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  • 2021-06-10 发布

上海市上海中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 上海中学2019学年第一学期期中考试数学试卷 一、填空题(每空3分,共36分)‎ ‎1.已知集合,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】由补集定义可知:‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中补集运算,属于基础题.‎ ‎2.若关于的不等式的解集为,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解绝对值不等式得;‎ 再由不等式的解集为,对应相等即可求出答案.‎ ‎【详解】由得 ‎ 又不等式的解集为,‎ ‎ 解得 ,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题.‎ ‎3.命题“若,则”逆否命题是________.‎ ‎【答案】“若,则”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”即可解答.‎ ‎【详解】命题“若,则”的逆否命题为“若,则”可得 逆否命题为“若,则”.‎ 故答案为:若,则 ‎【点睛】本题考查四种命题,掌握四种命题间的关系是解决问题的关键,属于基础题.‎ ‎4.若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A,B为U的子集,且,,则集合A=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出韦恩图即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 根据集合关系作出韦恩图(如上图)‎ ‎,, ‎ ‎ 由韦恩图得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查韦恩图的应用,根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.‎ ‎5.已知集合,,且 ‎ 则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先集合相等转化元素相等,求出 或或 ‎ 再由集合元素的互异性舍去即可得出答案.‎ ‎【详解】由,‎ ‎ 或解得 ‎ 或或 ‎ 由集合元素的互异性可知 (舍去),所以或 ‎ ‎ 故答案为:或 ‎【点睛】本题考查集合之间的相等关系,集合相等转化为元素相等,由于集合元素的无序性,元素相等往往要分情况讨论.‎ ‎6.若正实数满足:,则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用基本不等式得出,化简求得即可.‎ ‎【详解】正实数满足:,‎ ‎,化简得出,‎ 当且仅当,时等号成立.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题,关键是判断、变形得出不等式的条件,属于容易题.‎ ‎7.已知集合,.若,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出集合,由即可求出.‎ ‎【详解】由,,‎ 若,所以 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围,属于容易题.‎ ‎8.已知,定义:表示不小于的最小整数.如 ‎.若,则正实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由已知得,即,又因为,又因为x>0,所以,当时,显然不满足条件;当时,,从而得;当时,显然不满足条件.‎ 故正实数 的取值范围是.‎ 考点:新定义创新题.‎ ‎9.,则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式结合所求代入公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,则,‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 即的最大值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题,关键是判断、变形得出不等式的条件.‎ ‎10.若使集合中元素个数最少,则实数的取值范围是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先讨论的取值,解不等式;再由集合的元素个数最少,推出只有满足,‎ 若集合的元素个数最少,由,集合,只需求的最大值即可,再由集合中,只需即可求解.‎ ‎【详解】由题知集合内不等式为,故 当时,可得;‎ 当时, 可转化为 ‎ 或,因为,‎ 所以不等式的解集为或,所以或 ‎ 当时,由,所以不等式的解集为,‎ 所以,此时集合的元素个数为有限个.‎ 综上所述,当时,集合元素个数为无限个,‎ 当时,集合的元素个数为有限个,故当时,集合的元素个数最少,且当 ‎ 的值越大,集合的元素个数越少,‎ 令(),则,令 解得,所以在内单调递增,在内单调递减,所以,又因为,,所以当,即时,‎ 集合中元素个数最少,故 ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式,综合性比较强.‎ ‎ ‎ 二、选择题(每题4分,共16分)‎ ‎11.下列命题中正确的有( )‎ ‎①很小的实数可以构成集合;②集合与集合是同一个集合;③集合是指第二和第四象限内的点集.‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的概念即可判断.‎ ‎【详解】对于①,集合具有确定性,故①错;‎ 对于②,集合相等必须元素的类型相同,而前者为数,后者为点的集合,故②错;‎ 对于③,坐标轴上的点不属于任何一个象限,故③错;‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查集合的概念,属于基础题.‎ ‎12.设,下列不等式中等号不能成立的有( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解.‎ ‎【详解】已知 对于A项,,当且仅当时,即时等号成立,故A项正确,不符合题意;‎ 对于B项,,当且仅当时等号成立,故B项正确,不符合题意;‎ 对于C项,,‎ 当且仅当时等号成立,但此时无实数根,所以等号不成立,故C错误,符合题意; ‎ 对于D项,,当且仅当,时,‎ 即时,等号成立,故D正确,不符合题意;‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查基本不等式,利用基本不等式时,务必验证等号成立的条件.‎ ‎13.集合,集合,则是的( )条件.‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出集合,结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】,且,‎ 即是的充分不必要条件,所以A项正确.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用,同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法,比较基础.‎ ‎14.使关于的不等式恒成立的实数( )‎ A. 不存在 B. 有且仅有一个 C. 有不止一个的有限个 D. 无穷多个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数的性质恒成立,只需即可.‎ ‎【详解】恒成立,则,即 ‎ 化简整理得,所以,解得 ‎ 故满足条件的实数有且只有一个.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题,借助一元二次不等式与二次函数的关系,转化为用判别式求解.‎ 三、解答题(本大题共6题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤).‎ ‎15.设, 比较与的大小.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由化简,,然后由基本不等式得,,两式求和即可得证.‎ ‎【详解】,‎ ‎, ‎ ‎ 根据基本不等式得 ‎ ① ‎ ‎ ②‎ ‎ 当且仅当时,①②的等号成立,‎ ‎① ② 得 ‎,即 ‎【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小,此题也可用“作差法”进行比较.‎ ‎16.解下列不等式:‎ ‎(1); ‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解. ‎ ‎(2)解分式不等式转化为整式不等式,分解因式,利用穿针引线即可求解.‎ ‎【详解】(1)当时, ‎ ‎ ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ 当时,‎ 所以此时无解,‎ 综上所述,故不等式的解集为 ‎ ‎(2)‎ ‎ ,如图 ‎ 所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法,解分式不等式式,转化为整式不等式后为一元高次不等式,分解因式利用穿针引线的方法进行求解.‎ ‎17.据市场分析,某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨(包含10吨和25吨),月生产总成本(万元)可以看成月产量(吨)的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.‎ ‎(1)写出月总成本(万元)关于月产量(吨)的函数解析式;‎ ‎(2)若,当月产量为多少吨时,每吨平均成本最低?最低平均成本是多少万元?‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)当月产量为吨时,每吨平均成本最低,最低成本为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出函数解析式,代入,可得函数解析式.‎ ‎(2)求出每吨平均成本,利用基本不等式可求最值.‎ ‎【详解】(1)由题意,设,‎ 将代入上式得,解得 ‎ ‎.‎ ‎(2) ‎ ‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 故当月产量为吨时,每吨平均成本最低,最低成本为万元.‎ ‎【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定函数解析式是解此题的关键.‎ ‎18.已知命题:“,使等式成立”是真命题.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值集合;‎ ‎(Ⅱ)设不等式的解集为,若是的必要条件,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)方程在有解,转化为函数在上的值域,实数的取值集合可求;‎ ‎(2)是的必要条件,分、、三种情况讨论即可求的取值范围.‎ ‎(1) 由题意知,方程在上有解,‎ 即的取值范围就为函数在上的值域,易得7分 ‎(2) 因为是的必要条件,所以8分 当时,解集为空集,不满足题意 9分 当时,,此时集合 则,解得12分 当时,,此时集合 则15分 综上16分 考点:命题与逻辑、分类讨论思想.‎ ‎19.已知二次函数.‎ ‎(1)若,解不等式组:;‎ ‎(2)若,对任意的,证明:中至少有一个非负.‎ ‎【答案】(1)或 ‎(2)见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入解析式,解一元二次不等式组即可求解.‎ ‎(2)利用反证法,假设中一个都没有非负,再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零,由,不恒成立,即可得证.‎ ‎【详解】(1)若,由 则解不等式组,即解不等式组,即,‎ 故不等式的解集为或. ‎ ‎(2)若,对任意的,‎ 假设中一个都没有非负,即函数在轴下方均有图像,‎ 所以恒成立,‎ 所以三式相加,‎ 即,又因为,显然上式不成立,‎ 即假设不成立,故中至少有一个非负.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法,利用反正法证明问题时,关键找到矛盾点,本题综合性比较强.‎ ‎ ‎

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