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  • 2021-06-10 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第3讲等比数列及其前n项和学案

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第3讲 等比数列及其前n项和 ‎,         [学生用书P101])‎ ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(q≠0,n∈N*).‎ ‎(2)等比中项 如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇒G2=ab.‎ ‎2.等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=a1qn-1.‎ ‎(2)前n项和公式:Sn= ‎3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(m,n,p,q,r,k∈N*)‎ ‎(1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a;‎ ‎(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列;‎ ‎(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).‎ ‎1.辨明三个易误点 ‎(1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0,但q可为正数,也可为负数.‎ ‎(2)由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.‎ ‎(3)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.‎ ‎2.等比数列的三种判定方法 ‎(1)定义法:=q(q是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.‎ ‎(2)通项公式法:an=cqn-1(c、q均是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.‎ ‎(3)等比中项法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.‎ ‎3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 ‎(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.‎ ‎(2)分类讨论思想:在应用等比数列前n项和公式时,必须分类求和,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=;在判断等比数列单调性时,也必须对a1与q分类讨论.‎ ‎1. 等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于(  )‎ A.27             B.36‎ C. D.54‎ ‎ C [解析] 法一:由a3=12,a4=18,得 解得a1=,q=,‎ 所以a6=a1q5=×=.故选C.‎ 法二:由等比数列性质知,a=a2a4,‎ 所以a2===8,‎ 又a=a2a6,所以a6===.故选C.‎ ‎2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(  )‎ A.31 B.32‎ C.63 D.64‎ ‎ C [解析] 由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.‎ ‎3. 在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.‎ ‎[解析] 设该数列的公比为q,由题意知,‎ ‎243=9×q3,得q3=27,所以q=3.‎ 所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.‎ ‎[答案] 27,81‎ ‎4. 由正数组成的等比数列{an}满足a3a8=32,则log2a1+log2a2+…+log2a10=________.‎ ‎[解析] log2a1+log2a2+…+log2a10‎ ‎=log2[(a1a10)·(a2a9)·…·(a5a6)]‎ ‎=log2(a3a8)5=log2225=25.‎ ‎[答案] 25‎ ‎5. 在等比数列{an}中,an>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=________.‎ ‎[解析] 因为a5-a1=15,a4-a2=6.‎ 所以a1q4-a1=15,① a1q3-a1q=6,②且q≠1.‎ 得=,即2q2-5q+2=0,‎ 所以q=2或q=,‎ 当q=2时,a1=1;当q=时,a1=-16(舍去).‎ 所以a3=1×22=4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎ 等比数列的基本运算(高频考点)[学生用书P102]‎ 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,属中、低档题.‎ 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)求首项a1、公比q或项数n;‎ ‎(2)求通项或特定项;‎ ‎(3)求前n项和.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·兰州模拟)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn+1=9an(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】 (1)当n=1时,由6a1+1=9a1,得a1=.‎ 当n≥2时,由6Sn+1=9an,得6Sn-1+1=9an-1,‎ 两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1),‎ 即6an=9(an-an-1),所以an=3an-1.‎ 所以数列{an}是首项为,公比为3的等比数列,其通项公式为an=×3n-1=3n-2.‎ ‎(2)因为bn==,‎ 所以{bn}是首项为3,公比为 的等比数列,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn= ‎=.‎ 等比数列基本运算的解题技巧 ‎(1)求等比数列的基本量问题,其核心思想是解方程(组),一般步骤是:①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组);②求出首项和公比;③求出项数或前n项和等其余量.‎ ‎(2)设元的技巧,可减少运算量,如三个数成等比数列,可设为,a,aq(公比为q);四个数成等比数列且q>0时,设为,,aq,aq3.  ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一 求首项a1、公比q或项数n ‎1.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.‎ ‎[解析] 因为a1=2,an+1=2an,‎ 所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 又因为Sn=126,所以=126,所以n=6.‎ ‎[答案] 6‎ ‎ 角度二 求通项或特定项 ‎2.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.‎ ‎[解析] 因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3.化简,得=3,即等比数列{an}的公比q=3,故an=1×3n-1=3n-1.‎ ‎[答案] 3n-1‎ ‎ 角度三 求前n项和 ‎3.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于(  )‎ A.-6(1-310) B.(1-3-10)‎ C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)‎ ‎ C [解析] 由题意知数列{an}为等比数列,设其公比为q,则q==-,a1==4,因此其前10项和等于=3(1-3-10).‎ ‎ 等比数列的判定与证明[学生用书P102]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2016·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎【解】 (1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,‎ 即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0且λ≠1得an≠0,‎ 所以=.‎ 因此{an}是首项为,‎ 公比为的等比数列,‎ 于是an=()n-1.‎ ‎(2)由(1)得,Sn=1-()n.‎ 由S5=得,1-()5=,‎ 即()5=.‎ 解得λ=-1.‎ 证明数列{an}是等比数列常用的方法 一是定义法,证明=q(n≥2,q为常数);二是等比中项法,证明a=an-1·an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.  ‎ ‎ 已知数列{an}是等差数列,a3=10,a6=22,数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+bn=1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证:数列{bn}是等比数列.‎ ‎[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得解得a1=2,d=4.‎ 所以an=2+(n-1)×4=4n-2.‎ ‎(2)证明:由Tn=1-bn,①‎ 令n=1,得T1=b1=1-b1.解得b1=,‎ 当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,②‎ ‎①-②得bn=bn-1-bn,所以bn=bn-1,‎ 所以=.又因为b1=≠0,‎ 所以数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎ 等比数列的性质[学生用书P103]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(  )‎ A.2             B.1‎ C. D. ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=(  )‎ A.31 B.36‎ C.42 D.48‎ ‎(3)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则公比q=________.‎ ‎【解析】 (1)法一:因为a3a5=a,a3a5=4(a4-1),‎ 所以a=4(a4-1),‎ 所以a-4a4+4=0,‎ 所以a4=2.又因为q3===8,‎ 所以q=2,所以a2=a1q=×2=,故选C.‎ 法二:因为a3a5=4(a4-1),‎ 所以a1q2·a1q4=4(a1q3-1).‎ 将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,‎ 解得q=2,所以a2=a1q=,故选C.‎ ‎(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且an>0,q>1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5==31,故选A.‎ ‎(3)由=,a1=-1知公比q≠1,=-.‎ 由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-,q=-.‎ ‎【答案】 (1)C (2)A (3)- 等比数列常见性质的应用 ‎(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.‎ ‎(2)等比数列性质的应用可以分为三类:①通项公式的变形;②等比中项的变形;③前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎(3)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(  )‎ A. B.- C. D. ‎ A [解析] 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.‎ ‎2.(2017·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=________.‎ ‎[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质知a5=a2q3,求得q=,所以a1=4.a2a3==a1a2,anan+1==an-1an(n≥2).设bn=anan+1,可以得出数列{bn}是以8为首项,以为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1为数列{bn}的前n项和,由等比数列前n项和公式得a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).‎ ‎[答案] (1-4-n)‎ ‎,         [学生用书P103])‎ ‎——分类讨论思想在等比数列中的应用 ‎ 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为________.‎ ‎【解析】 设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,所以m=3,所以q3=8,‎ 所以q=2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎ (1)本题在利用等比数列的前n项和公式表示S2m和Sm时,对公比q=1和q≠1进行了分类讨论.‎ ‎(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:‎ ‎①已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况.‎ ‎②等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.‎ ‎③项数的奇、偶数讨论.‎ ‎④等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.‎ ‎ 在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=a,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.‎ ‎[解] (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),‎ 即(a1+2)2=a1(a1+6),‎ 解得a1=2,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n.‎ ‎(2)由题意知bn=a=n(n+1),‎ 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).‎ 因为bn+1-bn=2(n+1),‎ 可得当n为偶数时,‎ Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)‎ ‎=4+8+12+…+2n==,‎ 当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.‎ 所以Tn= ‎,          [学生用书P265(独立成册)])‎ ‎1.(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(  )‎ A.2             B.4‎ C. D.2 ‎ B [解析] 在等比数列{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为递减数列,所以a2=2,a4=,所以q2==,‎ 所以q=,a1==4.‎ ‎2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为(  )‎ A.- B. C.- D. ‎ A [解析] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-.‎ ‎3.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.n(n+1) B.n(n-1)‎ C. D. ‎ A [解析] 因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+×2=n(n+1).故选A.‎ ‎4.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于(  )‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ ‎ C [解析] 设数列{an}的首项为a1,公比为q,根据题意可得,解得 所以an=a1qn-1=×=2×,所以lg an=lg 2+(n-4)lg ,所以前8项的和为8lg 2+(-3-2-1+0+1+2+3+4)lg =8lg 2+4lg =4lg=4.‎ ‎5.(2017·莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2 017=(  )‎ A.92 016 B.272 016‎ C.92 017 D.272 017‎ ‎ D [解析] 由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,‎ 所以an=3n,bn=3n.‎ 又cn=ban=33n,‎ 所以c2 017=33×2 017=272 017.‎ ‎6.(2017·唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(  )‎ A.4n-1 B.4n-1‎ C.2n-1 D.2n-1‎ ‎ D [解析] 设{an}的公比为q,因为 所以 由①②可得=2,‎ 所以q=,代入①得a1=2,‎ 所以an=2×=,‎ 所以Sn==4,‎ 所以==2n-1,选D.‎ ‎7.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.‎ ‎[解析] 设等比数列的公比为q,则有 解得或 又{an}为递增数列,所以 所以Sn==2n-1.‎ ‎[答案] 2n-1‎ ‎8.(2017·郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=________.‎ ‎[解析] 由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,‎ 所以q=3,由Sn=,‎ 得S6=,S3=,‎ 所以=·=28.‎ ‎[答案] 28‎ ‎9.若{an}是正项递增等比数列,Tn表示其前n项之积,且T10=T20,则当Tn取最小值时,n的值为________.‎ ‎[解析] T10=T20⇒a11…a20=1⇒(a15a16)5=1⇒a15a16=1,又{an}是正项递增等比数列,所以0<a1<a2<…<a14<a15<1<a16<a17<…,因此当Tn取最小值时,n的值为15.‎ ‎[答案] 15‎ ‎10.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2a4=16,a6=32,记bn=an+an+1,则数列{bn}的前5项和S5为________.‎ ‎[解析] 设数列{an}的公比为q,由a=a2a4=16得,a3=4,即a1q2=4,又a6=a1q5=32,解得a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,bn=an+an+1=2n-1+2n=3·2n-1,所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,所以S5==93.‎ ‎[答案] 93‎ ‎11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.‎ ‎[解] (1)证明:依题意Sn=4an-3(n∈N*),‎ 当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.‎ 因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),‎ 所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,‎ 整理得an=an-1.‎ 又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,‎ 公比为的等比数列.‎ ‎(2)因为an=,‎ 由bn+1=an+bn(n∈N*),‎ 得bn+1-bn=.‎ 可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)‎ ‎=2+=3·-1(n≥2),‎ 当n=1时也满足,‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn=3·-1.‎ ‎12.(2017·衡阳模拟)在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=(  )‎ A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1‎ ‎ C [解析] 因为数列{an}为等比数列,a1=2,设其公比为q,则an=2qn-1,因为数列{an+1}也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)⇒a+2an+1=anan+2+an+an+2⇒an+an+2=2an+1⇒an(1+q2-2q)=0⇒q=1,即an=2,所以Sn=2n,故选C.‎ ‎13.设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.‎ ‎(1)求a4的值;‎ ‎(2)证明:为等比数列.‎ ‎[解] (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,‎ 即4+5=8+1,解得a4=.‎ ‎(2)证明:由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),‎ ‎4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),‎ 即4an+2+an=4an+1(n≥2).‎ 因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,‎ 所以4an+2+an=4an+1,所以 ‎====,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.‎ ‎14.(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解] (1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,‎ 所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,‎ 即2a6-3a5+a4=0,‎ 所以2q2-3q+1=0,‎ 因为q≠1,‎ 所以q=,‎ 所以等比数列{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)bn=·3n ‎=,‎ Tn=× ‎=.‎

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