专题6-1 数列的概念与简单表示法（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 12页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第六章 数列 第01节 数列的概念与简单表示法 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1． 数列的前几项为，则此数列的通项可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2．【改编题】已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，若“数列为递增数列”，则，但不能推出，如，则不能推出“数列为递增数列”，所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.‎ ‎3．【改编题】数列满足， ， （），则等于 A. 5 B. 9 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，即，则；故选D.‎ 3． ‎4．【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: ，…，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,则： ‎ ‎ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列的首项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6.【2017届河北省衡水中学押题卷】数列满足， （），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为数列满足， （），所以所以是公比为2的等比数列，所以 ‎7．【原创题】在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设条抛物线至多把平面分成个部分，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】一条抛物线将平面至多分为2部分，两条抛物线将平面至多分为7部分，‎ 设第n条抛物线将平面至多分为f(n)部分,则第n+1条抛物线的情况如下：增加的这条抛物线,与原来的n条抛物线至多有4n个交点(由于抛物线是曲线,所以每两条抛物线至多有4个交点,与直线至多一个交点不同),这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段,这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二,即比原来增加了4n+1个区域,所以f(n+1)−f(n)=4n+1.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．【福建2018届总复习测试卷】已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“期盼数”，则在区间内所有的“期盼数”的和为（ ）‎ A. 2036 B. 4076 C. 4072 D. 2026‎ ‎【答案】D ‎9．如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是 A. 21 B. 34 C. 55 D. 89‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，‎ ‎1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，‎ 知：第1行的实心圆点的个数是0；‎ 第2行的实心圆点的个数是1；‎ 第3行的实心圆点的个数是1=0+1；‎ 第4行的实心圆点的个数是2=1+1；‎ 第5行的实心圆点的个数是3=1+2；‎ 第6行的实心圆点的个数是5=2+3；‎ 第7行的实心圆点的个数是8=3+5；‎ 第8行的实心圆点的个数是13=5+8；‎ 第9行的实心圆点的个数是21=8+13；‎ 第10行的实心圆点的个数是34=13+21；‎ 第11行的实心圆点的个数是55=21+34.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10．【2017届山西省太原市三模拟】已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 由等比数列求和公式有： ，考查所给的选项：‎ ‎ .‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.【2018届河南省洛阳市高三期中】用表示不超过的最大整数（如）.数列满足， （），若，则的所有可能值得个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎12．对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时， 的最大值为，则的取值范围是.故选C.‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13．【2018届 南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知数列2008，2009，1，-2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2018项之和__________.‎ ‎【答案】4017‎ ‎14．【2018届江西九江高三模拟】已知数列各项均不为，其前项和为，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一： 当时，，即，∴.当时，，，两式相减得，∵，∴，∴，都是公差为的等差数列，又，，∴是公差为的等差数列，∴，∴．‎ 法二：通过观察，发现刚好符合条件，故．‎ ‎15．【2018届河南省八市重点高中高三9月】已知数列满足，且，则数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ 两边同除以，得： ，‎ 整理，得： 即是以3为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎,即.‎ ‎16．【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联盟摸底】若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有__________个．‎ ‎【答案】4‎ 二、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知数列的前项和，记.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用，同时验证时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前项和公式可求得结果.‎ 试题解析：（1）∵，∴当时，∴；当时， ，又，∴‎ ‎（2）由（1）知， ，∴ ‎ ‎．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且 (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 若，且数列{}的前项和为，求证：。‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ 试题解析：(1) 当时有……………………………1分 所以,当时有,………………………………………3分 又符合上式,所以…………………………………4分 ‎(2) ………………………………8分 所以………………………………………………………………11分 所以……………………………………………………………………………12分 ‎19．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设， 为数列的前项和，求证： .‎ ‎【答案】（1） （2）略 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，‎ 所以有，解得，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎20．【重庆市南开中学高三9月月考】在数列中，（）．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接把n=２，3，代入an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），再注意a１=５，即可求出数列的前三项；‎ ‎（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到必为与n无关的常数，整理即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．‎ 试题解析：（1），；‎ ‎（2）假设存在满足条件的常数，则常数 又 ‎ 此时 ．‎ ‎21.设数列的前项和为，已知．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）由，及，得，‎ 整理，得，∴，又，‎ ‎∴是以1为首项，2为公比的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1），得，∴，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ 由②-①，得 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22.【2017届山东省东营市、潍坊市高三下模拟】下表是一个由个正数组成的数表，用表示第行第个数 ‎，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知．‎ ‎（Ⅰ）求和；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）当为偶数时；当为奇数时．‎ 试题解析：（Ⅰ）设第1列依次组成的等差数列的公差为，设每一行依次组成的等比数列的公比为．‎ 依题意，∴，‎ ‎∴，……………………………………………………………3分 又∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ 又∵，∴．………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵…………………………7分 ‎∴…10分 当为偶数时，………………………………………………………………………11分 当为奇数时 ‎．……………………………………………………………………12分 ‎ ‎