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- 2021-06-10 发布
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第3讲 等比数列及其前n项和
, [学生用书P101])
1.等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(q≠0,n∈N*).
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇒G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:Sn=
3.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(m,n,p,q,r,k∈N*)
(1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a;
(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列;
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
1.辨明三个易误点
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0,但q可为正数,也可为负数.
(2)由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
2.等比数列的三种判定方法
(1)定义法:=q(q是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(2)通项公式法:an=cqn-1(c、q均是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(3)等比中项法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
3.求解等比数列的基本量常用的思想方法
(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.
(2)分类讨论思想:在应用等比数列前n项和公式时,必须分类求和,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=;在判断等比数列单调性时,也必须对a1与q分类讨论.
1. 等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于( )
A.27 B.36
C. D.54
C [解析] 法一:由a3=12,a4=18,得
解得a1=,q=,
所以a6=a1q5=×=.故选C.
法二:由等比数列性质知,a=a2a4,
所以a2===8,
又a=a2a6,所以a6===.故选C.
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )
A.31 B.32
C.63 D.64
C [解析] 由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.
3. 在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
[解析] 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,得q3=27,所以q=3.
所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.
[答案] 27,81
4. 由正数组成的等比数列{an}满足a3a8=32,则log2a1+log2a2+…+log2a10=________.
[解析] log2a1+log2a2+…+log2a10
=log2[(a1a10)·(a2a9)·…·(a5a6)]
=log2(a3a8)5=log2225=25.
[答案] 25
5. 在等比数列{an}中,an>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=________.
[解析] 因为a5-a1=15,a4-a2=6.
所以a1q4-a1=15,① a1q3-a1q=6,②且q≠1.
得=,即2q2-5q+2=0,
所以q=2或q=,
当q=2时,a1=1;当q=时,a1=-16(舍去).
所以a3=1×22=4.
[答案] 4
等比数列的基本运算(高频考点)[学生用书P102]
等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,属中、低档题.
高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度:
(1)求首项a1、公比q或项数n;
(2)求通项或特定项;
(3)求前n项和.
[典例引领]
(2017·兰州模拟)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn+1=9an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)当n=1时,由6a1+1=9a1,得a1=.
当n≥2时,由6Sn+1=9an,得6Sn-1+1=9an-1,
两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1),
即6an=9(an-an-1),所以an=3an-1.
所以数列{an}是首项为,公比为3的等比数列,其通项公式为an=×3n-1=3n-2.
(2)因为bn==,
所以{bn}是首项为3,公比为 的等比数列,
所以Tn=b1+b2+…+bn=
=.
等比数列基本运算的解题技巧
(1)求等比数列的基本量问题,其核心思想是解方程(组),一般步骤是:①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组);②求出首项和公比;③求出项数或前n项和等其余量.
(2)设元的技巧,可减少运算量,如三个数成等比数列,可设为,a,aq(公比为q);四个数成等比数列且q>0时,设为,,aq,aq3.
[题点通关]
角度一 求首项a1、公比q或项数n
1.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
[解析] 因为a1=2,an+1=2an,
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又因为Sn=126,所以=126,所以n=6.
[答案] 6
角度二 求通项或特定项
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.
[解析] 因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3.化简,得=3,即等比数列{an}的公比q=3,故an=1×3n-1=3n-1.
[答案] 3n-1
角度三 求前n项和
3.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于( )
A.-6(1-310) B.(1-3-10)
C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
C [解析] 由题意知数列{an}为等比数列,设其公比为q,则q==-,a1==4,因此其前10项和等于=3(1-3-10).
等比数列的判定与证明[学生用书P102]
[典例引领]
(2016·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
【解】 (1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0且λ≠1得an≠0,
所以=.
因此{an}是首项为,
公比为的等比数列,
于是an=()n-1.
(2)由(1)得,Sn=1-()n.
由S5=得,1-()5=,
即()5=.
解得λ=-1.
证明数列{an}是等比数列常用的方法
一是定义法,证明=q(n≥2,q为常数);二是等比中项法,证明a=an-1·an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.
已知数列{an}是等差数列,a3=10,a6=22,数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+bn=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等比数列.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得解得a1=2,d=4.
所以an=2+(n-1)×4=4n-2.
(2)证明:由Tn=1-bn,①
令n=1,得T1=b1=1-b1.解得b1=,
当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,②
①-②得bn=bn-1-bn,所以bn=bn-1,
所以=.又因为b1=≠0,
所以数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.
等比数列的性质[学生用书P103]
[典例引领]
(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )
A.2 B.1
C. D.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=( )
A.31 B.36
C.42 D.48
(3)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则公比q=________.
【解析】 (1)法一:因为a3a5=a,a3a5=4(a4-1),
所以a=4(a4-1),
所以a-4a4+4=0,
所以a4=2.又因为q3===8,
所以q=2,所以a2=a1q=×2=,故选C.
法二:因为a3a5=4(a4-1),
所以a1q2·a1q4=4(a1q3-1).
将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,
解得q=2,所以a2=a1q=,故选C.
(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且an>0,q>1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5==31,故选A.
(3)由=,a1=-1知公比q≠1,=-.
由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-,q=-.
【答案】 (1)C (2)A (3)-
等比数列常见性质的应用
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)等比数列性质的应用可以分为三类:①通项公式的变形;②等比中项的变形;③前n
项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(3)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
[通关练习]
1.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )
A. B.-
C. D.
A [解析] 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.
2.(2017·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=________.
[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质知a5=a2q3,求得q=,所以a1=4.a2a3==a1a2,anan+1==an-1an(n≥2).设bn=anan+1,可以得出数列{bn}是以8为首项,以为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1为数列{bn}的前n项和,由等比数列前n项和公式得a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).
[答案] (1-4-n)
, [学生用书P103])
——分类讨论思想在等比数列中的应用
已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为________.
【解析】 设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,所以m=3,所以q3=8,
所以q=2.
【答案】 2
(1)本题在利用等比数列的前n项和公式表示S2m和Sm时,对公比q=1和q≠1进行了分类讨论.
(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:
①已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况.
②等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.
③项数的奇、偶数讨论.
④等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.
在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=a,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.
[解] (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),
解得a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知bn=a=n(n+1),
所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).
因为bn+1-bn=2(n+1),
可得当n为偶数时,
Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)
=4+8+12+…+2n==,
当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.
所以Tn=
, [学生用书P265(独立成册)])
1.(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=( )
A.2 B.4
C. D.2
B [解析] 在等比数列{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为递减数列,所以a2=2,a4=,所以q2==,
所以q=,a1==4.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为( )
A.- B.
C.- D.
A [解析] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-.
3.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
A [解析] 因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+×2=n(n+1).故选A.
4.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( )
A.6 B.5
C.4 D.3
C [解析] 设数列{an}的首项为a1,公比为q,根据题意可得,解得
所以an=a1qn-1=×=2×,所以lg an=lg 2+(n-4)lg ,所以前8项的和为8lg 2+(-3-2-1+0+1+2+3+4)lg =8lg 2+4lg =4lg=4.
5.(2017·莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2 017=( )
A.92 016 B.272 016
C.92 017 D.272 017
D [解析] 由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以an=3n,bn=3n.
又cn=ban=33n,
所以c2 017=33×2 017=272 017.
6.(2017·唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
D [解析] 设{an}的公比为q,因为
所以
由①②可得=2,
所以q=,代入①得a1=2,
所以an=2×=,
所以Sn==4,
所以==2n-1,选D.
7.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.
[解析] 设等比数列的公比为q,则有
解得或
又{an}为递增数列,所以
所以Sn==2n-1.
[答案] 2n-1
8.(2017·郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=________.
[解析] 由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,
所以q=3,由Sn=,
得S6=,S3=,
所以=·=28.
[答案] 28
9.若{an}是正项递增等比数列,Tn表示其前n项之积,且T10=T20,则当Tn取最小值时,n的值为________.
[解析] T10=T20⇒a11…a20=1⇒(a15a16)5=1⇒a15a16=1,又{an}是正项递增等比数列,所以0<a1<a2<…<a14<a15<1<a16<a17<…,因此当Tn取最小值时,n的值为15.
[答案] 15
10.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2a4=16,a6=32,记bn=an+an+1,则数列{bn}的前5项和S5为________.
[解析] 设数列{an}的公比为q,由a=a2a4=16得,a3=4,即a1q2=4,又a6=a1q5=32,解得a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,bn=an+an+1=2n-1+2n=3·2n-1,所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,所以S5==93.
[答案] 93
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
[解] (1)证明:依题意Sn=4an-3(n∈N*),
当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,
公比为的等比数列.
(2)因为an=,
由bn+1=an+bn(n∈N*),
得bn+1-bn=.
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+=3·-1(n≥2),
当n=1时也满足,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3·-1.
12.(2017·衡阳模拟)在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=( )
A.2n+1-2 B.3n
C.2n D.3n-1
C [解析] 因为数列{an}为等比数列,a1=2,设其公比为q,则an=2qn-1,因为数列{an+1}也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)⇒a+2an+1=anan+2+an+an+2⇒an+an+2=2an+1⇒an(1+q2-2q)=0⇒q=1,即an=2,所以Sn=2n,故选C.
13.设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明:为等比数列.
[解] (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
即4+5=8+1,解得a4=.
(2)证明:由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),
4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),
即4an+2+an=4an+1(n≥2).
因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,
所以4an+2+an=4an+1,所以
====,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.
14.(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.
(1)求等比数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,
所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,
即2a6-3a5+a4=0,
所以2q2-3q+1=0,
因为q≠1,
所以q=,
所以等比数列{an}的通项公式为an=.
(2)bn=·3n
=,
Tn=×
=.