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- 2021-06-10 发布
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双曲线的性质
(
一
)
定义
图象
方程
焦点
a.b.c
的关系
| |MF
1
|
-
|MF
2
| | =2
a
（０
< 2
a
<|F
1
F
2
|
）
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
2
、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1
、范围
关于
x
轴、
y
轴和原点都是对称
。
x
轴、
y
轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的
中心
。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y
)
(x,-y)
课堂新授
3
、顶点
（
1
）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的
顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为
2a,a
叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为
2b,b
叫做双曲线的虚半轴长
（
2
）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫
等轴双曲线
（
3
）
M(x,y)
4
、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
（
1
）
（
2
）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（
3
）
动画演示
5
、离心率
离心率
。
c>a>0
e >1
e
是表示双曲线开口大小的一个量
,e
越大开口越大
（
1
）定义：
（
2
）
e
的范围
：
（
3
）
e
的含义：
（
4
）
等轴双曲线的离心率
e= ?
( 5 )
x
y
o
-a
a
b
-b
（
1
）范围
:
（
2
）对称性
:
关于
x
轴、
y
轴、原点都对称
（
3
）顶点
:
(0,-a)
、
(0,a)
（
4
）渐近线
:
（
5
）离心率
:
小 结
或
或
关于坐标
轴和
原点
都对
称
性质
双曲线
范围
对称
性
顶点
渐近
线
离心
率
图象
例
1
:
求双曲线
的实半轴长
,
虚半轴长
,
焦点坐标
,
离心率
.
渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得
:
实半轴长
a=4
虚半轴长
b=3
半焦距
c=
焦点坐标是
(0,-5),(0,5)
离心率
:
渐近线方程
:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
例题讲解
例
2
1
、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为
。
2
、若双曲线的离心率为
2
，则两条渐近线的夹角为
。
课堂练习
例
3
:
求下列双曲线的标准方程：
例题讲解
法二：
巧设方程
,
运用待定系数法
.
⑴
设双曲线方程为
,
法二：
设双曲线方程为
∴
双曲线方程为
∴ ,
解之得
k
=4,
1
、“共渐近线”的双曲线的应用
λ>0
表示焦点在
x
轴上的双曲线；
λ<0
表示焦点在
y
轴上的双曲线。
4.
求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在
x
轴上，且坐标为
双曲线的渐近线方程为
解出
1
2
=
+
b
y
a
x
2
2
2
（
a
＞
b
＞
0
）
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
( a
＞
0 b
＞
0)
2
2
2
=
+
b
a
(a
＞
0 b
＞
0)
c
2
2
2
=
-
b
a
(a
＞
b
＞
0)
c
椭 圆
双曲线
方程
a b c
关系
图象
椭圆与双曲线的比较
y
X
F
1
0
F
2
M
X
Y
0
F
1
F
2
p
小 结
渐近线
离心率
顶点
对称性
范围
准线
|x|
a,|y|≤b
|x|
≥
a
，
y
R
对称轴：
x
轴，
y
轴
对称中心：原点
对称轴：
x
轴，
y
轴
对称中心：原点
（
-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：
2a
短轴：
2b
(-a,0) (a,0)
实轴：
2a
虚轴：
2b
e =
a
c
( 0
＜
e
＜
1 )
a
c
e=
(e
1)
无
y =
a
b
x
±
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