键.
18.已知命题:“,使等式成立”是真命题.
(Ⅰ)求实数的取值集合;
(Ⅱ)设不等式的解集为,若是的必要条件,求的取值范围.
【答案】(1)(2)或.
【解析】
试题分析:(1)方程在有解,转化为函数在上的值域,实数的取值集合可求;
(2)是的必要条件,分、、三种情况讨论即可求的取值范围.
(1) 由题意知,方程在上有解,
即的取值范围就为函数在上的值域,易得7分
(2) 因为是的必要条件,所以8分
当时,解集为空集,不满足题意 9分
当时,,此时集合
则,解得12分
当时,,此时集合
则15分
综上16分
考点:命题与逻辑、分类讨论思想.
19.已知二次函数.
(1)若,解不等式组:;
(2)若,对任意的,证明:中至少有一个非负.
【答案】(1)或
(2)见详解
【解析】
【分析】
(1)把代入解析式,解一元二次不等式组即可求解.
(2)利用反证法,假设中一个都没有非负,再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零,由,不恒成立,即可得证.
【详解】(1)若,由
则解不等式组,即解不等式组,即,
故不等式的解集为或.
(2)若,对任意的,
假设中一个都没有非负,即函数在轴下方均有图像,
所以恒成立,
所以三式相加,
即,又因为,显然上式不成立,
即假设不成立,故中至少有一个非负.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法,利用反正法证明问题时,关键找到矛盾点,本题综合性比较强.