湖北省宜昌市小溪塔高级中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷 12页

‎（文科）数学 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、若,则集合的子集个数是( )‎ A.3个 B.5个 C.7个 D.8个 ‎2、已知,则的值等于( )‎ A. B.4 C.2 D.‎ ‎3、已知,,则与垂直的向量是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4、幂函数的图象经过点,则是( )‎ A.偶函数,且在上是增函数 B.偶函数,且在上是减函数 C.奇函数,且在上是减函数 D.非奇非偶函数,且在上是增函数 ‎5、下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎6、已知,则( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎7、已知向量,夹角为,且,,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎8、定义在上的函数对任意的正实数,，恒成立，则不等式的解集是(    )‎ A. B. C. D.‎ ‎9、函数的图象的一条对称轴方程是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎10、设在内单调递增，，则是的(　 　)‎ A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件 ‎11、函数的零点个数是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎12、已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有成立,则不等式的解集是( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、已知函数,且函数在点处的切线的斜率是,则__________.‎ ‎14、已知两向量，，若，则__________．‎ ‎15、已知向量，，则向量在上的投影为__________.‎ ‎16、给出下列四个命题： ① 的对称轴为，； ② 函数的最大值为2；‎ ‎③ ； ④ 函数在区间上单调递增．其中正确命题的序号为__________．‎ 三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共6小题70分)‎ ‎17、已知，，,且.‎ ‎(1)求实数的值; (2)求向量与的夹角.‎ ‎18、已知全集，集合,,‎ ‎(1)求,; (2)若,求的取值范围.‎ ‎19、已知函数,.‎ ‎(1)求该函数的最小正周期、单调增区间; (2)若,求的值.‎ ‎ ‎ ‎20、已知，设：指数函数在上为减函数，：不等式的解集为.若和有且仅有一个正确，求的取值范围.‎ ‎21、某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算,该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：‎ ‎,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴． （1）当时,判断该项目能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ （2）该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎22、已知函数 ‎（1）当时,求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若当时,,求a的取值范围．‎ ‎（文科）数学答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D A D C D B B D A ‎1、答案D 解析：根据补集的定义可知,所以子集个数为.‎ ‎2、答案B 解析：,∴.‎ ‎,∴,∴.‎ ‎3、答案C：,C选项中,∵,∴与垂直.‎ ‎4、答案D 解析：设幂函数的解析式为:,将代入解析式得:,解得,∴.‎ ‎5、答案A 解析：由题意,选项A中的函数既是奇函数又是增函数;选项B中函数是偶函数,且在上是增函数,在上是减函数; 选项C中函数是奇函数,且在是减函数,‎ 在上是减函数;选项D中函数是既不是奇函数也不是偶函数,且在上是增函数.‎ ‎6、答案D 解析：∵,故选D.‎ ‎7、答案C 解析：依题可得 ‎8、答案D 解析：∵函数是定义在上的函数,且对任意的正实数,均有,∴是定义在上的增函数,‎ ‎∴不等式,即,可转化为,‎ ‎∴所求不等式的解集是.原式,∴,故选C.‎ ‎9、答案B 解析：令,,得,,当时,故选B.‎ ‎10、答案B 解析：对函数求导可得，，‎ ‎∵在内单调递增，则在上恒成立．即恒成立，从而，∴，当，‎ ‎∴在内单调递增．‎ ‎11、答案D 解析：由已知,令,‎ 即,在同一坐标系中作函数与的图象如图所示,可知两个函数图象有个交点.‎ ‎12、答案A 解析：设,则,即时是增函数,‎ 当时,,此时;时, ,此时.‎ 又是奇函数,所以时,;时.‎ 则不等式等价为或,即或,‎ 则不等式的解集是.‎ ‎13、答案 解析：,∴,∴.‎ ‎14、答案 解析：∵两向量，，若，则，即 ，∴.‎ ‎15、答案 解析：,则向量在上的投影为.‎ ‎16、答案①② 解析：的对称轴为，故 的对称轴为，，故①正确；，‎ 故该函数的最大值为，故②正确；当时，，故③错误；‎ ‎17、解析：,.............2分 (1) ‎∵,∴,即, ............4分 解得. .............5分 (2) ‎,,‎ ‎∴, .........8分 ‎∴. ..........10分 在区间上单调递减，故④错误．‎ ‎18、解析：(1)全集,集合,,‎ ‎∴, .............2分 或, .............4分 ‎∴. .............6分 (2) ‎, .............7分 ‎,若,则, .............10分 解得. .............12分 ‎∴的取值范围是.‎ ‎19、解析：,, .............3分 ‎∴的最小正周期, .............4分 令,可得,,‎ 即得单调递增区间为:,..............6分 ‎(2)由,得,可得:, .............8分 得: .............12分 ‎20、解析：当正确时，‎ 函数在上为减函数，∴，‎ ‎∴当正确时，； .............2分 当正确时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时，恒成立.‎ ‎∴，∴. ‎ ‎∴当正确时，且 ............5分 由题设，若和有且只有一个正确，则 ‎（1）正确不正确，∴. .............8分 ‎（2）正确不正确，∴. .............11分 综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是. .............12分 ‎21、解析：1当时,该项目获利为S,则 ,.............3分 当时,,因此,该项目不会获利 当时,S取得最大值,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损； .............5分 2由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为：‎ ． .............8分 当时, 所以当时,取得最小值240；  .............10分  当时, 当且仅当,即时,取得最小值200． 因为,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低． .............12分 ‎22、解析：当时,．,即点为, .............1分 函数的导数, .............2分 则, 即函数的切线斜率, .............3分 则曲线在处的切线方程为 即； .............4分 , ,令,,, 在上单调递增,． .............7分 ,, 在上单调递增,,满足题意； ‎ ‎.............9分 ,存在,,函数在上单调递减,在上单调递增, 由,可得存在,,不合题意．.............11分 综上所述,． .............12分